ヴィーフェリヒペア

数学において、ヴィーフェリッヒ対とは、 pとqの素数 の対で、

p q − 1 ≡ 1 ( mod q 2 ) かつq p − 1 ≡ 1 ( mod p 2 )

ヴィーフェリッヒ対は、ドイツの 数学者 アルトゥール・ヴィーフェリッヒにちなんで名付けられました。ヴィーフェリッヒ対は、プレダ・ミハイレスクによる2002年のミハイレスクの定理（以前はカタラン予想として知られていました）の証明[1]において重要な役割を果たしました。[2]

既知のヴィーフェリヒ対

ヴィーフェリヒペアは7組しか知られていない：[3] [4]

(2, 1093)、(3, 1006003)、(5, 1645333507)、(5, 188748146801)、(83, 4871)、(911, 318917)、(2903, 18787)。(OEISのシーケンスOEIS : A124121とOEIS : A124122 )

ヴィーフェリッヒトリプル

ヴィーフェリッヒ三重項は、 p、q、rの三重項 が以下の式を満たす 素数である。

p q − 1 ≡ 1 (mod q 2 )、q r − 1 ≡ 1 (mod r 2 )、およびr p − 1 ≡ 1 (mod p 2 )。

ヴィーフェリッヒ三つ組は 17 個知られています。

(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821）、（199、1843757、2251）、（431、2393、54787）、および（1657、2281、1667）。（OEISのシーケンスOEIS ： A253683、OEIS：A253684、およびOEIS： A253685 ）

バーカーシーケンス

バーカー列またはヴィーフェリッヒn組は、ヴィーフェリッヒ対およびヴィーフェリッヒ三組の一般化である。これは、以下の素数 ( p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n ) である。

p 1 p 2 − 1 ≡ 1 (mod p 2 2 ), p 2 p 3 − 1 ≡ 1 (mod p 3 2 ), p 3 p 4 − 1 ≡ 1 (mod p 4 2 ), ..., p n −1 p n − 1 ≡ 1 (mod p n 2 ), p n p 1 − 1 ≡ 1 (mod p 1 2 ). [5]

たとえば、(3, 11, 71, 331, 359) は Barker シーケンス、つまり Wieferich 5 組です。(5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) は Barker シーケンス、つまり Wieferich 10 組です。

最小の Wieferich n組については ( OEISのシーケンスA271100 ) を参照してください。すべての Wieferich 組の順序付きセットについては ( OEISのシーケンスA317721 ) を参照してください。

ヴィーフェリヒ配列

ヴィーフェリッヒ列はバーカー列の特殊な型である。すべての整数k >1 は、それ自身のヴィーフェリッヒ列を持つ。整数k >1 のヴィーフェリッヒ列を作るには、まず a(1) = k、a( n ) = a( n −1) p −1 = 1 (mod p ) かつ a( n −1) ≠ 1 または −1 (mod p ) を満たす最小の素数pとする。すべての整数k >1 は周期的なヴィーフェリッヒ列を持つという予想がある。例えば、2 のヴィーフェリッヒ列は次のようになる。

2、1093、5、20771、18043、5、20771、18043、5、…、循環する: {5、20771、18043}。(ヴィーフェリッヒ三重項)

83のヴィーフェリヒ数列:

83、4871、83、4871、83、4871、83、…、循環する: {83、4871}。(ヴィーフェリッヒ対)

59のヴィーフェリッヒ数列: (この数列は周期的であるためにはより多くの項が必要です)

59、2777、133287067、13、863、7、5、20771、18043、5、...これも5になります。

しかし、a(1) の状態が不明な値も多数存在します。例えば、3 の Wieferich 列は次のようになります。

3、11、71、47、？（47を基数とするヴィーフェリッヒ素数は知られていない）。

14のヴィーフェリヒ数列:

14, 29, ? (29を底とするヴィーフェリッヒ素数は2以外には知られていないが、2 2 = 4は29 − 1 = 28を割り切る)

39のヴィーフェリヒ数列:

39、8039、617、101、1050139、29、？（これも29になります）

kのヴィーフェリッヒ列が周期的にならないようなkの値が存在するかどうかは不明です。さらに、 kのヴィーフェリッヒ列が有限となるようなkの値が存在するかどうかも不明です。

a( n − 1)= k のとき、a( n ) は次のようになります（k = 2 から開始）：1093、11、1093、20771、66161、5、1093、11、487、71、2693、863、29、29131、1093、46021、5、7、281、?、13、13、25633、20771、71、11、19、?、7、7、5、233、46145917691、1613、66161、77867、17、8039、11、29、23、5、229、 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... ( k = 21, 29, 47, 50 の場合、次の値も不明)

参照

参考文献

  1. ^ Preda Mihăilescu (2004). 「Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture」. J. Reine Angew. Math. 2004 (572): 167– 195. doi :10.1515/crll.2004.048. MR  2076124.
  2. ^ Jeanine Daems「カタランの予想の円分的証明」
  3. ^ ワイスタイン、エリック・W.「ダブル・ヴィーフェリッヒ・プライム・ペア」.マスワールド。
  4. ^ OEIS : A124121、例えば、現在、q = 5 となる 2 つの二重ヴィーフェリッヒ素数ペア (p, q) が知られています: (1645333507, 5) と (188748146801, 5)。
  5. ^ 「既知のバーカー配列一覧」。2016年9月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年6月21日閲覧。

さらに読む

  • ビル、ユーリ F. (2004)。 「カタルーニャ語の予想（ミハイレスク以後）」。アステリスク。294 : vii  、1–26。Zbl 1094.11014 。
  • Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno (1997). 「フェルマー商のp-割り切れる可能性について」. Math. Comp. 66 (219): 1353– 1365. Bibcode :1997MaCom..66.1353E. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00843-0 . MR  1408373. Zbl  0903.11002.
  • シュタイナー、レイ (1998). 「類数境界とカタラン方程式」. Math. Comp . 67 (223): 1317– 1322. Bibcode :1998MaCom..67.1317S. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00966-1 . MR  1468945. Zbl  0897.11009.
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