順列表現

数学において、 （典型的には有限な）群の「順列表現」という用語は、密接に関連した2つの概念のいずれかを指します。すなわち、を順列の群として表現すること、または を順列行列の群として表現すること、です。また、この用語はこれら2つを組み合わせたものを指すこともあります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

抽象順列表現

集合上の群の置換表現は、から の対称群への準同型である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Sym} (X).}$

画像は置換群であり、 の要素はの置換として表現される。^{[ 1 ]}置換表現は集合 に対するの作用と同等である。 ${\displaystyle \rho (G)\subset \operatorname {Sym} (X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle G\times X\to X.}$

詳細については、 グループアクションに関する記事を参照してください。

線形順列表現

が次数 の置換群である場合、の置換表現はの線型表現である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} _{n}(K)}$

これは対応する置換行列にマッピングされます（ここでは任意の体）。^{[ 2 ]}つまり、は標準基底ベクトルを置換することによって 作用します。 ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K^{n}}$

もちろん、この置換表現の概念は、前述の概念と組み合わせることで、任意の抽象群を置換行列の群として表現することができます。まず を置換群 として表現し、次に各置換を対応する行列に写像します。 を平行移動によって自身に作用する 置換群 として表現すると、正規表現が得られます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

順列表現の特性

群と、その集合に作用するが与えられたとき、置換表現の指標はがに作用するの不動点の数とちょうど同じである。つまり、によって が固定される点の数である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi (g)=}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

これは、写像をの要素を基底とする行列で表すと、 の置換行列が得られることから導かれる。この表現の指標は、この置換行列のトレースとして定義される。置換行列の対角線上の要素は、 の点が固定されている場合は1、そうでない場合は0である。したがって、置換行列のトレースは の固定点の数と正確に等しいと結論付けることができる。 ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

例えば、 と の場合には、の点の数はで固定され、の順列表現の指標は という式で計算できる。つまり、 ${\displaystyle G=S_{3}}$ ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \chi (g)=}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \chi ((12))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=1}$3のみが固定されているため

${\displaystyle \chi ((123))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}})=0}$の要素は固定されていないため、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (1)=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=3}$のすべての要素が固定されているためです。 ${\displaystyle X}$

参考文献

1. ディクソン, ジョン・D.; モーティマー, ブライアン (2012年12月6日).順列群. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. pp.  5– 6. ISBN 9781461207313。
2. Robinson, Derek JS (2012-12-06). 『群論講座』 Springer Science & Business Media. ISBN 9781468401288。

外部リンク

• https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation

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