位相（波）

Elapsed fraction of a cycle of a periodic function

正弦関数の1周期のグラフ。各引数値の位相は、周期の開始点を基準として、0°から360°までの度数と0から2πまでのラジアンで下部に表示されます。

物理学と数学において、波動関数または実変数（時間など）の周期関数の位相（記号 φ または ϕ ）は、周期の までの部分を表す角度のような量である。位相は、変数が各周期を通過するたびに（そして各完全な周期を通過するたびに） 1回転ずつ変化するような尺度で表される。位相は度やラジアンなどの任意の角度単位で測定することができ、360°ずつ、または変数が完全な周期を完了するたびに増加する。^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle t}$

この規則は正弦関数に特に適しています。なぜなら、任意の引数における正弦関数の値は、位相の正弦である に何らかの係数（正弦波の振幅）を乗じたものとして表すことができるからです。（各周期の開始位置によっては、正弦の代わりに余弦が使用されることもあります。） ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

通常、位相を表す際には整数回転は無視されます。したがって、も周期関数であり、 と同じ周期を持ち、各周期を通過するのと同じ角度範囲を繰り返し走査します。そして、 は、2つの引数値と（つまり）の差が整数周期である場合に、 「同じ位相にある」と言われます。 ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \varphi (t_{1})=\varphi (t_{2})}$

位相の数値は、各期間の開始の任意の選択と、各期間がマッピングされる角度の間隔によって異なります。 ${\displaystyle \varphi (t)}$

「位相」という用語は、周期関数とそのシフト版を比較する際にも用いられます。 におけるシフトを周期の割合で表し、それを1回転分の角度にスケーリングすると、に対する の位相シフト、位相オフセット、または位相差が得られます。 が、すべての正弦波信号に対するのように、あるクラスの信号に対する「標準」関数である場合、 はの初期位相と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

数学的な定義

信号を1つの実変数の周期関数とし、をその周期（つまり、すべての に対してとなる最小の正の実数）とする。このとき、任意の引数におけるの位相は ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(t+T)=F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]}$$

ここで、は実数の小数部を表し、整数部は無視されます。つまり、 であり、は引数の任意の「原点」値であり、サイクルの始まりとみなされます。 ${\displaystyle [\![\,\cdot \,]\!]\!\,}$ ${\displaystyle [\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,}$ ${\displaystyle t_{0}}$

この概念は、一定の速度で回転し、1秒ごとに1回転し、時刻 に真上を指している時計の針を想像することで視覚的に理解できます。位相とは、12時の位置から時刻 における針の現在位置までの角度を時計回りに測ったものです。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

位相の概念は、関数の特徴に基づいて原点を選択する場合に最も役立ちます。例えば、正弦波の場合、関数の値がゼロから正に変化する任意の原点を選択できます。 ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

上の式は、位相を0から までのラジアン単位の角度として表します。位相をから までの角度として表すには、代わりに を使います。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle +\pi }$ $${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)}$$

度数で表された位相（0°～360°、または-180°～+180°）は、「2π」の代わりに「360°」を使用することを除いて、同じように定義されます。

結果

上記のいずれの定義でも、周期信号の位相も同じ周期で周期的になります。 ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \varphi (t+T)=\varphi (t)\quad \quad {\text{ for all }}t.}$$

各期間の開始時には位相はゼロです。つまり $${\displaystyle \varphi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {\text{ for any integer }}k.}$$

さらに、原点 を任意に選択すると、任意の引数に対する信号の値はにおける位相のみに依存します。つまり、 と書くことができます。ここで は、1回転のみで定義される角度の関数であり、1周期における の変化を の範囲として表します。 ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)=f(\varphi (t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

実際、特定の波形を持つ周期信号はすべて、次のように表すことができます。 ここで、は0から2πまでの位相角の「標準」関数であり、その波形の1周期のみを表します。また、は振幅のスケーリング係数です。（この主張は、 の位相を計算するために選択された開始時刻が の引数0に対応することを前提としています。） ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(t)=A\,w(\varphi (t))}$$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle w}$

フェーズの追加と比較

位相は角度であるため、算術演算を行う際には、通常は回転単位を無視する必要があります。つまり、2つの位相（度単位）の和と差は、それぞれ公式を用いて計算する必要があります。例えば、位相角190° + 200°の和は30°（1​​90 + 200 = 390、マイナス1回転）であり、30°から50°を引くと340°（30 − 50 = −20、プラス1回転）となります。 $${\displaystyle 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]}$$

