Quantum explanation of electromagnetic polarization
光子の偏光は、 古典的な 偏光 正弦波 平面 電磁波の 量子力学的 記述 である 。個々の 光子は 、右円 偏光 または左円偏光、あるいはその2つの 重ね合わせを持つと記述できる。同様に、光子は水平直線 偏光または垂直直線 偏光、あるいはその2つの重ね合わせを 持つと記述できる。
光子の偏光の記述には、ポテンシャル井戸内の電子の量子力学など、より複雑な量子記述の多くの物理的概念と数学的仕組みが含まれています。偏光は量子ビットの自由度の一例であり 、 より複雑な量子現象を理解するための基本的な基礎となります。 状態ベクトル 、 確率振幅 、 ユニタリ演算子 、 エルミート演算子など、量子力学の数学的仕組みの多くは、記述における古典的な マクスウェル方程式 から自然に生じます 。たとえば、光子の量子偏光状態ベクトルは、通常、古典的な 波 の偏光を記述するために使用される ジョーンズ ベクトルと同一です。ユニタリ演算子は、波の偏光状態を変える損失のない媒体を伝播する古典的な波の エネルギー保存 の古典的な要件から生じます 。エルミート演算子は、古典的な偏光状態の無限小変換に従います。
数学的手法の示唆の多くは実験的に容易に検証できます。実際、多くの実験は ポラロイド サングラスのレンズを使って行うことができます。
量子力学との関連は、 電磁場におけるエネルギーの最小の束 （光子）を特定することによって確立されます。この特定は、 プランクの理論と、 アインシュタイン によるそれらの理論の解釈に基づいています 。 対応原理により、運動量と角運動量（ スピン と呼ばれる）、そしてエネルギーを光子と 同一視することが可能になります。
古典電磁波の偏光
分極状態
直線偏光 干潟からの反射に対する偏光板の効果。最初の写真では、偏光板を回転させて効果を最小限に抑えています。2枚目の写真では、偏光板を90°回転させて効果を最大限にしています。反射した太陽光はほぼすべて除去されています。 位相角が 等しい とき、波は直線偏光（または平面偏光）である 。 α x , α y {\displaystyle \alpha _{x}\,,\;\alpha _{y}} α x = α y = d e f α . {\displaystyle \alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .}
これは、x軸に対して角度をなす位相偏光を 持つ 波を表します 。この場合、ジョーンズベクトルは 単一の位相で表すことができます。 α {\displaystyle \alpha } θ {\displaystyle \theta } | ψ ⟩ = ( cos θ exp ( i α x ) sin θ exp ( i α y ) ) {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}} | ψ ⟩ = ( cos θ sin θ ) exp ( i α ) . {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).}
x または y の直線偏光の状態ベクトルは、この状態ベクトルの特殊なケースです。
単位ベクトルが次のように定義され 、 直線偏光状態は「x-y基底」で次のように表される。 | x ⟩ = d e f ( 1 0 ) {\displaystyle |x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} | y ⟩ = d e f ( 0 1 ) {\displaystyle |y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} | ψ ⟩ = cos θ exp ( i α ) | x ⟩ + sin θ exp ( i α ) | y ⟩ = ψ x | x ⟩ + ψ y | y ⟩ . {\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .}
円偏波 位相角 と がちょうど だけ異なり 、x 振幅が y 振幅と等しい場合、波は 円偏波 となります。ジョーンズベクトルは となります。 ここで、プラス記号は左円偏波、マイナス記号は右円偏波を表します。円偏波の場合、一定の大きさの電界ベクトルは x-y 平面内で回転します。 α x {\displaystyle \alpha _{x}} α y {\displaystyle \alpha _{y}} π / 2 {\displaystyle \pi /2} | ψ ⟩ = 1 2 ( 1 ± i ) exp ( i α x ) {\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)}
