統一の分割

Set of functions from a topological space to [0,1] which sum to 1 for any input

数学において、位相空間⁠ ⁠上の単位分割とは、⁠ ⁠から単位区間[0,1]への連続関数の集合であり、任意の点に対して次のようになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

• ⁠ ⁠の近傍では、⁠ ⁠の関数の有限個を除いてすべてがゼロであり、^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$におけるすべての関数値の合計は1である、すなわち、 ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

4つの関数を含む円周上の1の分割。グラフ化のため、円周は線分（下の実線）に展開されている。上の破線は分割に含まれる関数の和である。

単位分割は、局所的な構成を空間全体に拡張できることが多いため有用である。また、データの補間、信号処理、スプライン関数の理論においても重要である。

存在

統一の分割の存在は、2 つの異なる形式をとります。

1. 空間の任意の開被覆が与えられたとき、 同じ集合⁠ ⁠上で添え字付けされた分割が存在し、 suppとなる。このような分割は開被覆に従属すると言われる。 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. 空間が局所的にコンパクトである場合、空間の任意の開被覆が与えられたとき、それぞれがコンパクトサポートを持ち、各⁠ ⁠に対して、何らかの ⁠ ⁠ のサポートを持つような、おそらく異なるインデックスセット⁠ ⁠上でインデックス付けされたパーティションが存在する。 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

したがって、サポートを開被覆でインデックスするか、コンパクトサポートにするかのいずれかを選択します。空間がコンパクトである場合、両方の要件を満たす分割が存在します。

有限開被覆には、その空間が局所コンパクトかつハウスドルフである限り、常にそれに従属する連続的な単位分割が存在する。^[2] 空間がパラコンパクトであることは、任意の開被覆に従属する単位分割の存在を保証するための必要条件である。空間が属するカテゴリによっては、これが十分条件となることもある。 ^[3]特に、ユークリッド空間内のコンパクト集合には、任意の有限開被覆に従属する滑らかな単位分割が存在する。この構成では、連続多様体および滑らかな多様体には存在するが、解析多様体には必ずしも存在しない、軟化子(バンプ関数) を使用する。したがって、解析多様体の開被覆に対しては、その開被覆に従属する解析的な単位分割は一般には存在しない。解析接続を参照。

⁠ ⁠ ${\displaystyle R}$と⁠ ⁠がそれぞれ ${\displaystyle T}$⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle Y}$の単位分割である場合、すべてのペアの集合は直積空間⁠ ⁠の単位分割である。関数のテンソル積は次のように作用する。 ${\displaystyle \{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

例

とを円 上の対蹠点とする。を に送る点の補関数上のチャートを見て、上の単位分割を構築できる。次に、が で定義される凸関数を とすると、この関数と はどちらもと設定することで に一意に拡張できる。すると、この2つの関数は上の単位分割を形成する。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle p\in S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q\in S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 1-\Phi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi (p)=0}$ ${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

バリアント定義

より緩やかな定義が用いられることもある。すなわち、空間の各点において、特定の点におけるすべての関数値の和が1ではなく正であればよい、という定義である。しかし、このような関数の集合が与えられた場合、和をで割ることで厳密な意味での1の分割を得ることができる。この分割は となり、各点において有限個の項のみが非零であるため、これは明確に定義されている。さらに、一部の著者は、サポートが局所的に有限であるという要件を放棄し、すべての に対してであることのみを要求する。^[4] ${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ${\displaystyle x}$

作用素環の分野において、単位分割は射影から構成される^{[5] 。-} 代数の場合、要素は互いに直交していることが示される: ^[6]。ただし、一般の*-代数では、単位分割の要素は互いに直交しているわけではないこと に注意すること。^[7] ${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ $${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$

が単位代数の正規元であり、有限スペクトルを持つ場合、スペクトル分解における射影は単位の分割を形成する。^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$ $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$

コンパクト量子群の分野では、量子順列群の基本表現の行と列は1の分割を形成する。^[9] ${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$ ${\displaystyle (C,u)}$

アプリケーション

統一の分割は、多様体上に定義された関数の積分（体積形式に関して）を定義するために使用できます。まず、多様体の単一の座標パッチにサポートが含まれる関数の積分を定義します。次に、統一の分割を使用して任意の関数の積分を定義します。最後に、定義が選択された統一の分割に依存しないことを示します。

1 の分割は、任意の多様体上のリーマン計量の存在を示すために使用できます。

最急降下法では、積分の漸近線を構築するために 1 の分割を採用します。

Linkwitz-Riley フィルタは、入力信号を高周波成分または低周波成分のみを含む 2 つの出力信号に分離する 1 の分割の実際的な実装例です。

固定次数mのバーンスタイン多項式は、単位区間 の 1 の分割であるm +1 個の線形独立な単変数多項式の族です。 ${\displaystyle [0,1]}$

弱いヒルベルト零点定理（Hilbert Nullstellensatz）は、に共通消失点を持たない多項式 が存在するとき、を持つ多項式が存在することを主張する。つまり、 はザリスキー開被覆に従属する 1 の多項式分割を形成する。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$ ${\displaystyle a_{1}f_{1}+\cdots +a_{r}f_{r}=1}$ ${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=\{x\in \mathbb {C} ^{n}\mid f_{i}(x)\neq 0\}}$

1の分割は、有界領域におけるソボレフ関数の大域的滑らかな近似を確立するために使用される。 ^[10]

参照

• 滑らかさ § 滑らかな統一の分割
• 接着公理
• 上質な束

参考文献

1. Lee, John M., John M. Lee. 滑らかな多様体. Springer New York, 2003.
2. ルディン、ウォルター (1987). 『実解析と複素解析』（第3版）. ニューヨーク: マグロウヒル. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1。
3. アリプランティス, チャラランボス D.; ボーダー, キム C. (2007). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド（第3版）』 ベルリン: シュプリンガー. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0。
4. Strichartz, Robert S. (2003).分布理論とフーリエ変換の入門. シンガポール: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC  54446554。
5. コンウェイ、ジョン・B. 『関数解析講座（第2版）』シュプリンガー、p.54、ISBN 0-387-97245-5。
6. Freslon, Amaury (2023).コンパクト行列量子群とその組み合わせ論. Cambridge University Press. Bibcode :2023cmqg.book.....F.
7. Fritz, Tobias. 「*-代数における単位元分割の対直交性」. Mathoverflow . 2024年2月7日閲覧。
8. マーフィー、ジェラード・J. (1990). C*-代数と作用素理論. アカデミック・プレス. p. 66. ISBN 0-12-511360-9。
9. バニカ、テオ (2023).量子群入門. シュプリンガー. ISBN 978-3-031-23816-1。
10. エヴァンス、ローレンス(2010-03-02)、「ソボレフ空間」、偏微分方程式、数学大学院研究、第19巻、アメリカ数学会、pp.  253– 309、doi :10.1090/gsm/019/05、ISBN 9780821849743

• Tu, Loring W. (2011), An introduction to manifolds , Universitext (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3第13章を参照

外部リンク

• [Mathworld]における単位の分割に関する一般情報

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