平衡定数の決定

平衡定数は化学平衡を定量化するために決定されます。平衡定数 $K$ を濃度商として表すと、

K={\frac {\mathrm {[S]} ^{\sigma }\mathrm {[T]} ^{\tau }\cdots }{\mathrm {[A]} ^{\alpha }\mathrm {[B]} ^{\beta }\cdots }}

活量比は一定であると仮定されている。この仮定が成立するためには、平衡定数は比較的イオン強度の高い媒体で測定する必要がある。これが不可能な場合は、活量の変化の可能性を考慮する必要がある。

上記の平衡式は、平衡状態にある化学種の濃度[A]、[B]などの関数です。これらの濃度のいずれかを測定できれば、平衡定数の値を決定することができます。一般的な手順は、反応物の分析濃度が既知の一連の溶液について、対象となる濃度を測定することです。通常、滴定は、滴定容器に1つ以上の反応物を入れ、ビュレットにも1つ以上の反応物を入れて行います。反応容器とビュレットに最初に入れた反応物の分析濃度が分かれば、添加した滴定液の体積（または質量）の関数として、すべての分析濃度を導き出すことができます。

平衡定数は、実験データと平衡系の化学モデルを最適に適合させることによって導き出すことができます。

実験方法

主な実験方法は4つあります。あまり一般的ではない方法については、RossottiとRossotti ^{[ 1 ]}を参照してください。いずれの場合も、競合法を用いることで範囲を拡大することができます。この方法の応用例としては、シアン化パラジウム(II)が挙げられます。

電位測定

種Aの自由濃度[A]または活量{A}は、ガラス電極などのイオン選択電極を用いて測定されます。電極が活量標準を用いて校正されている場合、ネルンストの式が次のように適用されるものと仮定されます。

E=E^{0}+{\frac {RT}{nF}}\ln \mathrm {\{A\}}

ここで、 $E 0$ は標準電極電位です。pHが既知の緩衝溶液を校正に使用した場合、メーターの指示値はpHとなります。

\mathrm {pH} ={\frac {nF}{RT}}\left(E^{0}-E\right)

298 Kでは、1 pH単位はおよそ59 mVに等しい。^{[ 2 ]}

たとえば強酸-強塩基滴定などにより、濃度が既知の溶液で電極を校正する場合は、修正されたネルンスト方程式が想定されます。

E=E^{0}+s\log _{10}\mathrm {[A]}

ここで、 $s$ は経験的傾き係数である。既知の水素イオン濃度の溶液は、強酸をホウ砂で標準化することによって調製することができる。定沸点塩酸も水素イオン濃度の一次標準として使用することができる。

範囲と制限

最も広く使用されている電極は、水素イオンを選択的に透過するガラス電極です。これはあらゆる酸塩基平衡に適しています。ガラス電極を用いた電位差滴定では、約2～11の $log 10 β$ 値を直接測定できます。安定度定数のこの非常に広い範囲（約100～10 ¹¹）は、電極の対数応答によって可能になります。ネルンストの式はpHが非常に低い、または非常に高い場合、破綻するため、限界が生じます。

計算される平衡定数の根拠となる測定値を得るためにガラス電極を使用する場合、計算されるパラメータの精度は、電極内の液間電位の変動などの二次的影響によって制限されます。実際には、log βの精度を±0.001より良くすることは事実上不可能です。

分光光度測定

吸光度

ランバート・ビールの法則が適用されると仮定します。

A=l\sum {\varepsilon c}

ここで、 $l$ は光路長、 $ε$ は単位光路長におけるモル吸光度、 $c$ は濃度です。吸光度には複数の種が寄与する場合があります。原理的には吸光度は1つの波長のみで測定できますが、現在では完全なスペクトルを記録するのが一般的です。

範囲と制限

$log 10 β$ の上限は通常4とされ、これは測定精度に対応しますが、効果の強さにも依存します。寄与する種のスペクトルは互いに明確に区別できる必要があります。

蛍光（発光）強度

散乱光の強度は種の濃度の線形関数であると想定されます。

I=\sum \varphi c

ここで $φ$ は比例定数です。

範囲と制限

定数 $φ$ の大きさは、ある種のモル吸光係数εの値よりも大きくなることがあります。この場合、その種の検出限界は低くなります。溶質濃度が高い場合、散乱光の自己吸収により、蛍光強度は濃度に対して非線形になります。

NMR化学シフト測定

NMRの時間スケールでは、化学交換は急速に起こると仮定されます。個々の化学シフト $δ$ $は、寄与する種の核のシフトδ$ のモル分率加重平均です。

{\bar {\delta }}={\frac {\sum x_{i}\delta _{i}}{\sum x_{i}}}

例：クエン酸のヒドロキシル基のp Ka_は、¹³ C化学シフトデータから14.4と決定されています。この決定には、電位差測定法も紫外可視分光法も用いることができませんでした。^[³^]

範囲と制限

$化学シフト測定の精度が限られているため、 log 10 β$ の上限は約4となります。反磁性系に限定されます。1 H NMRは、化合物の ¹ H ₂ O 溶液には使用できません^。

熱量測定

$1:1付加物のK$ と $ΔH$ の同時測定は、等温滴定熱量測定法を用いて日常的に行われている。より複雑なシステムへの拡張は $、$ 適切なソフトウェアの可用性によって制限される。

範囲と制限

現時点では証拠が不十分です。

競争方法

競合法は、安定度定数の値が大きすぎて直接法では決定できない場合に用いられることがあります。この方法は、シュヴァルツェンバッハによって EDTAと金属イオンの錯体の安定度定数の決定に初めて用いられました。