単位ベクトルが次のように定義され 、 任意の分極状態は「R-L基底」で次のように表される。 ここ で、 | R ⟩ = d e f 1 2 ( 1 i ) {\displaystyle |\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}} | L ⟩ = d e f 1 2 ( 1 − i ) {\displaystyle |\mathrm {L} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}} | ψ ⟩ = ψ R | R ⟩ + ψ L | L ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{\rm {R}}|\mathrm {R} \rangle +\psi _{\rm {L}}|\mathrm {L} \rangle } ψ R = ⟨ R | ψ ⟩ = 1 2 ( cos θ exp ( i α x ) − i sin θ exp ( i α y ) ) {\displaystyle \psi _{\rm {R}}=\langle \mathrm {R} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)} ψ L = ⟨ L | ψ ⟩ = 1 2 ( cos θ exp ( i α x ) + i sin θ exp ( i α y ) ) . {\displaystyle \psi _{\rm {L}}=\langle \mathrm {L} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).}
我々はそれを見ることができる 1 = | ψ R | 2 + | ψ L | 2 . {\displaystyle 1=|\psi _{\rm {R}}|^{2}+|\psi _{\rm {L}}|^{2}.}
楕円偏光 電場がx-y平面内で回転し、大きさが変化する一般的なケースは 楕円偏光 と呼ばれます。状態ベクトルは次のように表されます。 | ψ ⟩ = d e f ( ψ x ψ y ) = ( cos θ exp ( i α x ) sin θ exp ( i α y ) ) . {\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.}
任意の偏光状態の幾何学的可視化 偏光状態がどのようなものかを理解するには、偏光状態に位相係数を乗じ、その成分の実部をそれぞれx座標とy座標として解釈した場合に形成される軌道を観察することができます 。つまり、 e i ω t {\displaystyle e^{i\omega t}} ( x ( t ) y ( t ) ) = ( ℜ ( e i ω t ψ x ) ℜ ( e i ω t ψ y ) ) = ℜ [ e i ω t ( ψ x ψ y ) ] = ℜ ( e i ω t | ψ ⟩ ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).}
偏光状態を解釈する際に、 （ x ( t )、 y ( t )） の描かれた形状と回転方向のみ、すなわち （ x ( t ) と y ( t ) は上記のように定義される）と、それが全体としてより右円偏光であるか左円偏光であるか（すなわち、 | ψ R | > | ψ L | であるか、またはその逆であるか）のみを考慮すると、状態に任意の位相係数を乗じても、回転方向は同じままであるため、物理的な解釈は同じであることがわかります
。言い換えると、位相係数のみが異なる 2 つの偏光状態と の間に は 物理的な違いはありません 。 M ( | ψ ⟩ ) = { ( x ( t ) , y ( t ) ) | ∀ t } {\displaystyle M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}} M ( e i α | ψ ⟩ ) = M ( | ψ ⟩ ) , α ∈ R {\displaystyle M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R} } | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } e i α | ψ ⟩ {\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }
直線偏光状態の場合、 Mは xy 平面上の直線となり 、長さは2で中心は原点にあり、傾きは tan( θ ) に等しいことがわかります 。円偏光状態の場合、 Mは 半径 1/ √2 で中心は原点にある 円となります。
古典電磁波のエネルギー、運動量、角運動量
古典電磁波のエネルギー密度
平面波のエネルギー 古典的な電磁場における 単位体積あたりのエネルギー は（cgs単位）であり、プランク単位でもあります。 E c = 1 8 π [ E 2 ( r , t ) + B 2 ( r , t ) ] . {\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].}
平面波の場合、これは次のようになります。 ここで、エネルギーは波の波長にわたって平均化されています。 E c = ∣ E ∣ 2 8 π {\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}}
各成分のエネルギーの割合 平面波の x 成分のエネルギーの割合は、 y 成分に対しても同様の式となり、次のようになります 。 f x = | E | 2 cos 2 θ | E | 2 = ψ x ∗ ψ x = cos 2 θ {\displaystyle f_{x}={\frac {|\mathbf {E} |^{2}\cos ^{2}\theta }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta } f y = sin 2 θ {\displaystyle f_{y}=\sin ^{2}\theta }
