光子球

Region around a black hole at which light orbits

光線が重力によって曲げられ、光子球を形成する様子を示すアニメーション

光子球、または光子リング^[1]あるいは光子サークル^[2]は、ブラックホールの事象の地平線の近傍に発生します。この近傍では重力が非常に強いため、放出された光子はブラックホールの周りを曲がるだけでなく、放出された地点に戻ってきて、結果としてブーメランのような特性を示します^[2] 。光子を放出する源が事象の地平線に向かって重力場に落ち込むと、各ブーメラン光子の軌道の形状が変化し、より円形に近づきます。特異点からの半径距離の臨界値では、ブーメラン光子の軌道は不安定な円軌道になり、光子サークルを形成し、全体として光子球を形成します。円形の光子軌道は、最後の光子軌道と言われています^[3]。光子球の半径は、任意の円軌道の下限値でもあり、シュワルツシルトブラックホールの場合、

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

ここで、 Gは重力定数、Mはブラックホールの質量、cは真空中の光速、r _sはシュワルツシルト半径（事象の地平線の半径）です。この結果の導出については以下を参照してください。

この方程式は、光子球が非常にコンパクトな物体（ブラックホールまたは「超コンパクト」中性子星^[4] ）の周囲の空間にのみ存在できることを意味します。

光子球は、ブラックホールの中心から事象の地平線よりも遠い位置にあります。光子球内では、人の後頭部から放出（または反射）された光子がブラックホールの軌道を辿り、人の目に捉えられ、後頭部を（非常に歪んではいるものの）見ることができると想像できます。例えば^{[2]をご覧ください。}

回転しないブラックホールの場合、光子球は半径 3/2  r _sの球体です。光子球の内部、または光子球を横切る安定した自由落下軌道は存在しません。外側から光子球を横切る自由落下軌道は、ブラックホールに螺旋状に落ち込みます。内側から光子球を横切る軌道は、無限遠に脱出するか、ブラックホールに落下して螺旋状に落ち込みます。この距離よりも短い長半径を持つ非加速軌道は存在しませんが、光子球内部では、一定の加速度によって宇宙船や探査機が事象の地平線より上をホバリングすることが可能です。

光子球のもう一つの特性は、遠心力（注：求心力ではない）の反転である。^[5]光子球の外では、軌道速度が速いほど、外向きの力が大きくなる。光子球内では、自由落下以外の軌道を含むあらゆる速度で遠心力はゼロになる。つまり、物体の重さは、どれだけ速く周回しても一定であり、光子球内では負になる。光子球内では、軌道速度が速いほど、重さ、つまり内向きの力が大きくなる。これは、内向きの流体の流れの流体力学に深刻な影響を及ぼす。

回転するブラックホールには、多数の光子「球」、より正確には扁平球（光子の接近方向に応じて、極で扁平化した回転楕円体）が存在する。ブラックホールが回転すると、空間を引きずる。極軌道では、光子球は1つしかない。これは、回転軸に平行な方向からブラックホールに近づく場合、回転と同方向または逆方向に移動する可能性がないからである。回転は、代わりに軌道を歳差運動させる。^[6]極軌道球よりもブラックホールに近い光子球はブラックホールと同じスピンを持ち、遠い光子球はブラックホールと反対のスピンを持つ。ブラックホールの回転角速度が大きいほど、最も近い光子球と最も遠い光子球の間の距離は大きくなる。光子が赤道方向からブラックホールに接近する場合、光子球は赤道面内で円に縮退する。

シュワルツシルトブラックホールの導出

シュワルツシルトブラックホールは球対称性を持つため、円形の光子軌道の可能な軸はすべて等価であり、すべての円形軌道は同じ半径を持ちます。

この導出には、次式で表されるシュワルツシルト計量を使用する。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

一定の半径r（つまりφ座標方向）で移動する光子の場合、 となります。光子は光子であるため、 となります（「光のような間隔」）。 が一定となるように座標系を回転させることができます（例：）。 ${\displaystyle dr=0}$ ${\displaystyle ds=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

ds、dr 、 dθをゼロに設定すると、

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

並べ替えると

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

先に進むには、関係式が必要です。これを求めるには、放射測地線方程式を使用します。 ${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

