別の正の整数の整数乗である正の整数
キュイゼネールロッド を用いた4、8、9の完全なパワー特性の デモンストレーション 数学 において 、 完全累乗 とは、等しい自然因数の積である 自然数 、つまり、 1 より大きい別の整数の平方またはそれより高い整数 乗 として表現できる 整数です。より正式には、 m > 1 かつ k > 1 であって、 m k = n となる 自然数が存在するとき、 n は完全累乗です 。この場合、 nは 完全 k 乗 と呼ばれることがあります 。k = 2 または k = 3 の場合 、 n は それぞれ 完全 平方 または 完全立方 と呼ばれます 。0 と 1 も完全累乗と見なされることがあります (0 k = 0 であれば任意の k > 0、1 k = 1 であれば任意の k について)。
例と合計 m と kの可能な値を反復処理することで、完全累乗 の列 を 生成できます 。数値順で最初のいくつかの完全累乗（重複する累乗も表示）は次のとおりです（ OEIS の列 A072103 ）。
2 2 ＝ 4 、 2 3 ＝ 8 、 3 2 ＝ 9 、 2 4 ＝ 16 、 4 2 ＝ 16 、 5 2 ＝ 25 、 3 3 ＝ 27 、 {\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,} 2 5 ＝ 32 、 6 2 ＝ 36 、 7 2 ＝ 49 、 2 6 ＝ 64 、 4 3 ＝ 64 、 8 2 ＝ 64 、 … {\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots } 完全累乗の 逆数 の 合計（3 4 や 9 2などの重複した 数 も含め、どちらも 81 になります）は 1 です。
∑ メートル ＝ 2 ∞ ∑ け ＝ 2 ∞ 1 メートル け ＝ 1. {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.} これは次のように証明できます。
∑ メートル ＝ 2 ∞ ∑ け ＝ 2 ∞ 1 メートル け ＝ ∑ メートル ＝ 2 ∞ 1 メートル 2 ∑ け ＝ 0 ∞ 1 メートル け ＝ ∑ メートル ＝ 2 ∞ 1 メートル 2 （ メートル メートル − 1 ） ＝ ∑ メートル ＝ 2 ∞ 1 メートル （ メートル − 1 ） ＝ ∑ メートル ＝ 2 ∞ （ 1 メートル − 1 − 1 メートル ） ＝ 1 。 {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.} 重複のない最初の完全な累乗は次のとおりです。
(場合によっては 0 と 1)、4、8、9、16、25、27、32、36、49、64、81、100、121、125、128、144、169、196、216、225、243、256、289、324、343、361、400、441、484、512、529、576、625、676、729、784、841、900、961、1000、1024、... (OEIS の シーケンス A001597 ) 重複のない完全累乗 p の逆数の和は [1]である。
∑ p 1 p ＝ ∑ け ＝ 2 ∞ μ （ け ） （ 1 − ζ （ け ） ） ≈ 0.874464368 … {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots } ここで、μ( k )は メビウス関数 、ζ( k )は リーマンゼータ関数 である。
オイラー によれば 、 ゴールドバッハ は（現在では失われた手紙の中で） 1 / p − 1 1 と重複を除いた
完全累乗 p の集合上の累乗は 1 です。
∑ p 1 p − 1 ＝ 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 26 + 1 31 + ⋯ ＝ 1. {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.} これは ゴールドバッハ・オイラーの定理 と呼ばれることもあります。
完全な力の検出 与えられた自然数 n が完全累乗であるかどうかの検出は、 複雑さ のレベルに応じて様々な方法で行うことができます。最も簡単な方法の一つは、まで の nの 約数 それぞれについて、 k のあらゆる可能な値を検討することです 。つまり、 の約数が である場合、 n が 完全累乗である ならば、 値の1つは n と等しくなければなりません。 け ≤ ログ 2 n {\displaystyle k\leq \log _{2}n} n {\displaystyle n} n 1 、 n 2 、 … 、 n j {\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}} n 1 2 、 n 2 2 、 … 、 n j 2 、 n 1 3 、 n 2 3 、 … {\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }
この方法は、 k の素数 のみ を考慮することで、すぐに簡略化できます 。これは、 p が素数である 合成数 の場合 、これを と単純に書き直すことができるためです 。この結果から、 kの 最小 値は 必ず素数でなければなりません。 n ＝ メートル け {\displaystyle n=m^{k}} け ＝ 1つの p {\displaystyle k=ap} n ＝ メートル け ＝ メートル 1つの p ＝ （ メートル 1つの ） p {\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}
n の完全な因数分解が 既知である場合、 例えば が 異なる素数である場合、 n が 完全累乗となるのは、 最大公約数 gcd が となる 場合のみ です。例として、 n = 2 96 ·3 60 ·7 24 を考えてみましょう。gcd(96, 60, 24) = 12 なので、 n は完全12乗です（また、6、4、3、2 で 12 を割り切れるので、完全6乗、完全4乗、完全3乗、完全平方乗でもあります）。 n ＝ p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}} p 私 {\displaystyle p_{i}} gcd （ α 1 、 α 2 、 … 、 α r ） > 1 {\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}
完璧な力の間のギャップ 2002年、ルーマニアの数学者 プレダ・ミハイレスクは 、連続する完全累乗の唯一のペアは 2 3 = 8 と 3 2 = 9 であることを証明し、 カタランの予想 を証明した。
ピライの予想は、任意の正の整数 kに対して、その差が k である完全冪のペアは有限個しか存在しないというものである 。これは未解決問題である。 [2]
参照
参考文献 ダニエル・J・バーンスタイン (1998). 「本質的に線形時間で完全冪を検出する」 (PDF) . 計算数学 . 67 (223): 1253– 1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .
外部リンク ルイス・ビビロニ、ペレグリ・ヴィアデル、ジャウメ・パラディス、ゴールドバッハとオイラーのシリーズについて、2004 (PDF)
割り切れるかどうかに基づく整数の集合
概要 因数分解形式 制約付き除数和 多くの約数を持つ アリコートシーケンス 関連 塩基 依存 その他のセット