両方の成分の割合は ψ x ∗ ψ x + ψ y ∗ ψ y = ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1. {\displaystyle \psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.}
古典電磁波の運動量密度 運動量密度は ポインティングベクトルによって与えられる。 P = 1 4 π c E ( r , t ) × B ( r , t ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}
Z方向に伝わる正弦平面波の場合、運動量はZ方向であり、エネルギー密度と関連しています。 P z c = E c . {\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.}
運動量密度は波長にわたって平均化されています。
古典電磁波の角運動量密度 電磁波は 軌道角 運動量と スピン 角運動量の両方を持つことができる。 [1] 総角運動量密度は L = r × P = 1 4 π c r × [ E ( r , t ) × B ( r , t ) ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].}
軸に沿って伝播する正弦平面波の場合、 軌道角運動量密度はゼロになります。スピン角運動量密度は 方向にあり 、 で与えられます 。ここでも、密度は波長にわたって平均化されます。 z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} L = | E | 2 8 π ω ( | ⟨ R | ψ ⟩ | 2 − | ⟨ L | ψ ⟩ | 2 ) = 1 ω E c ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} |\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} |\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}
光学フィルターと結晶
ポラロイドフィルターを通過する古典波 直線偏光 線形 フィルタは 平面波の1つの成分を透過し、垂直成分を吸収します。この場合、フィルタがx方向に偏光しているとすると、フィルタを通過するエネルギーの割合は f x = ψ x ∗ ψ x = cos 2 θ . {\displaystyle f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,}
エネルギー保存の例: 複屈折結晶を通過する古典波 理想的な 複屈折 結晶は、電磁波の偏光状態を波動エネルギーの損失なく変換します。したがって、複屈折結晶は偏光状態の保存的変換を検証するための理想的な試験台となります。この扱いは依然として純粋に古典的なものですが、時間とともに状態を発展させるユニタリー演算子やエルミート演算子といった標準的な量子ツールが自然に現れます。
初期状態と最終状態 複屈折結晶とは、 光軸 を持つ物質であり、光軸に平行な偏光と垂直な偏光で 屈折率が 異なる性質を持つ。光軸に平行な偏光は「 異常光線 」または「 異常光子 」と呼ばれ、光軸に垂直な偏光は「 常光線 」または「 常光子 」と呼ばれる。直線偏光の波が結晶に入射すると、異常波は常光とは異なる位相で結晶から出射する。数学的に言えば、入射波が 光軸に対してある角度で直線偏光している場合、入射状態ベクトルは次のように表され 、出射波の状態ベクトルは次のように表される
。 t h e t a {\displaystyle theta} | ψ ⟩ = ( cos θ sin θ ) {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}} | ψ ′ ⟩ = ( cos θ exp ( i α x ) sin θ exp ( i α y ) ) = ( exp ( i α x ) 0 0 exp ( i α y ) ) ( cos θ sin θ ) = d e f U ^ | ψ ⟩ . {\displaystyle |\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .}
初期状態は直線偏光でしたが、最終状態は楕円偏光です。複屈折結晶は偏光特性を変化させます。
最終状態の双対 方解石の結晶が紙の上に置かれ、複屈折を示す文字がいくつか書かれている 初期分極状態は、演算子 Uによって最終状態に変換されます。 最終状態の双対は 、行列の複素共役転置である U の 随伴 行列 で与えられます。 ⟨ ψ ′ | = ⟨ ψ | U ^ † {\displaystyle \langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }} U † {\displaystyle U^{\dagger }}
ユニタリ演算子とエネルギー保存 結晶から放出されるエネルギーの割合は ⟨ ψ ′ | ψ ′ ⟩ = ⟨ ψ | U ^ † U ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1. {\displaystyle \langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.}
