導関数集合（数学）

Set of all limit points of a set

数学、特に点集合位相において、位相空間の部分集合の導来集合とは、そのすべての極限点の集合のことである。これは通常、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S'.}$

この概念は1872 年にゲオルク・カントールによって初めて導入され、彼は主に実数直線上の導来集合を研究するために集合論を開発しました。

意味

で表される位相空間の部分集合の導来集合は、の極限点、つまりのすべての近傍にそれ自体以外の の点が含まれるような点すべての集合です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S',}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

例

が通常のユークリッド位相を持つ場合、半開区間の導来集合は閉区間である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1].}$

空集合と1を含む任意の部分集合からなる位相（開集合）を考える。導出集合は^[1]である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\{1\}}$ ${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

プロパティ

以下では位相空間を と表します。 ${\displaystyle X}$

とが導出集合の部分集合である場合、導出集合には以下の性質がある：^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'}$暗示する ${\displaystyle a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$暗示する ${\displaystyle A'\subseteq B'}$

集合が閉集合となるのは、 ^[1]すなわち がすべての極限点を含むときである。任意の に対して は閉集合であり、は の閉集合である（つまり）。^[3] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\cup S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$

導来集合の閉性

集合の導来集合は一般には閉じている必要はない。例えば、離散位相の場合、その集合には で閉じていない導来集合が存在する。 しかし、閉集合の導来集合は常に閉じている。^[証明1] ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle S=\{a\}}$ ${\displaystyle S'=\{b\},}$ ${\displaystyle X.}$

点に対して、シングルトンの導来集合は、の閉包内の点からなる集合であり、とは異なる^。空間がT _D空間と呼ばれるのは、内のすべてのシングルトンの導来集合が閉じている場合である。つまり、が 内のすべての点に対して閉じている場合、言い換えれば、内のすべての点が 内で孤立している場合である。 空間は、T _D空間である場合に限り、すべての集合に対して閉じているという性質を持つ。^[5] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}'={\overline {\{x\}}}\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\{x\}}}\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overline {\{x\}}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

あらゆるTD_空間はT0空間_である。^[6]

任意のT ₁空間はT _D空間である。^[6]なぜなら、任意のシングルトンは閉じており、したがってどれが閉じているかによるからである。したがって、T ₁空間においては、任意の集合の導来集合は閉じている。^{[7] [8]} ${\displaystyle \{x\}'={\overline {\{x\}}}\setminus \{x\}=\varnothing ,}$

これらの特性の関係は次のようにまとめられる。

${\displaystyle T_{1}\implies T_{D}\implies T_{0}.}$

これらの含意は可逆ではありません。例えば、シェルピンスキー空間は T _Dであり、 T ₁ではありません。また、上の正しい順序位相はT ₀であり、 T _Dではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

その他の物件

二つの部分集合とが互いに素であり、かつそれぞれが他方の導出集合と素である場合に、それらは正確に分離される^[9] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$

二つの位相空間間の一対一写像が同相写像となるのは、第一の空間の任意の部分集合の（第二の空間における）像の導来集合がその部分集合の導来集合の像である場合に限ります。^[10]

T ₁空間において、任意の有限集合の導来集合は空であり、さらに、 空間の任意の部分集合および任意の点に対しても空である。言い換えれば、導来集合は、与えられた集合に有限個の点を追加したり削除したりしても変化しない。^[11] $${\displaystyle (S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$

を持つ集合（つまり孤立点を持たない集合）は、それ自体稠密であると呼ばれます。を持つ集合は完全集合と呼ばれます。^{[12]同様に、完全集合は閉じたそれ自体稠密集合、あるいは言い換えれば孤立点を持たない閉集合です。完全集合は}、ベールのカテゴリ定理 の応用において特に重要です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$

カントール・ベンディクソン定理は、任意のポーランド空間は可算集合と完全集合の和集合として書けることを述べている。ポーランド空間の任意のG _δ部分集合は再びポーランド空間となるため、この定理は、ポーランド空間の任意の G _{δ部分集合が可算集合と}誘導位相に関して完全集合の和集合であることも示している。

導来集合による位相幾何学

同相写像は導来集合を用いて完全に記述できるため、位相幾何学における基本概念として導来集合が用いられてきた。点集合には、任意の集合と任意の点に対して、の部分集合を の部分集合に写像する演算子を付与することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$暗示する ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$暗示する ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

集合が閉じていると言うことは、導出集合演算子が属する空間に位相を定義する。つまり、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

カンター・ベンディクソン順位

順序数 の場合、位相空間Xの-次のカントール-ベンディクソン導関数は、次のように超限再帰を用いた導出集合演算を繰り返し適用することによって定義されます。 ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$極限順序数の場合 ${\displaystyle \lambda .}$

のカントール・ベンディクソン微分の超限列は減少しており、最終的には定数となる。 となる最小の順序数は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$カンター・ベンディクソン順位 ${\displaystyle X.}$

この導出過程の調査は、ゲオルク・カントールが序数を導入した動機の 1 つでした。

参照

• 付着点 – 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点
• 凝縮点
• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• 極限点 – 位相空間におけるクラスター点Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. ベイカー 1991、41ページ
2. パーヴィン 1964、38ページ
3. ベイカー 1991、42ページ
4. オール、CE;スロン、ウィスコンシン州 (1962) 「T0 と T1 の間の分離公理」(PDF)。ネデル。アカド。ウェテンシュ。手順サー。 Ａ．​ 65 : 26–37。土井:10.1016/S1385-7258(62)50003-6。Zbl  0108.35402。定義3.1
5. Aull & Thron 1962、定理5.1。
6. Goubault-Larrecq, Jean. 「TD空間」.非ハウスドルフ位相幾何学と領域理論.
7. エンゲルキング 1989、47ページ
8. 「導出集合 E' が閉じていることを証明する」。
9. パーヴィン 1964、51ページ
10. ホッキング、ジョン・G.; ヤング、ゲイル・S. (1988) [1961]、トポロジー、ドーバー、p. 4、ISBN 0-486-65676-4
11. クラトフスキー 1966, p.77
12. パーヴィン 1964、62ページ

証明

1. 証明:が閉集合であると仮定すると、導出集合を両辺に取ると、が閉集合となる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S''\subseteq S';}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle X.}$

参考文献

• ベイカー、クランプ W. (1991)、『トポロジー入門』、Wm C. Brown Publishers、ISBN 0-697-05972-3
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• クラトフスキー、K.（1966）、トポロジー、第1巻、アカデミックプレス、ISBN 0-12-429201-1
• パーヴィン、ウィリアム J. (1964)、一般位相幾何学の基礎、アカデミックプレス

さらに読む

• ケクリス, アレクサンダー・S. (1995).古典的記述集合論( Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9。
• シェルピンスキ, ヴァツワフ F. ;クリーガー、C.セシリア訳（1952年）。一般的なトポロジ。トロント大学出版局。

外部リンク

• PlanetMathのカントール・ベンディクソン微分に関する記事

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