パス（トポロジー）

Continuous function whose domain is a closed unit interval

からへのパスが描く点。ただし、異なるパスが同じ点の集合を描くこともできます ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

数学において、位相空間におけるパスとは、閉区間から ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

パスは位相幾何学や数学解析の分野で重要な役割を果たします。例えば、任意の2点を結ぶパスが存在する位相空間はパス連結であると言われます。任意の空間はパス連結成分に分解できます。空間のパス連結成分の集合は、しばしば次のように表記されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

有向空間におけるパスとループも定義することができ、これらはホモトピー理論において重要です。が基点を持つ位相空間である場合、 におけるパスとは、始点が であるパスのことです。同様に、 におけるループとは、 を基点とするループのことです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

定義

位相空間内の曲線は、空でなく退化していない区間からの連続関数です。におけるパスとは 、定義域がコンパクトな非退化区間（つまり、実数）である曲線です。ここで、はパスの始点、は終点と呼ばれます。からへのパスは、始点が、終点がであるパスです。 すべての非退化コンパクト区間はに同相であるため、特にホモトピー理論では、パスは閉単位区間からへの連続関数として定義されることがあります ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:J\to X}$ ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle X.}$

の弧またはC 0^弧は、位相的埋め込みでもある のパスです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

重要なのは、パスは単に曲線のように見えるもののサブセットではなく、パラメータ化も含んでいることです。例えば、マップとマップは、実数直線上の0から1までの2つの異なるパスを表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

を基準とする空間のループは、からへの経路である。ループは、への写像として、または単位円からへの連続写像として同様に見なすことができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

これは、が と同一視されるときの商空間であるからである。のすべてのループの集合は、のループ空間と呼ばれる空間を形成する。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

パスのホモトピー

2つのパス間のホモトピー

パスとループは、代数位相幾何学のホモトピー理論と呼ばれる分野における中心的な研究テーマです。パスのホモトピーは、端点を固定したままパスを連続的に変形するという概念を明確に示します。

具体的には、におけるパスのホモトピー、またはパスホモトピーは、によってインデックス付けされたパスの族であり、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$そして固定されます。 ${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$
• によって与えられる写像は連続である。 ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$

ホモトピーで結ばれたパスとパスはホモトピー的である（より正確には、固定空間間のすべての連続関数に定義される関係と区別するために、パスホモトピー的である）と言われる。同様に、基点を固定したままループのホモトピーを定義することもできる。 ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

ホモトピー関係とは、位相空間におけるパスの同値関係である。この関係のもとでのパスの同値類は、しばしばホモトピー類と呼ばれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [f].}$

パスの合成

位相空間におけるパスは、次のように合成できます。がから へのパスであり、が からへのパスであるとします。パスは、まず を、次に をそれぞれ通過することによって得られるパスとして定義されます ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

明らかに、パス合成は の終点が の開始点と一致する場合にのみ定義されます。すべてのループが 1 つの点に基づいていると考えると、パス合成は2 項演算になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle x_{0},}$

パス合成は、定義される限りにおいて、媒介変数化の違いにより結合的ではない。しかし、パスホモトピーまでは結合的である。つまり、パス合成は、ある点を基底とするループのホモトピー類の集合上に群構造を定義する。結果として得られる群は、通常、で表されるを基底とするの基本群と呼ばれる。 ${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

パス合成の結合性が「正確に」求められる状況では、 のパスは、任意の実数について、区間 からへの連続写像として定義されることもあります (このようなパスは、ムーア パスと呼ばれます)。この種のパスの長さは、として定義 されます。パス合成は、次のように変更して前と同じように定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,a]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle a.}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

前の定義では、、およびはすべて長さ（写像の定義域の長さ）を持ちますが、この定義では が成り立ちます。前の定義で結合法則が成立しないのは、 と が同じ長さ、つまり の中点がと の間に生じたのに対し、の中点はと の間に生じたためです。この修正された定義では、 と は同じ長さ、つまり であり、と の両方でにある同じ中点を持ちます。より一般的には、 と は全体で同じ媒介変数配置を持ちます。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$ ${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$

基本群

時々役に立つ、経路のカテゴリカルな描像があります。任意の位相空間は、オブジェクトが の点であり、射が経路のホモトピー類であるカテゴリを生じます。このカテゴリの任意の射は同型 であるため、このカテゴリはの基本群と呼ばれる群です。このカテゴリのループは自己準同型です(これらはすべて実際に の自己同型です)。の点の自己同型群は、 に基づく基本群です。より一般的には、の点を結ぶ経路のホモトピー類を使用して、 の任意の部分集合上の基本群を定義できます。これは、ファン・カンペンの定理に便利です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$

参照

• 曲線§位相
• 局所的に路連結な空間 – 位相空間の性質Pages displaying short descriptions of redirect targets
• パス空間（曖昧さ回避）
• パス連結空間 – 連結された位相空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

• ロナルド・ブラウン著『位相幾何学と群論』Booksurge PLC、(2006年)
• J. ピーター メイ、「代数的位相幾何学の簡潔なコース」、シカゴ大学出版局、(1999 年)。
• James Munkres , Topology 2ed, Prentice Hall, (2000).

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