この理想的な場合、結晶に衝突するすべてのエネルギーは結晶から放出されます。Iを 恒等演算子、Uをユニタリ演算子 とする性質を持つ演算子Uは、 ユニタリ演算子 と呼ばれます。このユニタリ性は、状態変換における エネルギー保存則 を保証するために不可欠です 。 U ^ † U ^ = I , {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,}
エルミート演算子とエネルギー保存 ニューメキシコ州ディクソンのアイスバーグ鉱区産の複屈折方解石。国立自然史博物館 に展示されているこの重さ16kgの結晶は、 アメリカ合衆国最大級の単結晶の一つです。 結晶が非常に薄い場合、最終状態は初期状態とわずかにしか変わらない。ユニタリー演算子は恒等演算子に近くなる。演算子 H は次のように
定義でき 、随伴演算子は次のように
定義できる。 U ^ ≈ I + i H ^ {\displaystyle {\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}} U ^ † ≈ I − i H ^ † . {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.}
エネルギー保存には I = U ^ † U ^ ≈ ( I − i H ^ † ) ( I + i H ^ ) ≈ I − i H ^ † + i H ^ . {\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.}
これには、 H ^ = H ^ † . {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.}
このように随伴演算子と等しい演算子は、 エルミート演算子 または自己随伴演算子と呼ばれます。
偏光状態の微小遷移は | ψ ′ ⟩ − | ψ ⟩ = i H ^ | ψ ⟩ . {\displaystyle |\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .}
したがって、エネルギー保存則では、エルミート演算子の作用によって偏光状態の微小な変換が発生することが必要になります。
光子：量子力学との関連
光子のエネルギー、運動量、角運動量
エネルギー ここまでの扱いは 古典的な ものでした。しかし、古典的な量を再解釈するだけで量子力学的に扱えるということは、電磁力学におけるマクスウェル方程式の一般性を証明するものです 。 この 再解釈は 、マックス・プランク の理論と、 アルバート・アインシュタイン によるそれらの理論および他の実験の解釈に基づいています 。 [ 要出典 ]
アインシュタインは 光電効果 に関する初期の実験から、電磁波は 光子 と呼ばれるエネルギーの既約な束で構成されているという結論を導き出しました。各束のエネルギーは、波の角周波数と次の関係式で結びついています。 ここで、は実験的に決定された縮 約プランク定数 と呼ばれる量です。 体積 の箱の中に光子 がある場合 、電磁場のエネルギーは であり 、エネルギー密度は です。 ϵ = ℏ ω {\displaystyle \epsilon =\hbar \omega } ℏ {\displaystyle \hbar } N {\displaystyle N} V {\displaystyle V} N ℏ ω {\displaystyle N\hbar \omega } N ℏ ω V {\displaystyle {N\hbar \omega \over V}}
光子 エネルギーは、 対応原理 によって古典場と関連付けることができる。対応原理 とは、多数の光子に対しては量子場と古典場の扱い方が一致しなければならないというものである。したがって、非常に大きな光子に対しては 、量子エネルギー密度は古典場のエネルギー密度と同じでなければならない。 N {\displaystyle N} N ℏ ω V = E c = | E | 2 8 π . {\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}{8\pi }}.}
箱の中の光子の数は N = V 8 π ℏ ω | E | 2 . {\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\vert \mathbf {E} \vert ^{2}.}
勢い 対応原理は光子の運動量と角運動量も決定する。 運動量については、波数である。これは光子の運動量 が P z = N ℏ ω c V = N ℏ k z V {\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}} k z {\displaystyle k_{z}} p z = ℏ k z . {\displaystyle p_{z}=\hbar k_{z}.\,}