同様の式は、360 の代わりにラジアンにも当てはまります。 ${\displaystyle 2\pi }$

位相シフト

位相シフトの図解。横軸は時間とともに増加する角度（位相）を表します。

IQ変調器を用いた位相シフター

2つの周期信号と位相の差は、に対する の位相差または位相シフトと呼ばれます。^[1] の値が で差がゼロの場合、2つの信号は同位相であると言われます。そうでない場合は、2つの信号は互いに位相がずれています。 ${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{G}(t)-\varphi _{F}(t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

時計の例えで言えば、それぞれの信号は同じ時計の針（またはポインター）で表され、どちらも一定速度で回転しますが、速度は異なる場合があります。位相差は、2つの針の間の角度を時計回りに測定した値です。

位相差は、2つの信号が物理的なプロセスによって加算される場合、特に重要です。例えば、2つの音源から放射された2つの周期的な音波をマイクで同時に録音する場合などです。これは通常、重ね合わせの原理が成り立つ線形システムで当てはまります。

位相差がゼロの引数の場合、2つの信号は同じ符号を持ち、互いに強め合います。これは、建設的干渉が発生していることを意味します。位相が異なる引数の場合、和の値は波形によって異なります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

正弦波の場合

正弦波信号の場合、位相差が180°（ラジアン）のとき、位相が逆位相、つまり信号が逆位相にあると表現されます。この場合、信号の符号は逆になり、相殺干渉が発生します。 ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle \pi }$逆に、位相反転は180度の位相シフトを意味します。^[2]

位相差が 1/4 回転 (直角、+90° = π/2または-90° = 270° = -π/2 = 3π/2 ) の場合、正弦波信号は直交していると言われることがあります。たとえば、複合信号の同相成分と直交成分、または異なる信号 (電圧と電流など) などです。 ${\displaystyle \varphi (t)}$

周波数が異なる場合、位相差は偏角に比例して増加します。この周期的な変化は、強め合いと反発によってビートと呼ばれる現象を引き起こします。 ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

シフト信号の場合

位相差は、周期信号をシフトされた、あるいはスケーリングされた信号と比較する際に特に重要です。つまり、いくつかの定数とすべてのに対して であると仮定します。また、 の位相を計算するための原点もシフトされていると仮定します。その場合、位相差はに依存しない定数であり、に対するの「位相シフト」または「位相オフセット」と呼ばれます。時計の例えで言えば、この状況は2本の針が同じ速度で回転し、針と針の間の角度が一定である状況に相当します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(t)=\alpha \,F(t+\tau )}$ ${\displaystyle \alpha ,\tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

この場合、位相シフトは単純に引数シフトであり、2 つの信号の共通周期の割合（モジュロ演算の観点から）として表現され、その後 1 回転にスケーリングされます。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right].}$$

が信号のクラスの「標準的な」代表であり、たとえば がすべての正弦波信号の場合であるとき、位相シフトは単にの初期位相と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

したがって、2つの周期信号が同じ周波数を持つ場合、それらは常に同位相、または常に逆位相になります。物理的には、この状況は様々な理由から一般的に発生します。例えば、2つの信号は、別々の場所に設置された2つのマイクで録音された周期的な音波である可能性があります。あるいは逆に、2つの別々のスピーカーで同じ電気信号から生成された周期的な音波を1つのマイクで録音した可能性もあります。また、受信アンテナに直線的に到達した無線信号と、近くの大きな建物で反射されたそのコピーである可能性もあります。

位相差のよく知られた例として、地球上の異なる地点で見られる影の長さが挙げられます。近似的に、ある地点で時刻に見られる影の長さを、その地点から西に30°離れた経度で同じ時刻に見られる影の長さを とすると、2つの信号間の位相差は30°になります（各信号において、各周期は影が最も短い時点から始まると仮定）。 ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

同じ周波数の正弦波の場合

正弦波信号（および方形波や対称三角波などの他の波形）の場合、180°の位相シフトは、振幅が反転した0°の位相シフトに相当します。これらの波形を持つ、同じ周期で逆位相の2つの信号を加算すると、その和は完全にゼロになるか、または同じ周期と位相を持つ正弦波信号となり、その振幅は元の振幅の差になります。 ${\displaystyle F+G}$

正弦関数に対する余弦関数の位相シフトは+90°である。したがって、同じ周波数と振幅を持つ2つの正弦波信号とに対して、およびがに対して+90°の位相シフトを持つ場合、その和は、同じ周波数、振幅、およびからの位相シフトを持つ正弦波信号となり、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F+G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C.}$$

