Theorem in number theory
数学 において 、 オイラー の 五角数定理は オイラー関数 の積と級数表現を関連付けるものである 。それは次のように述べている。
∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k x k ( 3 k − 1 ) / 2 = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( x k ( 3 k + 1 ) / 2 + x k ( 3 k − 1 ) / 2 ) . {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).} 言い換えると、
( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ⋯ = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ . {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .} 右辺の指数 1, 2, 5, 7, 12, ... は、式 g k = k (3 k − 1)/2 （ k = 1, −1, 2, −2, 3, ...）で与えられ、（一般化） 五角数（ OEIS の シーケンス A001318 ）と呼ばれます 。（定数項 1 は に対応します。）これは の収束べき 級数 の恒等式として成立し 、 形式的べき級数 の恒等式としても成立します。 k = 0 {\displaystyle k=0} | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
この式の顕著な特徴は、積の展開における打ち消しの量です。
パーティションとの関係 この恒等式は、 n の 分割 数 を計算するための 再帰式 を意味します。 p ( n ) {\displaystyle p(n)}
p ( n ) = p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + ⋯ {\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots } またはより正式には
p ( n ) = ∑ k ≠ 0 ( − 1 ) k − 1 p ( n − g k ) {\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})} ここで、和はすべての非零整数 k （正と負）についてであり、は k 番目の 一般化五角数です 。 すべてのに対して 、右側の一見無限級数は有限個の非零項のみを含むため、 p ( n ) を効率的に計算できます。 g k {\displaystyle g_{k}} p ( n ) = 0 {\displaystyle p(n)=0} n < 0 {\displaystyle n<0}
フランクリンの全単射証明 この定理は、 分割 という観点から 組み合わせ的に 解釈することができる。特に、左辺は、 n を偶数個の異なる部分に 分割する回数から、 n を奇数個の異なる部分に分割する回数を引いた値を生成する関数で ある。n を偶数個の異なる部分に分割するたびに、 x n の係数は +1 となり、奇数個の異なる部分に分割するたびに -1 となる。（このタイプの生成関数については、 無制限分割関数 に関する記事で 説明されている。）
例えば、 x 5 の係数は+1です。これは、5を偶数個の異なる部分に分割する方法は2つ（4 + 1と3 + 2）ありますが、奇数個の異なる部分に分割する方法は1つ（5を1つの部分に分割する方法）しかないためです。一方、 x 12 の係数は-1です。これは、12を偶数個の異なる部分に分割する方法は7つありますが、奇数個の異なる部分に分割する方法は8つあり、7 − 8 = -1となるためです。
この解釈は、一致する項のペアを消去することによって（反転 法）、 恒等式の証明につながる。 [1] n を任意の部分に分割する フェラーズ図 を考えてみよう 。例えば、下の図は n = 20 と 20 = 7 + 6 + 4 + 3 の分割を示している。
図の最小行の要素数を m とします（ 上記の例では m = 3）。図の右端の45度線上の要素数を sとします（上記の赤い点の s = 2、7 − 1 = 6 ですが、6 − 1 > 4 です）。m > s の場合 、 右端 の 45度線を移動して新しい行を形成します（下の対応する図を参照）。
m ≤ s の場合 (新しく形成された図で m = 2、 s = 5 の場合)、下の行を移動して新しい 45 度線を形成し (最初の m 行のそれぞれに 1 つの要素を追加)、プロセスを逆にして 最初の図に戻ることができます。
少し考えてみると、この処理は常に行数の偶奇性を変化させ、この処理を2回適用すると元の図に戻ることがわかります。これにより、 級数の x n 項に1と-1を寄与するフェラーズ図をペアにすることができ、結果としてx n の正味の係数は0になります。これは、 n 個の点を持つすべてのフェラーズ図でこの処理を実行できない場合を 除いて、 すべての項に当てはまります 。そのようなケースは2つあります。
1) m = s であり、右端の対角線と一番下の行が交わる。例えば、
操作を実行しようとすると、次のようになります。
これは行数の偶奇性を変更できず、操作を再度実行しても元の図に戻ら ない という意味で可逆ではありません。元の図の最後の行に m 個の要素がある場合、
n = m + ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + ⋯ + ( 2 m − 1 ) = m ( 3 m − 1 ) 2 = k ( 3 k − 1 ) 2 {\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}} ここで、新しい添え字 kは m と等しくなります 。この分割に関連付けられた符号は (−1) s であり、これは構成上 (−1) m と (−1) k に等しいことに注意してください。
2) m = s + 1 であり、右端の対角線と一番下の行が交わる。例えば、
この操作では右対角線を下の行に移動する必要がありますが、そうすると3つの要素が2行に分かれてしまいます。これは分割を別々の部分に数えるため、禁則事項です。これは前のケースと同じですが、行が1つ少ないので、
n = m + ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + ⋯ + ( 2 m − 2 ) = ( m − 1 ) ( 3 m − 2 ) 2 = k ( 3 k − 1 ) 2 , {\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},} ここでk = 1− m （負の整数）とする 。ここでの符号は (−1) s であり、 s = m − 1 = − k となるため、符号は再び (−1) k となる。
まとめると、偶数個の異なる部分と奇数個の異なる部分への分割は互いに打ち消し合い、0 x n という項を生成することが示されました。ただし、 n が一般化五角形数の 場合は、フェラーズ図が1つだけ残り、(-1) k x n という項が生成されます。しかし、これはまさに恒等式の右辺が示す通りの現象なので、これで終わりです。 n = g k = k ( 3 k − 1 ) / 2 {\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2}