角運動量とスピン スピン角運動量についても同様です。 ここで、 は場の強度です。これは、光子のスピン角運動量が であることを意味します。 この式の量子的解釈は、光子が のスピン角運動量を持つ確率と の スピン角運動量を持つ 確率を持つということです 。したがって、光子のスピン角運動量とエネルギーは量子化されていると考えることができます。古典光の角運動量は検証されています。 [2] 直線偏光（平面偏光）された光子は、左巻き状態と右巻き状態が同量重ね合わされています。電子状態によって吸収されると、角運動量が「測定」され、この重ね合わせは右巻きまたは左巻きのいずれかに崩壊します。これは、吸収する電子状態の角運動量の上昇または低下にそれぞれ対応します。 L = 1 ω E c ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) = N ℏ V ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }{V}}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)} E c {\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}} l z = ℏ ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) . {\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right).} ∣ ψ R ∣ 2 {\displaystyle \mid \psi _{\rm {R}}\mid ^{2}} ℏ {\displaystyle \hbar } ∣ ψ L ∣ 2 {\displaystyle \mid \psi _{\rm {L}}\mid ^{2}} − ℏ {\displaystyle -\hbar }
スピン演算子 光子のスピンは、スピン角運動量計算における の係数として定義されます 。 光子 は、 状態にあるときはスピン1 、 状態にあるときはスピン-1を持ちます。スピン演算子は、 外積 として定義されます。 ℏ {\displaystyle \hbar } | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } S ^ = d e f | R ⟩ ⟨ R | − | L ⟩ ⟨ L | = ( 0 − i i 0 ) . {\displaystyle {\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |-|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}
スピン演算子の 固有ベクトル は それぞれ と で、 固有値は それぞれ 1 と -1 です。これらの値は、円偏光の左右性を定義する慣例に従い、光源の視点に基づいています。 [ 要出典 ] | R ⟩ {\displaystyle |\mathrm {R} \rangle } | L ⟩ {\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }
光子のスピン測定の期待値は ⟨ ψ | S ^ | ψ ⟩ = | ψ R | 2 − | ψ L | 2 . {\displaystyle \langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}.}
演算子 Sは 、観測可能な量であるスピン角運動量と関連付けられています。演算子の固有値は、観測可能な許容値です。これはスピン角運動量に関して実証されていますが、一般にあらゆる観測可能な量に対して当てはまります。
スピン状態 円偏光状態は次のように書くことができます。 ここで、 に対しては s = 1 、 に対しては s = −1です 。任意の状態は次のように書くことができます。 ここで 、 と は位相角、 θ は基準フレームの回転角度、 | s ⟩ {\displaystyle |s\rangle } | R ⟩ {\displaystyle |\mathrm {R} \rangle } | L ⟩ {\displaystyle |\mathrm {L} \rangle } | ψ ⟩ = ∑ s = − 1 , 1 a s exp ( i α x − i s θ ) | s ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle } α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} α − 1 {\displaystyle \alpha _{-1}} ∑ s = − 1 , 1 | a s | 2 = 1. {\displaystyle \sum _{s=-1,1}\vert a_{s}\vert ^{2}=1.}
状態がスピン記法で書かれる場合、スピン演算子は次のように書ける。 S ^ d → i ∂ ∂ θ {\displaystyle {\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }} S ^ d † → − i ∂ ∂ θ . {\displaystyle {\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.}
微分スピン演算子の固有ベクトルは exp ( i α x − i s θ ) | s ⟩ . {\displaystyle \exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .}
これを確認するには、 S ^ d exp ( i α x − i s θ ) | s ⟩ → i ∂ ∂ θ exp ( i α x − i s θ ) | s ⟩ = s [ exp ( i α x − i s θ ) | s ⟩ ] . {\displaystyle {\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].}