簡単にするために、試薬Aと別の試薬Bとの二成分複合体ABの安定度定数の決定について考えます。 $K_{AB}$

K_{AB}={\frac {[AB]}{[A][B]}}

ここで、[X]は、与えられた組成の溶液中における種Xの平衡時の濃度を表します。

Aとより弱い錯体を形成する配位子Cが選択される。安定度定数K _ACは、直接法で決定できるほど小さい。例えば、EDTA錯体の場合、Aは金属イオンであり、Cはジエチレントリアミンなどのポリアミンである可能性がある。

K_{AC}={\frac {[AC]}{[A][C]}}

競合反応の安定度定数K

AC+B\leftrightharpoons AB+C

次のように表現できる

K={\frac {[AB][C]}{[AC][B]}}

すると、

K_{AB}=K\times K_{AC}

ここで、Kは競合反応の安定度定数である。したがって、安定度定数の値は、実験的に決定されたKおよびの値から導くことができる。 $K_{AB}$ $K_{AC}$

計算方法

収集された実験データは、複数のデータ点の集合から構成されると仮定する。各 $i$ 番目のデータ点において、反応物の分析濃度 $T A (i)$ 、 $T B (i)$ などが既知であり、さらにこれらの分析濃度の1つ以上に依存する測定量 $y i$ も既知である。一般的な計算手順は、主に以下の4つの要素から構成される。

平衡の化学モデルの定義
各溶液中のすべての化学種の濃度の計算
平衡定数の改良
モデル選択

ホスト-ゲスト種などの1:1複合体の形成に関する平衡定数の値は、専用のスプレッドシートアプリケーションBindfitを使用して計算できます。^{[ 4 ]}この場合、ステップ2は非反復手順で実行でき、ステップ3には事前にプログラムされたルーチンSolverを使用できます。

化学モデル

化学モデルは、溶液中に存在する一連の化学種、すなわち反応混合物に添加される反応物とそれらから形成される複合種の両方から構成されます。反応物をA、B…で表すと、それぞれの複合種は、それらを形成する反応物の特定の組み合わせに関連する化学量論係数によって規定されます。

{\ce {{{\mathit {p}}A}+{\mathit {q}}B\cdots <=>A_{\mathit {p}}B_{\mathit {q}}\cdots }}

:

\beta _{pq\cdots }={\frac {[{\ce {A}}_{p}{\ce {B}}_{q}\cdots ]}{[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots }}

汎用コンピュータプログラムを使用する場合、通常は上記のように累積結合定数を使用します。電荷はこのような一般的な表現には示されず、表記を簡略化するために具体的な表現でも省略されることがよくあります。実際、電荷は、すべての系において電気的に中性であることが求められること以外、平衡過程には何ら影響を与えません。

水溶液では、陽子（ヒドロニウムイオン）と水酸化物イオンの濃度は水の自己解離によって制限されます。

{\ce {H2O <=> H+ + OH-}}

:

K_{\mathrm {W} }^{'}={\frac {[H^{+}][OH^{-}]}{[H_{2}O]}}

希薄溶液では水の濃度は一定であると想定されるため、平衡式は水のイオン積の形式で表されます。

K_{\mathrm {W} }={\ce {[H+]}}[{\ce {OH-}}]\,

H ⁺とOH ^{− の}両方を反応物として考慮する必要がある場合、一方の濃度はもう一方の濃度から導かれるように指定することで、モデルから除外されます。通常、水酸化物イオンの濃度は次のように与えられます。

[{\ce {OH-}}]={\frac {K_{{\ce {W}}}}{[{\ce {H+}}]}}\,

この場合、水酸化物生成の平衡定数は、プロトンに関しては化学量論係数-1、他の反応物に関してはゼロとなります。これは、水溶液中のすべてのプロトン化平衡、特に加水分解定数に重要な意味を持ちます。

濃度が無視できると考えられる種をモデルから除外することは、ごく一般的です。例えば、反応物および／または錯体と、一定のイオン強度を維持するために使用される電解質、または一定のpHを維持するために使用される緩衝液との間には相互作用がないと仮定するのが一般的です。これらの仮定は、妥当であるかどうかはわかりません。また、他の複合種は存在しないと暗黙的に仮定されています。錯体が誤って無視されると、計算に系統的誤差が生じます。

平衡定数値は通常、データソースを参照して最初に推定されます。

種分化計算

化学種分化計算とは、反応物A、Bなどの分析濃度T _A、T _Bなどを知って、平衡システム内のすべての化学種の濃度を計算する計算です。これは、一連の非線形質量バランス方程式を解くことを意味します。

{\begin{aligned}{\ce {T_{A}}}&=[{\ce {A}}]+\sum _{1,nk}p\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\{\ce {T_{B}}}&=[{\ce {B}}]+\sum _{1,nk}q\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\etc.\end{aligned}}

自由濃度[A]、[B]などについて。pH（または等価起電力、E）を測定すると、測定値から自由水素イオン濃度[H]が得られます。

$[\mathrm {H} ]=10^{-\mathrm {pH} }$ または $[\mathrm {H} ]=e^{\mathrm {{-{\frac {nF}{RT}}}(EE^{0})} }$

他の反応物の自由濃度のみが計算されます。錯体の濃度は、化学モデルを用いて自由濃度から導出されます。

一部の著者^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}は、当該反応物については化学量論係数が1、その他の反応物については0となるような単位 $β$ 定数を宣言することで、自由反応物の項を合計に含める。例えば、試薬が2種類ある場合、質量収支式はより単純な形をとる。

{\begin{aligned}T_{\ce {A}}&=\sum _{0,nk}p\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\[4pt]T_{\ce {B}}&=\sum _{0,nk}q\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\\end{aligned}}

