パラメトリックモデル

統計学において、パラメトリックモデル、パラメトリック族、あるいは有限次元モデルは、統計モデルの特定のクラスです。具体的には、パラメトリックモデルとは、有限個のパラメータを持つ確率分布の族です。

意味

統計モデルとは、ある標本空間における確率分布の集合である。この集合 $𝒫$ は、ある集合 $Θ$ によってインデックス付けされているとする。この集合 $Θは$ パラメータ集合、あるいはより一般的にはパラメータ空間と呼ばれる。各 $θ$ $\in Θ$ について、 $F$ $θ を$ その集合の対応する要素とすると、 $F$ $θ$ は累積分布関数となる。このとき、統計モデルは次のように表される。

{\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

ある正の整数 $k$ $に対してΘ \subseteq ℝ$ $k が$ 成り立つ場合、モデルはパラメトリックモデルです。

モデルが絶対連続分布で構成されている場合、対応する確率密度関数で指定されることが多い。

{\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

例

ポアソン分布族は単一の数値 $λ > 0$ によってパラメータ化される。

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},

ここで $p λ$ は確率質量関数である。この族は指数族である。

正規分布族は $θ = (μ, σ)$ でパラメータ化されます。ここで、 $μ \in ℝ$ は位置パラメータ、 $σ > 0$ はスケールパラメータです。

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.

このパラメーター化された族は、指数族と位置スケール族の両方です。

ワイブル変換モデルには 3 次元パラメーター $θ = (λ, β, μ)$ があります。

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},

ここで、は形状パラメータ、はスケールパラメータ、は位置パラメータです。 $\beta$ $\lambda$ $\mu$

二項モデルは $θ = (n, p)$ でパラメータ化されます。ここで、 $n$ は負でない整数、 $p$ は確率（つまり $p \geq 0$ かつ $p \leq 1$ ）です。

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.

この例では、いくつかの離散パラメータを持つモデルの定義を示します。

一般的なコメント

パラメトリックモデルは、マッピング $θ$ $\mapsto$ $P$ $θ$ $が可逆である場合、つまり、 P$ $θ$ $1$ $=$ $P$ $θ$ $2$ となるような2つの異なるパラメータ値 $θ$ $1$ と $θ$ $2$ が存在しない場合に識別可能と呼ばれます。

他のクラスのモデルとの比較

パラメトリックモデルは、セミパラメトリックモデル、セミノンパラメトリックモデル、ノンパラメトリックモデルと対比されます。これらのモデルはいずれも、記述のための無限の「パラメータ」の集合で構成されています。これら4つのクラスの区別は以下のとおりです。^[要出典]

「パラメトリック」モデルでは、すべてのパラメータは有限次元のパラメータ空間内にあります。
すべてのパラメータが無限次元パラメータ空間内にある場合、モデルは「非パラメトリック」です。
「セミパラメトリック」モデルには、有限次元の対象パラメータと無限次元の不要なパラメータが含まれます。
「セミノンパラメトリック」モデルには、有限次元と無限次元の両方の未知の関心パラメータがあります。

一部の統計学者は、「パラメトリック」、「ノンパラメトリック」、「セミパラメトリック」という概念は曖昧であると考えています。^[1]また、すべての確率尺度の集合は連続体の濃度を持つため、任意のモデルを(0,1)区間内の単一の数値でパラメータ化することが可能になります。^[2]この困難は、「滑らかな」パラメトリックモデルのみを検討することで回避できます。

参照

注記

^ ル・カム＆ヤン 2000、§7.4
^ ビッケル他 1998年、2ページ

参考文献

Bickel, Peter J. ; Doksum, Kjell A. (2001), Mathematical Statistics: Basic and selected topics , vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.), Prentice-Hall
Bickel, Peter J. ; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models , Springer
デイヴィソン、AC（2003）、統計モデル、ケンブリッジ大学出版局
ル・カム、ルシアン；ヤン、グレース・ロー（2000年）、統計学の漸近論：いくつかの基本概念（第2版）、シュプリンガー
レーマン、エリック・L.；カセラ、ジョージ（1998）、点推定理論（第2版）、シュプリンガー
Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008),統計的意思決定理論：推定、検定、選択、Springer
Pfanzagl, Johann; R. Hamböker (1994) の協力を得て、『パラメトリック統計理論』、Walter de Gruyter、MR 1291393

[1] ル・カム＆ヤン 2000、§7.4

[2] ビッケル他 1998年、2ページ