同相信号

位相のずれた信号

位相比較の表現。^[3]

左：上から下へ移動する平面波の実部。右：同じ波で、中央部分が位相シフト（例えば、他の部分とは異なる厚さのガラスを通過することなど）を受けた後の波。

位相ずれAE

音の位相差の実例として、ネイティブアメリカンのフルートのさえずりが挙げられます。フルートで同じ音を長く持続させると、異なる倍音成分の振幅が位相サイクルの異なる時点で支配的になります。異なる倍音間の位相差は、さえずるフルートの音のスペクトログラムで観察できます。 ^[4]

位相比較

位相比較とは、通常は同じ公称周波数を持つ2つの波形の位相を比較することです。時間と周波数の観点では、位相比較の目的は一般的に、基準に対する周波数オフセット（信号サイクル間の差）を決定することです。^[3]

2つの信号を2チャンネルオシロスコープに接続することで位相比較を行うことができます。オシロスコープには、右の図に示すように、2つの正弦波信号が表示されます。隣の図では、上の正弦波信号はテスト周波数、下の正弦波信号はリファレンス信号を表しています。

2つの周波数が完全に一致している場合、位相関係は変化せず、オシロスコープの表示上では両方とも静止しているように見えます。2つの周波数が完全に一致していないため、基準信号は静止しているように見え、テスト信号は移動しているように見えます。テスト信号の移動速度を測定することで、周波数間のオフセットを測定できます。

各正弦波信号がゼロを通過する点に垂直線が引かれています。図の下部には、信号間の位相差を表すバーの幅が示されています。この場合、位相差は増加しており、テスト信号の周波数が基準信号よりも低いことを示しています。^[3]

振動または周期信号の位相の式

単調波振動または正弦波信号の位相は、以下の関数におけるの値です。ここで、 、、 はそれぞれ、正弦波の振幅、周波数、位相と呼ばれる定数パラメータです。これらの信号は周期 で周期的であり、軸に沿ったの変位を除いて同一です。「位相」という用語は、いくつかの異なる意味を持つことがあります。 ${\textstyle \varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A\cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle T={\frac {1}{f}}}$ ${\textstyle {\frac {T}{4}}}$ ${\textstyle t}$

• これは、 などの指定された参照を参照できます。その場合、の位相は であり、の位相は であると言えます。 ${\textstyle \cos(2\pi ft)}$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$
• これは を参照できます。その場合、 と は同じ位相を持ちますが、それぞれ固有の参照に関連していると言えます。 ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle y(t)}$
• 通信波形のコンテキストでは、時間によって変化する角度、またはその主値は瞬間位相と呼ばれ、多くの場合単に位相と呼ばれます。 ${\textstyle 2\pi ft+\varphi }$

絶対位相

絶対位相とは、ある基準に対する波形の位相のことです（厳密に言えば、位相は常に相対的です）。この基準がすべての関係者に受け入れられている限り、特定の応用分野において絶対位相について言及することができます。

参照

• 絶対位相
• AC位相
• 同相成分と直交成分
• 瞬間位相
• リサージュ曲線
• 位相キャンセル
• 位相問題
• 位相スペクトル
• 位相速度
• フェーザー
• 偏光（波）
• コヒーレンス（物理学）、定義領域の異なる領域で明確に定義された位相関係を示す波の性質
• ヒルベルト変換、位相を90°変える方法
• 反射位相シフト、波が高速媒体から低速媒体への境界で反射されるときに起こる位相変化

参考文献

1. Ballou, Glen (2005). サウンドエンジニアのためのハンドブック（第3版）. Focal Press, Gulf Professional Publishing. p. 1499. ISBN 978-0-240-80758-4。
2. 「連邦規格1037C: 電気通信用語集」.
3. Time and Frequency from A to Z (2010-05-12). 「位相」. NIST .米国国立標準技術研究所(NIST) . 2016年6月12日閲覧。このコンテンツは NIST Web ページからコピーして貼り付けたものであり、パブリック ドメインです。
4. クリント・ゴス、バリー・ヒギンズ (2013). 「The Warble」. Flutopedia . 2013年3月6日閲覧。

外部リンク

• 「位相とは何か？」ジェフリー・ハス教授著『音響入門』第8章、インディアナ大学、2003年。参照：（1～3ページ、2013年）
• 位相角、位相差、時間遅延、周波数
• ECE 209: 位相シフトの原因 — 単純な線形時間不変回路における位相シフトの時間領域の原因について説明します。
• オープンソースの物理学 JavaScript HTML5
• 位相差Javaアプレット

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