\beta _{10}=\beta _{01}=1

このように、自由反応物を含むすべての化学種は、化学量論係数によって指定された反応物の組み合わせから 形成されたものであり、同じように扱われます。

滴定システムでは、各滴定点における反応物の分析濃度は、初期条件、ビュレット濃度、および容量から得られる。i番目の滴定点における反応物Rの分析（総）濃度は、次 $式$ で与えられる。

T_{{\ce {R}}}={\frac {{\ce {R}}_{0}+v_{i}{\ce {[R]}}}{v_{0}+v_{i}}}

ここで、R ₀は滴定容器内のRの初期量、 $v 0$ は初期容量、[R]はビュレット内のRの濃度、 $v i$ は添加した容量である。ビュレット内に反応物が存在しない場合には、ビュレット濃度はゼロとみなされる。

一般的に、これらの非線形方程式を解くことは、自由濃度の変動範囲が非常に広いため、非常に困難な課題となります。まず、自由濃度の値を推定する必要があります。次に、これらの値は、通常はニュートン・ラプソン反復法を用いて精緻化されます。自由濃度そのものではなく、自由濃度の対数が精緻化される場合もあります。自由濃度の対数を精緻化することで、自由濃度に非負制約が自動的に課されるという利点もあります。自由反応物の濃度が計算されると、それと平衡定数から錯体の濃度が導出されます。

自由反応物濃度は、平衡定数の精密化プロセスにおける暗黙のパラメータとみなすことができる点に留意してください。この場合、自由反応物濃度の値は、プロセスの全段階で質量バランスの条件を適用することによって制約されます。

平衡定数の改良

改良プロセスの目的は、実験データに最もよく適合する平衡定数値を見つけることです。これは通常、非線形最小二乗法を用いて目的関数 $U$ を最小化することで達成されます。まず、残差は次のように定義されます。

r_{i}=y_{i}^{\text{obs}}-y_{i}^{\text{calc}}

最も一般的な目的関数は次のように与えられる。

U=\sum _{i}\sum _{j}r_{i}W_{ij}r_{j}\,

重み行列 $W$ は、理想的には、観測値の分散共分散行列の逆行列であるべきである。これが既知であることは稀である。しかし、既知である場合、 U の期待値は1となり、これはデータが実験誤差の範囲内に収まっていることを意味する。ほとんどの場合、対角要素のみが既知であり、その場合、目的関数は次のように簡略化される。

U=\sum _{i}W_{ii}r_{i}^{2}

$j$ $\neq$ $i$ のとき、 $W ij = 0$ となります。単位重み $W$ $ii$ $= 1がよく使用されますが、その場合、$ $U$ の期待値は実験誤差の二乗平均平方根となります。

最小化はガウス・ニュートン法を用いて行うことができる。まず、目的関数を初期パラメータセット $p$ を中心とした一次テイラー級数展開として近似することで線形化する。

U=U^{0}+\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial p_{i}}}\delta p_{i}

増分 $δ p i$ は対応する初期パラメータに追加され、 $Uは$ $U 0$ より小さくなります。最小値では、導関数 $は \partialU / \partial p i ⁠$ 、これはヤコビ行列 $J$ の要素と単純に関連している

J_{jk}={\frac {\partial y_{j}^{\mathrm {calc} }}{\partial p_{k}}}

ここで、 $p k$ は精密化の $k$ 番目のパラメータであり、0 に等しい。1 つ以上の平衡定数が精密化のパラメータとなる場合がある。ただし、 $y$ で表される測定量（上記参照）は平衡定数ではなく、これらのパラメータの暗黙的な関数である種濃度で表される。したがって、ヤコビ行列要素は暗黙的な微分を用いて求める必要がある。

パラメータ増分 $δ p$ は、以下の条件から導かれる正規方程式を解くことによって計算されます $。$ $\partialU / \partial p ⁠$ =最小で $0 。$

{\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr}

増分 $δ p$ はパラメータに繰り返し加算される。

\mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+\delta \mathbf {p}

ここで $、n$ は反復回数です。種濃度と $y calc$ 値は、各データポイントで再計算されます。反復は、 $U$ の有意な減少がなくなるまで、つまり収束基準が満たされるまで続けられます。ただし、更新されたパラメータによって目的関数が減少しない場合、つまり発散が発生した場合は、増分計算を修正する必要があります。最も簡単な修正は、計算された増分の割合 $f$ を使用する、いわゆるシフトカットです。

\mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+f\mathbf {\delta p}

この場合、シフトベクトル $δ p$ の方向は変化しません。一方、より強力なレーベンバーグ・マルカート法では、正規方程式を修正することで、シフトベクトルは最急降下法の方向へ回転します。

\mathbf {\left(J^{\mathrm {T} }WJ+\lambda I\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr}

ここで $λ$ はマルクワルトパラメータ、 $I$ は単位行列である。発散を扱う他の手法も提案されている。^{[ 6 ]}

NMRと分光光度計のデータでは、特に問題が生じます。後者の場合、観測量は吸光度 $A$ であり、ランベルト・ビールの法則は次のように表されます。

A_{\lambda }=l\sum (\varepsilon _{pq..})_{\lambda }c_{pq..}

濃度cが既知であると仮定すると、与えられた波長、および光路長における吸光度 $A$ は、モル吸光係数 $ε$ の線形関数であることがわかる。光路長1cmの場合、行列記法では $\lambda$ $l$

\mathbf {A} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {C} \,

未知のモル吸光係数を計算するには2つの方法がある。

(1)

ε

値は最小化のパラメータとみなされ、ヤコビアンはその値に基づいて構築される。しかし、

ε

値自体は、改良の各ステップにおいて線形最小二乗法によって計算される。

{\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {\left(C^{\mathrm {T} }C\right)^{-1}C^{\mathrm {T} }A}