パーティションの再帰 上記の証明は、 整数分割 を用いて言い換えることができます。整数分割は と表します。 ここで です 。n の分割数は、生成 関数 p ( n ) によって決まります。 n = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ ℓ {\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }} λ 1 ≥ λ 2 ≥ … ≥ λ ℓ > 0 {\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}
∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − x k ) − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}} は、恒等式の左側の積の逆数であることに注意してください。
( ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n ) ⋅ ( ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) ) = 1 {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1} 積の展開を と表すと 、 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n , {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}
( ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) = 1. {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.} 左辺を乗じて両辺の係数を等しくすると、 すべての に対して a 0 p (0) = 1 となります。これは、 p ( n ) を a n に関して 定義する漸化式、および逆に a n をp ( n )に関して定義する 漸化式を与えます 。したがって、望ましい結果は次のようになります。 ∑ i = 0 n p ( n − i ) a i = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}
a i := { 1 if i = 1 2 ( 3 k 2 ± k ) and k is even − 1 if i = 1 2 ( 3 k 2 ± k ) and k is odd 0 otherwise {\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is even}}\\-1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is odd }}\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}} は 、 iが すべての整数にわたって 成り立つ（この範囲 に はiの正負両方が含まれるため、一般化五角数の両方を使用できる）。これはつまり、次のことを意味する。 i ≥ 1 {\displaystyle i\geq 1} ∑ i ( − 1 ) i p ( n − g i ) = 0 , {\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,} g i := 1 2 ( 3 i 2 − i ) {\displaystyle g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)} g i ≤ n {\displaystyle g_{i}\leq n}
∑ i e v e n p ( n − g i ) = ∑ i o d d p ( n − g i ) . {\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ even} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n-g_{i}).} パーティションのセットに関して言えば、これは次のセットが等しい基数を持つと言うことと同じです。
X := ⋃ i e v e n P ( n − g i ) {\displaystyle {\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})} そして Y := ⋃ i odd P ( n − g i ) , {\displaystyle {\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ odd}}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),} ここで、 は のすべての分割の集合を表す 。残っているのは、一方の集合から他方の集合への一対一写像を与えることだけである。これは、 X から Y への関数 φ によって実現され、この関数は、分割を以下のように定義される 分割に写像する 。 P ( n ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(n)} n {\displaystyle n} P ( n − g i ) ∋ λ : n − g i = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ ℓ {\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }} λ ′ = φ ( λ ) {\displaystyle \lambda '=\varphi (\lambda )}
φ ( λ ) := { λ ′ : n − g i − 1 = ( ℓ + 3 i − 2 ) + ( λ 1 − 1 ) + ⋯ + ( λ ℓ − 1 ) if ℓ + 3 i > λ 1 λ ′ : n − g i + 1 = ( λ 2 + 1 ) + ⋯ + ( λ ℓ + 1 ) + 1 + ⋯ + 1 ⏟ λ 1 − ℓ − 3 i if ℓ + 3 i ≤ λ 1 . {\displaystyle \varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}} これは反転（自己逆写像）であり、したがって特に一対一であり、私たちの主張と恒等性を証明します。
参照 五角形数定理は、 ヤコビの三重積 の特殊なケースとして現れます。
Q級数は オイラー関数を一般化したもので、 デデキントのイータ関数と密接に関連しており、 モジュラー形式 の研究で用いられます 。 オイラー関数 の 係数 （図を参照）は フラクタル モジュラー群の対称性を示し、 マンデルブロ集合 の内部構造の研究で用いられます 。
参考文献 ^ フランクリン、F. (1881)。 「製品の完全な開発 (1 – x )(1 – x 2 )(1 － x 3 ) ...」。 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、セリエ A 。 92 : 448–450 .
外部リンク ジョーダン・ベル (2005). 「オイラーと五角形数定理」. arXiv : math.HO/0510054 . MathPagesのオイラーの五角形定理について OEIS シーケンスA000041（a(n) = nのパーティション数（パーティション番号）） デ・ミラビリス・プロプリエタティブス・ヌメロラム・ペンタゴナリウム（Scholarly Commons）。 