スピン角運動量演算子は l ^ z = ℏ S ^ d . {\displaystyle {\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.}
量子力学における確率の性質
単一光子の確率 光子の挙動に確率を適用する方法は2つあります。確率は、特定の状態にある光子の確率を計算する方法と、1個の光子が特定の状態にある確率を計算する方法です。前者の解釈はエネルギー保存則に反します。後者の解釈は、直感的ではなくても、実行可能な選択肢です。ディラックは 二重スリット実験 の文脈でこれを説明しています。
量子力学が発見される以前から、人々は光波と光子の関係は統計的な性質を持つはずだと認識していました。しかし、波動関数は特定の場所に光子が 1個 存在する確率に関する情報を与えるものであり、その場所に存在する光子の確率数に関する情報を与えるものではない、という点を明確に理解していませんでした。この区別の重要性は、次のように説明できます。多数の光子が等しい強度の2つの成分に分割された光線があるとします。光線がその中の光子の確率数と関連していると仮定すると、各成分には総光子数の半分ずつが入ることになります。ここで、2つの成分を干渉させるとしたら、一方の成分の光子がもう一方の成分の光子と干渉するためには、もう一方の成分の光子が互いに干渉する必要があります。この2つの光子は、互いに消滅しなければならない場合もあれば、4つの光子を生成しなければならない場合もあります。これはエネルギー保存則に反します。波動関数と光子1個の確率を結びつける新しい理論は、各光子を2つの成分それぞれに部分的に投入することで、この困難を克服する。こうすることで、各光子は自身とのみ干渉する。異なる2つの光子間の干渉は起こらない。— ポール・ディラック 『 量子力学の原理』 1930 年、第1章
確率振幅 光子が特定の偏光状態にある確率は、古典的なマクスウェル方程式によって計算される電場に依存します。光子の偏光状態は電場に比例します。確率自体は電場の2乗に比例し、結果として量子偏光状態においても2乗に比例します。したがって、量子力学では、状態または 確率振幅が 基本的な確率情報を含んでいます。一般に、確率振幅を組み合わせる規則は、確率の合成に関する古典的な規則と非常によく似ています。[以下の引用はベイム著、第1章より] [ 説明が必要 ]
連続する2つの確率の確率振幅は、個々の可能性の振幅の積です。例えば、x偏光光子が右円偏光になる場合の振幅と 、 右円偏光光子がyポラロイドを通過する場合の振幅は 、個々の振幅の積です。 ⟨ R | x ⟩ ⟨ y | R ⟩ , {\displaystyle \langle R|x\rangle \langle y|R\rangle ,} 複数の区別できない 方法で起こり得る過程の振幅は、 それぞれの方法における振幅の合計である。例えば、x偏光光子がyポラロイドを通過する際の全振幅は、右円偏光光子として通過する際の振幅の合計と、 左円偏光光子として通過する際の振幅の合計である。 ⟨ y | R ⟩ ⟨ R | x ⟩ , {\displaystyle \langle y|R\rangle \langle R|x\rangle ,} ⟨ y | L ⟩ ⟨ L | x ⟩ … {\displaystyle \langle y|L\rangle \langle L|x\rangle \dots } プロセスが発生する合計確率は、1 と 2 で計算された合計振幅の絶対値の 2 乗です。
不確定性原理 ユークリッド空間におけるコーシー・シュワルツ不等式。 これは次のことを意味する。 V ⋅ W = ‖ V ‖ ‖ W ‖ cos a . {\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} =\left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|\cos a.} V ⋅ W ≤ ‖ V ‖ ‖ W ‖ . {\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} \leq \left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|.}
数学の準備 任意の正当な [ 説明が必要 ]演算子に対して、 コーシー・シュワルツの不等式 の結果である次の不等式 が成り立ちます。 1 4 | ⟨ ( A ^ B ^ − B ^ A ^ ) x | x ⟩ | 2 ≤ ‖ A ^ x ‖ 2 ‖ B ^ x ‖ 2 . {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle \right|^{2}\leq \left\|{\hat {A}}x\right\|^{2}\left\|{\hat {B}}x\right\|^{2}.}
BA ψ と AB ψ が定義されている場合 、平均を差し引いて上記の式に再挿入することで、 システム状態 ψ における
観測量 X の 演算子 平均 が
どこに
あるかを推論し、 Δ ψ A ^ Δ ψ B ^ ≥ 1 2 | ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ψ | {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|} ⟨ X ^ ⟩ ψ = ⟨ ψ | X ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right|{\hat {X}}\left|\psi \right\rangle } Δ ψ X ^ = ⟨ X ^ 2 ⟩ ψ − ⟨ X ^ ⟩ ψ 2 . {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.}