平衡定数の改良値を用いて種分化を得る。行列

\mathbf {\left(C^{T}C\right)^{-1}C^{T}}

は擬似逆の例です。

ゴルブとペレイラ^{[ 7 ]は、}擬似逆行列を微分化して、モル吸光係数と平衡定数の両方のパラメータ増分を正規方程式を解くことによって計算できることを示した。

（２）ビール・ランベルトの法則は次のように表される。

\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} _{\lambda }=\mathbf {A} _{\lambda }^{-1}\mathbf {C} \,

すべての「着色」物質の未知のモル吸光度は、線形最小二乗法を用いて、波長ごとに1つずつ計算されます。計算は改良サイクルごとに1回実行され、その改良サイクルで得られた安定度定数を用いて、マトリックス中の物質の濃度値が計算されます。

\mathbf {C}

パラメータ誤差と相関

$目的関数U$ の最小値に近い領域では、システムは線形最小二乗システムに近似し、

\mathbf {p=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }Wy^{\mathrm {obs} }}

したがって、パラメータ値は観測データ値の（近似的な）線形結合であり、パラメータの誤差 $p$ は、観測値 $y$ $obs$ から線形公式を用いて誤差伝播によって得られる。観測値の分散共分散行列を $Σ$ $y$ 、パラメータの分散共分散行列を $Σ$ $p$ とすると、

\mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }W\Sigma ^{y}W^{\mathrm {T} }J(J^{\mathrm {T} }WJ)^{-1}}

$W = (Σ y) -1$ のとき、これは次のように単純化される。

\mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}}

ほとんどの場合、観測値の誤差は無相関であるため、 $Σ y$ は対角行列となる。そうであれば、各重みは対応する観測値の分散の逆数となるはずである。例えば、電位差滴定では、滴定点 $k$ における重みは次のように与えられる。

W_{k}={\frac {1}{\sigma _{E}^{2}+\left({\frac {\partial E}{\partial v}}\right)_{k}^{2}\sigma _{v}^{2}}}

ここで $σ E$ は電極電位または pH の誤差であり、 $（ ⁠ \partial E / \partial v ⁠) け$ は滴定曲線の傾きであり、 $σ v$ は添加量の誤差です。

単位重みが使用される場合（ $W = I$ 、 $p = (J T J) -1 J T y$ ）、実験誤差は無相関ですべて等しいことが示唆される： $Σ y = σ 2 I$ 、ここで $σ 2$ は単位重みの観測値の分散として知られ、 $I$ は単位行列である。この場合、 $σ 2$ は次のように近似される。

\sigma ^{2}={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}

ここで、 $U$ は目的関数の最小値、 $n d$ と $n p$ はそれぞれデータとパラメータの数です。

\mathbf {\Sigma ^{p}} ={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}\left(\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} \right)^{-1}

いずれの場合も、パラメータ $p$ $i$ の分散は $Σ$ で与えられる。 $p ii$ $パラメータp i$ と $p j$ の共分散は $Σ$ で与えられる。 $p ij$ 標準偏差は分散の平方根です。これらの誤差推定値は、測定におけるランダム誤差のみを反映しています。パラメータの真の不確実性は、定義上定量化できない系統的誤差の存在により、より大きくなります。

観測値は無相関であっても、パラメータは常に相関していることに注意してください。

導出定数

累積定数が精密化されると、そこから段階的な定数を導出することがしばしば有用です。一般的な手順は、関係するすべての定数の定義式を書き出し、次に濃度を等しくすることです。例えば、クエン酸などの三塩基酸LH ₃から1つのプロトンを除去する場合のpKaを導出したいとします。

{\begin{aligned}{\ce {L^3-}}+{\ce {H+ <=>}}\ {\ce {LH^2-}}&:\ [{\ce {LH^2-}}]=\beta _{11}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]\\{\ce {L^3-}}+{\ce {2H+ <=>}}\ {\ce {LH2^-}}&:\ [{\ce {LH2^-}}]=\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}\\{\ce {L^3-}}+{\ce {3H+ <=>}}\ {\ce {LH3}}&:\ [{\ce {LH3}}]=\beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}\end{aligned}}

_{LH 3}の形成における段階的会合定数は次のように与えられる。

{\ce {{LH2^{-}}+H+<=>LH3\ ;\quad \ [LH3]}}=K[{\ce {LH2^{-}}}][{\ce {H+}}]

_{LH 3}とLHの濃度の式を代入します。⁻₂この式に

\beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}=K\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}[{\ce {H+}}]

どこから

\beta _{13}=K\beta _{12};K={\frac {\beta _{13}}{\beta _{12}}}\,

そして $p K a = -log 10 ⁠ 1 / K ⁠$ その値は次のように与えられる

{\ce {p}}K_{{\ce {a1}}}=\log _{10}\beta _{13}-\log _{10}\beta _{12}\,

{\ce {p}}K_{{\ce {a2}}}=\log _{10}\beta _{12}-\log _{10}\beta _{11}\,

{\ce {p}}K_{{\ce {a3}}}=\log _{10}\beta _{11}\,

pKとlog βの番号が逆になっていることに注意してください。ステップワイズ定数の誤差を計算する際には、累積定数が相関しているという事実を考慮する必要があります。誤差伝播により

\sigma _{K}^{2}=\sigma _{\beta _{12}}^{2}+\sigma _{\beta _{13}}^{2}-2\sigma _{\beta _{12}}\sigma _{\beta _{13}}\rho _{12,13}\,

そして

\sigma _{\log _{10}K}={\frac {\sigma _{K}}{K}}

モデル選択

改良が完了したら、結果を確認し、選択したモデルが許容できるかどうかを確認する必要があります。一般的に、データが実験誤差の範囲内で適合している場合、モデルは許容できますが、判断基準は一つではありません。以下の点を考慮する必要があります。

目的関数

実験誤差の推定値から重みが正しく導出されている場合、 $⁠$ の期待値は $あなた / n d - n p ⁠$ は1です。^{[ 8 ]}したがって、これは適合度の絶対的な指標であるため、実験誤差を推定し、そこから合理的な重みを導き出すことは非常に有用です。

単位重みを使用する場合、すべての観測値が同じ分散を持つことを意味します $。$ $あなた / n d - n p ⁠$ はその分散に等しいと予想されます。

パラメータエラー

安定度定数の誤差は、実験誤差とほぼ同程度であることが望まれる。例えば、pH滴定データにおいて、pHを小数点以下2桁まで測定した場合、 $log 10 β$ の誤差は0.01を大きく超えてはならない。存在する化学種の性質が事前に分かっていない探索的研究では、複数の異なる化学モデルが試験・比較されることがある。平衡定数の最良推定値の不確実性が、特に比較的微量な化学種の形成を支配する定数の場合、 $σ pH$ よりもいくらか、あるいは大幅に大きくなるモデルも存在するだろうが、どの程度の大きさが許容できるかという判断は依然として主観的である。比較的不確実な平衡をモデルに含めるかどうか、そして一般に競合モデルを比較するかどうかの決定プロセスは、客観的なものにすることができ、Hamiltonによって概説されている^{[ 8 ] 。}

残差の分布

$U$ の最小値ではシステムは線形近似が可能であり、単位重みの場合の残差は観測値と次のように関係している。

\mathbf {r=y^{\mathrm {obs} }-J\left(J^{\mathrm {T} }T\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }y^{\mathrm {obs} }}

対称冪等行列 $J (J T T) -1 J$ は統計学の分野ではハット行列H $として$ 知られている。したがって、

\mathbf {r=\left(I-H\right)y^{\mathrm {obs} }}

そして

\mathbf {M^{r}=\left(I-H\right)M^{y}\left(I-H\right)}

ここで、 $I$ は単位行列、 $M r$ と $M y$ はそれぞれ残差と観測値の分散共分散行列です。これは、観測値が無相関であっても、残差は常に相関していることを示しています。

右の図は、Ni (Gly) ⁺、Ni(Gly) ₂、Ni(Gly)の安定度定数の改良結果を示しています。⁻₃（GlyH =グリシン）。観測値は青い菱形で示され、ニッケル総量に対する割合として各元素の濃度が重ねて表示されています。残差は下の枠に示されています。残差は予想されるほどランダムに分布していません。これは、液間電位の変動やガラス/液体界面におけるその他の影響によるものです。これらの影響は、平衡が確立される速度に比べて非常に遅いものです。

物理的な制約

計算には通常、いくつかの物理的な制約が組み込まれます。例えば、自由反応物と化学種の濃度はすべて正の値でなければならず、会合定数も正の値でなければなりません。

分光光度計によるデータでは、計算されたモル吸光率（または放射率）はすべて正になるはずです。ほとんどのコンピュータプログラムでは、計算にこの制約は課されません。

化学的制約

金属-配位子錯体の安定度定数を決定する場合、配位子のプロトン化定数を、金属を含まない溶液から得られたデータを用いて決定された値に固定するのが一般的です。金属イオンの加水分解定数は通常、配位子を含まない溶液を用いて得られた値に固定されます。三元錯体の安定度定数 M _p A _q B _{rを決定する場合、対応する二元錯体 M}_p′ A _q′および M _p′′ B _q′′の値を、別の実験で決定された値に固定するのが一般的です。このような制約を使用すると、決定するパラメータの数は減りますが、改良された安定度定数の値に関する計算誤差が過小評価される可能性があります。

その他のモデル

モデルが許容できない場合は、実験誤差の範囲内で実験データに最も適合するモデルを見つけるために、様々なモデルを検討する必要があります。主な問題は、いわゆる微量種と呼ばれる種にあります。これらの種は、濃度が非常に低く、測定量への影響が実験測定における誤差レベル以下です。微量種の濃度を上げる手段がない場合、微量種の定数を決定することは不可能となる可能性があります。

宿主-ゲスト相互作用の熱力学的原理

ホスト-ゲスト相互作用の熱力学は、NMR分光法、UV/可視分光法、等温滴定熱量測定法によって評価できます。^{[ 9 ]}結合定数の定量分析は、有用な熱力学的情報を提供します。

結合定数は、次の式で定義できる。 $K_{a}^{\ominus }$

K_{a}^{\ominus }={\frac {\{HG\}}{\{H\}\{G\}}}={\frac {[HG]}{[H][G]}}\times \Gamma

ここで、{HG}は平衡状態における複合体の熱力学的活量である。{H}は宿主の活量、{G}はゲストの活量を表す。量、およびは対応する濃度であり、は活量係数の商である。 $[HG]$ $[H]$ $[G]$ $\Gamma$

実際には、平衡定数は通常、濃度によって定義されます。

K_{a}={\frac {[HG]}{[H][G]}}

この定義を用いると、活量係数の商は数値的に1となることが暗黙的に示される。すると、平衡定数は1/濃度の次元を持つように見えるが、標準ギブスの自由エネルギー変化はの対数に比例するため、これは正しくない。 $K_{A}$ $\Delta G^{\ominus }$ $K_{A}$

\Delta G^{\ominus }=-RT\ln {K_{A}^{\ominus }}

この一見矛盾する現象は、の次元を濃度商の次元の逆数として定義することで解決されます。これは、が関連するすべての実験条件下で一定値を持つとみなされることを意味します。しかしながら、実験的に決定された Kの値に、ミリモル/リットルやマイクロモル/リットルなどの次元を付与することは、一般的に行われています。 $\Gamma$ $\Gamma$