ここで は A と B の 交換子 と呼ばれます 。 [ A ^ , B ^ ] = d e f A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
これは純粋に数学的な結果です。物理的な量や原理には一切言及されていません。これは単に、ある演算子の不確実性と別の演算子の不確実性を掛け合わせた結果には下限値があるということを述べているだけです。
角運動量への応用 物理学との関連は、これらの演算子を角運動量や偏光角といった物理演算子と同一視することで明らかになります。したがって、 となり、 これは角運動量 と偏光角を同時に無限の精度で測定することはできないことを意味します。（偏光角は、光子が特定の角度に向けられた偏光フィルター、または 偏光ビームスプリッター を通過できるかどうかを調べることで測定できます 。この結果、光子が他の角度で平面偏光していた場合、その答えは2つの角度の差に依存する「はい/いいえ」となります。） Δ ψ L ^ z Δ ψ θ ≥ ℏ 2 , {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {L}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},}
状態、確率振幅、ユニタリ演算子とエルミート演算子、固有ベクトル 量子力学の数学的機構の多くは、偏光正弦波電磁波の古典的な記述に現れている。例えば、古典波のジョーンズベクトルは、光子の量子偏光状態ベクトルと同一である。ジョーンズベクトルの右円成分と左円成分は、光子のスピン状態の 確率振幅 として解釈できる。エネルギー保存則は、状態がユニタリ演算によって変換されることを要求する。これは、無限小変換がエルミート演算子によって変換されることを意味する。これらの結論は、古典波に対するマクスウェル方程式の構造から自然に導かれる。
観測量が測定され、連続的ではなく離散的であることが判明した時、量子力学が登場します。観測可能な値は、その観測量に関連付けられた演算子の固有値によって決定されます。例えば角運動量の場合、観測可能な値はスピン演算子の固有値です。
これらの概念は、マクスウェル方程式 、プランク理論、アインシュタイン理論から自然に生まれたものです 。そして、他の多くの物理系にも当てはまることが分かっています。実際、典型的なプログラムは、このセクションの概念を前提とし、そこから物理系の未知のダイナミクスを推論するというものです。これは、例えば電子のダイナミクスで行われました。その場合、このセクションの原理から逆算して粒子の量子ダイナミクスが推論され、 ニュートン力学 から逸脱した シュレーディンガー方程式が導き出されました。この原子の方程式の解は、原子スペクトルの バルマー系列 の説明につながり 、結果として原子物理学と化学のすべてにおける基礎となりました。
これは、マクスウェル方程式がニュートン力学の再構築を迫った 唯一の事例ではない （ 疑わしい – 議論の余地あり ） 。マクスウェル方程式は相対論的に整合している。 特殊相対論は 、古典力学をマクスウェル方程式と整合させようとする試みから生まれた（例えば、 「動く磁石と導体の問題 」を参照）。
参照
参考文献 ^ Allen, L.; Beijersbergen, MW; Spreeuw, RJC; Woerdman, JP (1992年6月). 「光の軌道角運動量とラゲール・ガウス型レーザーモードの変換」. Physical Review A. 45 ( 11): 8186–9 . Bibcode :1992PhRvA..45.8185A. doi :10.1103/PhysRevA.45.8185. PMID 9906912. ^ Beth, RA (1935). 「光の角運動量の直接検出」. Phys. Rev. 48 ( 5): 471. Bibcode :1935PhRv...48..471B. doi :10.1103/PhysRev.48.471.
さらに読む
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cad9147abe815aca88d1a6c1b7454f60b00259)
![{\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cfdb305a8a57cf2e0eb86eb8454e66a874240e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958c7b1b6c990fc7aca959791d1916ab5f1c2e78)
![{\displaystyle {\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58670d802101d4dbf2b8c88bad98e92fde6fa3c7)
![{\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d15ab2a4d2c0b105f736f14dc02fcf35234c952)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfbb15ab65096d66623a01567abd271a0745631)