値が大きい場合は、ホスト分子とゲスト分子が強く相互作用して、ホスト-ゲスト複合体を形成していることを示します。 $K_{a}$

結合定数と速度定数の決定

単純なホスト-ゲスト複合体

ホスト分子とゲスト分子が結合して単一の複合体を形成する場合、平衡は次のように表される。

H+G\leftrightharpoons HG

平衡定数Kは次のように定義される。

K={\frac {[HG]}{[H][G]}}

ここで[X]は化学種Xの濃度を表す（すべての活量係数は数値的に1であると仮定する）。質量収支式は、任意のデータ点において、

T_{H}=[H]+K[H][G]

T_{G}=[G]+K[H][G]

ここで、およびはホストとゲストの合計濃度を表し、たとえば [G] の単一の二次方程式に簡約できるため、任意の K の値に対して解析的に解くことができます。これにより、濃度 [H] と [HG] を導出できます。 $T_{G}$ $T_{H}$

[H]=T_{H}-T_{G}+[G]

[HG]=K[H][G]

計算の次のステップは、観測された量に対応する量の値を計算することである。そして、すべてのデータ点npの平方和Uは次のように定義される。 $X_{i}^{calc}$ $X_{i}^{obs}$

U=\sum _{i=1,np}(X_{i}^{obs}-X_{i}^{calc})^{2}

これは、安定度定数Kと、化学シフトHG（NMRデータ）やモル吸光度（UV/VISデータ）などのパラメータに関して最小化できます。この最小化は、EXCELなどのスプレッドシートアプリケーションで、組み込みのSOLVERユーティリティを用いて実行できます。

この手順は 1:1 付加物に適用できます。

一般的な錯形成反応

ホストHとゲストGを含む各平衡について

pH+qG\leftrightharpoons H_{p}G_{q}

平衡定数は次のように定義される。 $\beta _{pq}$

\beta _{pq}={\frac {[H_{p}G_{q}]}{[H]^{p}[G]^{q}}}

自由濃度の値は、安定度定数の既知値または推定値を使用して質量バランスの方程式を解くことによって得られます。 $[H]$ $[G]$

T_{H}=[H]+\sum p\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}

T_{G}=[G]+\sum q\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}

次に、各複合種の濃度もとして計算できます。各種の濃度と測定量との関係は、上記の各セクションで示したように、測定手法によって異なります。この関係を用いて、パラメータセット、安定度定数、モル吸光係数や特定の化学シフトなどの特性値を、非線形最小二乗法による精密化プロセスで精密化することができます。理論のより詳細な説明については、「平衡定数の決定」を参照してください。専用のコンピュータプログラムがいくつか実装リストに掲載されています。 $[H_{p}G_{q}]=\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}$

協力性

協同性においては、最初のリガンド結合が宿主のその後のリガンドに対する親和性に影響を与えます。正の協同性においては、最初の結合イベントが宿主の別のリガンドに対する親和性を高めます。正の協同性と負の協同性の例としては、それぞれヘモグロビンとアスパラギン酸受容体が挙げられます。^{[ 10 ]}

一般的なホスト–ゲスト結合。(1.)ゲストA結合(2.)ゲストB結合。(3.)正の協同性ゲストA–B結合。(4.)負の協同性ゲストA–B結合

協同性の熱力学的性質は、正の協同性と負の協同性を区別する数学的パラメータを定義するために研究されてきました。従来のギブスの自由エネルギー方程式は次のように示されます。しかし、ホスト-ゲスト系における協同性を定量化するためには、結合エネルギーを考慮する必要があります。右の図は、Aの結合、Bの結合、A-Bの正の協同性結合、そして最後にA-Bの負の協同性結合を示しています。したがって、ギブスの自由エネルギー方程式の別の形は次のようになります。 $\Delta G=\Delta H-T\Delta S\$

\Delta G_{S}^{\circ }=\Delta G_{A}^{\circ }+\Delta G_{B}^{\circ }-\Delta G_{AB}^{\circ }

\Delta H_{S}^{\circ }=\Delta H_{A}^{\circ }+\Delta H_{B}^{\circ }-\Delta H_{AB}^{\circ }

\ T\Delta G_{S}^{\circ }=T\Delta H_{A}^{\circ }+T\Delta H_{B}^{\circ }-T\Delta S_{AB}^{\circ }

どこ：

\Delta G_{A}^{\circ }

= 結合Aの自由エネルギー

\Delta G_{B}^{\circ }

= 結合Bの自由エネルギー

\Delta G_{S}^{\circ }

= AとBの結合の自由エネルギー

\Delta G_{AB}^{\circ }

= 結合の自由エネルギーの合計

との合計より大きい場合、それは正に協同的であると考えられます。より小さい場合、それは負に協同的です。^[¹¹^] ホスト–ゲスト化学は、受容体–リガンド間の相互作用に限定されません。これはイオン対形成システムでも実証されています。このような相互作用は、合成有機金属ホストと有機ゲスト分子を使用して水性媒体で研究されています。たとえば、銅（ホスト）を含むポリカチオン受容体は、テトラカルボン酸塩、トリカルバレート、アスパラギン酸、酢酸塩などの分子（ゲスト）と配位します。この研究は、エンタルピーではなくエントロピーがシステムの結合エネルギーを決定し、それが負の協同性につながることを示しています。エントロピーの大きな変化は、リガンドと受容体を取り囲む溶媒分子の置換に起因します。複数の酢酸塩が受容体に結合すると、テトラカルボン酸塩よりも多くの水分子が環境に放出されます。これにより自由エネルギーが減少し、システムが負に協同していることが示唆されます。^[¹²^]グアニジニウムとCu(II)およびポリカルボキシレートゲストを用いた同様の研究では、正の協同性は主にエンタルピーによって決定されることが実証されている。^[¹³^]熱力学研究に加えて、ホスト-ゲスト化学は生物学的応用も持っている。 $\Delta G_{S}^{\circ }$ $\Delta G_{A}^{\circ }$ $\Delta G_{B}^{\circ }$ $\Delta G_{S}^{\circ }$

実装

いくつかの単純なシステムはスプレッドシート計算に適しています。^{[ 4 ]}^{[ 14 ]}

平衡定数を計算するための汎用コンピュータプログラムが多数公開されている。参考文献については^{[ 15 ]}を参照のこと。最もよく使用されるプログラムは以下の通りである。

電位差測定データ: Hyperquad、BEST ^{[ 16 ]} PSEQUAD、^{[ 17 ]} ReactLab pH PRO
分光光度データ: HypSpec、SQUAD、^{[ 17 ]} Specfit、^{[ 18 ]} ReactLab EQUILIBRIA
NMRデータHypNMR、EQNMR 2019年7月14日アーカイブat the Wayback Machine
熱量測定データHypΔH。アフィニメーター市販の等温滴定熱量計には通常、1:1付加物の形成における平衡定数と標準生成エンタルピーを求めるソフトウェアが付属しています。より複雑な平衡を扱うためのソフトウェアも付属している場合があります。

参考文献

^ Rossotti, F. J. C.; Rossotti, H. (1961).安定度定数の決定. McGraw-Hill.
^ 「pHスケールの定義、標準参照値、pH測定、および関連用語」（PDF） . Pure Appl. Chem . 57 : 531– 542. 1985. doi : 10.1351/pac198557030531 . S2CID 14182410 .
^ Silva, Andre MN; Kong, Xiaole; Hider, Robert C. (2009). 「α-ヒドロキシカルボン酸塩（クエン酸、リンゴ酸、乳酸）のヒドロキシル基のp Ka_値の¹³ C NMRによる測定：生体系における金属配位への影響」. Biometals . 22 ( 5): 771– 778. doi : 10.1007/s10534-009-9224-5 . PMID 19288211. S2CID 11615864 .
^ ^a ^b Hibbert, DB; Thordarson, P. (2017). 「ジョブプロットの終焉、透明性、オープンサイエンスとオンラインツール、不確実性推定法、そして超分子化学データ分析におけるその他の発展」 . Chemical Communications . 52 (87): 12792– 12805. doi : 10.1039/c6cc03888c . PMID 27779264 .
^ Motekaitis, R. J.; Martell, A. E. (1982). 「BEST — 複雑な多成分系の平衡パラメータを厳密に計算する新しいプログラム」Can. J. Chem . 60 (19): 2403– 2409. doi : 10.1139/v82-347 .
^ ^a ^b Potvin, P. G. (1990). 「複雑な溶液平衡のモデリング．I. 平衡定数の高速かつ安心な最小二乗法による精密化」 . Can. J. Chem . 68 (12): 2198– 2207. doi : 10.1139/v90-337 .
^ Golub, G. H.; Pereyra, V. (1973). 「変数が分離している擬似逆問題と非線形最小二乗問題の微分化」. SIAM J. Numer. Anal . 10 (2): 413– 432. Bibcode : 1973SJNA...10..413G . doi : 10.1137/0710036 .
^ ^a ^b Hamilton, W. C. (1964). 『物理科学における統計学』ニューヨーク、NY: ロナルド・プレス.
^ Piñeiro, Á.; Banquy, X.; Pérez-Casas, S.; Tovar, É.; García, A.; Villa, A.; Amigo, A.; Mark, AE; Costas, M. (2007). 「ホスト–ゲスト複合体の特性評価：非イオン界面活性剤を含むシクロデキストリンの表面張力、熱量測定、および分子動力学」Journal of Physical Chemistry B. 111 ( 17): 4383–92 . doi : 10.1021/jp0688815 . PMID 17428087 .
^ Koshland, D (1996). 「負の協同性の構造的基盤：受容体と酵素」Current Opinion in Structural Biology . 6 (6): 757– 761. doi : 10.1016/S0959-440X(96)80004-2 . PMID 8994875 .
^ Jencks, WP (1981). 「結合エネルギーの帰属と加法性について」 .米国科学アカデミー紀要. 78 (7): 4046– 4050. Bibcode : 1981PNAS...78.4046J . doi : 10.1073 / pnas.78.7.4046 . PMC 319722. PMID 16593049 .
^ Dobrzanska, L; Lloyd, G; Esterhuysen, C; Barbour, L (2003). 「イオン対分子認識における負の協同性の熱力学的起源に関する研究」アメリカ化学会誌. 125 (36): 10963– 10970. doi : 10.1021/ja030265o . PMID 12952478 .
^ Hughes, A.; Anslyn, E. (2007). 「水中で正の協同性を示すカチオン性ホスト」 . Proceedings of the National Academy of Sciences, USA . 104 (16): 6538– 6543. Bibcode : 2007PNAS..104.6538H . doi : 10.1073 /pnas.0609144104 . PMC 1871821. PMID 17420472 .
^ Billo, E. Joseph (2011). Excel for Chemists: A Comprehensive Guide (第3版). Wiley-VCH. ISBN 978-0-470-38123-6。
^ Gans, P.; Sabatini, A.; Vacca, A. (1996). 「溶液中の平衡状態の調査．HYPERQUADプログラム群を用いた平衡定数の決定」. Talanta . 43 (10): 1739– 1753. doi : 10.1016/0039-9140(96)01958-3 . PMID 18966661 .
^ Martell, A. E.; Motekaitis, R. J. (1992).安定度定数の決定と利用. Wiley-VCH. ISBN 0471188174。
^ ^a ^b Leggett, D. J.編 (1985).形成定数の決定のための計算法. Plenum Press. ISBN 978-0-306-41957-7。
^ Gampp, H.; Maeder, M.; Mayer, C. J.; Zuberbühler, A. (1985). 「多波長分光データからの平衡定数の計算—数学的考察」Talanta . 32 (95): 95– 101. doi : 10.1016/0039-9140(85)80035-7 . PMID 18963802 .

[1] Rossotti, F. J. C.; Rossotti, H. (1961).安定度定数の決定. McGraw-Hill.

[2] 「pHスケールの定義、標準参照値、pH測定、および関連用語」（PDF） . Pure Appl. Chem . 57 : 531– 542. 1985. doi : 10.1351/pac198557030531 . S2CID 14182410 .

[3] Silva, Andre MN; Kong, Xiaole; Hider, Robert C. (2009). 「α-ヒドロキシカルボン酸塩（クエン酸、リンゴ酸、乳酸）のヒドロキシル基のp Ka_値の¹³ C NMRによる測定：生体系における金属配位への影響」. Biometals . 22 ( 5): 771– 778. doi : 10.1007/s10534-009-9224-5 . PMID 19288211. S2CID 11615864 .

[Hibbert-4] Hibbert, DB; Thordarson, P. (2017). 「ジョブプロットの終焉、透明性、オープンサイエンスとオンラインツール、不確実性推定法、そして超分子化学データ分析におけるその他の発展」 . Chemical Communications . 52 (87): 12792– 12805. doi : 10.1039/c6cc03888c . PMID 27779264 .

[5] Motekaitis, R. J.; Martell, A. E. (1982). 「BEST — 複雑な多成分系の平衡パラメータを厳密に計算する新しいプログラム」Can. J. Chem . 60 (19): 2403– 2409. doi : 10.1139/v82-347 .

[pgp1990a-6] Potvin, P. G. (1990). 「複雑な溶液平衡のモデリング．I. 平衡定数の高速かつ安心な最小二乗法による精密化」 . Can. J. Chem . 68 (12): 2198– 2207. doi : 10.1139/v90-337 .

[Golub-7] Golub, G. H.; Pereyra, V. (1973). 「変数が分離している擬似逆問題と非線形最小二乗問題の微分化」. SIAM J. Numer. Anal . 10 (2): 413– 432. Bibcode : 1973SJNA...10..413G . doi : 10.1137/0710036 .

[Hamilton-8] Hamilton, W. C. (1964). 『物理科学における統計学』ニューヨーク、NY: ロナルド・プレス.

[9] Piñeiro, Á.; Banquy, X.; Pérez-Casas, S.; Tovar, É.; García, A.; Villa, A.; Amigo, A.; Mark, AE; Costas, M. (2007). 「ホスト–ゲスト複合体の特性評価：非イオン界面活性剤を含むシクロデキストリンの表面張力、熱量測定、および分子動力学」Journal of Physical Chemistry B. 111 ( 17): 4383–92 . doi : 10.1021/jp0688815 . PMID 17428087 .

[10] Koshland, D (1996). 「負の協同性の構造的基盤：受容体と酵素」Current Opinion in Structural Biology . 6 (6): 757– 761. doi : 10.1016/S0959-440X(96)80004-2 . PMID 8994875 .

[11] Jencks, WP (1981). 「結合エネルギーの帰属と加法性について」 .米国科学アカデミー紀要. 78 (7): 4046– 4050. Bibcode : 1981PNAS...78.4046J . doi : 10.1073 / pnas.78.7.4046 . PMC 319722. PMID 16593049 .

[12] Dobrzanska, L; Lloyd, G; Esterhuysen, C; Barbour, L (2003). 「イオン対分子認識における負の協同性の熱力学的起源に関する研究」アメリカ化学会誌. 125 (36): 10963– 10970. doi : 10.1021/ja030265o . PMID 12952478 .

[13] Hughes, A.; Anslyn, E. (2007). 「水中で正の協同性を示すカチオン性ホスト」 . Proceedings of the National Academy of Sciences, USA . 104 (16): 6538– 6543. Bibcode : 2007PNAS..104.6538H . doi : 10.1073 /pnas.0609144104 . PMC 1871821. PMID 17420472 .

[14] Billo, E. Joseph (2011). Excel for Chemists: A Comprehensive Guide (第3版). Wiley-VCH. ISBN 978-0-470-38123-6。

[HQ-15] Gans, P.; Sabatini, A.; Vacca, A. (1996). 「溶液中の平衡状態の調査．HYPERQUADプログラム群を用いた平衡定数の決定」. Talanta . 43 (10): 1739– 1753. doi : 10.1016/0039-9140(96)01958-3 . PMID 18966661 .

[16] Martell, A. E.; Motekaitis, R. J. (1992).安定度定数の決定と利用. Wiley-VCH. ISBN 0471188174。

[Leggett-17] Leggett, D. J.編 (1985).形成定数の決定のための計算法. Plenum Press. ISBN 978-0-306-41957-7。

[18] Gampp, H.; Maeder, M.; Mayer, C. J.; Zuberbühler, A. (1985). 「多波長分光データからの平衡定数の計算—数学的考察」Talanta . 32 (95): 95– 101. doi : 10.1016/0039-9140(85)80035-7 . PMID 18963802 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]は、

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

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v t e 化学平衡
概念	化学的安定性キレート療法動的平衡平衡化学平衡段階自由エネルギーギブスヘルムホルツルシャトリエの原理相分離可逆反応熱力学的平衡
モデル	平衡定数決定相図優位性図位相規則反応商熱力学的活性
アプリケーション	緩衝液均衡の展開液液抽出
特定の平衡	酸解離ハメット酸度関数結合定数結合選択性錯体マクロサイクリック効果解離定数加水分解自己イオン化水パーティション分配係数溶解度共通イオン効果気液ヘンリーの法則