非ゼロ接続係数は ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

どこ。 ${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

我々は光子のラジアル測地線を定数rとで扱うので、 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

これをラジアル測地線方程式（ラジアル座標を従属変数とする測地線方程式）に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

以前に得られた結果と比較すると、

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

ここではラジアンを挿入しています（光子が周回する中心質量が座標軸の中心にあると想像してください。すると、光子が- 座標線に沿って移動するので、質量が光子の軌道の中心に直接位置するためには、ラジアンが必要になります）。 ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

したがって、この最終的な式を整理すると、

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

これが私たちが証明しようとした結果です。

光子はカーブラックホールの周りを周回する

側面（l）と極の上（r）からの図。回転するブラックホールには2つの半径があり、光は地平線の外側の一定のr座標上でそれらの半径の間を周回します。このアニメーションでは、a = mにおけるすべての光子の軌道を示しています。

シュワルツシルトブラックホールとは対照的に、カー（回転）ブラックホールは球対称性ではなく、対称軸のみを持ちます。これは光子軌道に重大な影響を及ぼします。光子軌道と光子円の詳細とシミュレーションについては、例えばCramer ^{[2]を参照してください。赤道面には、}ボイエ・リンクイスト半径が異なる4つの円形光子軌道があります。

${\displaystyle r_{0}=0}$（直交半径|a|のリング特異点、安定した順行軌道）、

${\displaystyle r_{1}=2r_{s}\left[\sin ^{2}\left({\frac {1}{3}}\arcsin {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$（不安定な順行軌道）、

${\displaystyle r_{2}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {-|a|}{m}}\right)\right]}$（不安定な順行軌道）、

${\displaystyle r_{3}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$（不安定な逆行軌道）、

と、 ${\displaystyle 0<r_{1}\leq {m}\leq r_{2}\leq 3{m}\leq r_{3}\leq 4{m}}$

ここで、およびはブラックホールのスピン角運動量^[7]およびである。 ${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}={\frac {r_{s}}{2}}}$ ${\displaystyle a={\frac {J}{cM}}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |a|\leq m}$

注：と は それぞれ、最短半径と最大半径の（縮退した）球面に対応します。ブラックホールのスピンが大きいほど、と の 間の隙間は大きくなります。 は、 のとき内側の地平線の内側にあり、 は、 のとき両方の地平線と一致 します（ ^[8]（極限カーブラックホール）。 ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle \geq {m}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle |a|<m}$ ${\displaystyle |a|=m}$

ボイヤー・リンクイスト半径を持つ極光子軌道（2つの極を横切り、ブラックホールのスピンに引きずられる）が1つあります。

${\displaystyle r_{p}=r_{s}\left[{\frac {1}{2}}+{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1-{\frac {a^{2}}{m^{2}}}}{\left(1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}\right)^{3/2}}}\right)\right]}$^[7]（不安定軌道）

と。 ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}}){m}\leq r_{p}\leq 3{m}}$

この軌道は順行軌道と逆行軌道の境界です。

軌道の半径が より小さい場合、軌道は径方向の摂動に対して安定しますが、それ以外の場合は不安定です。 ${\displaystyle r_{stab}=m\left(1-\left(1-a^{2}/m^{2}\right)^{1/3}\right)}$

（シュワルツシルトブラックホール）のとき、上記の式は、前のセクションで見たように唯一の軌道につながり 、 となります。 ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle r_{2}=r_{3}=r_{p}={\frac {3}{2}}r_{s}}$ ${\displaystyle r_{stab}=0}$

のとき、他の一定半径の軌道も存在するが、それらは赤道の周りの緯度で振動するより複雑な経路を持ち、^[7] （極端なカーブラックホール）を除いて、それらの半径には今日まで知られている単純な解析的定義がない。 ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle |a|=m}$

シュワルツシルト ブラックホールとは異なり、カー ブラックホールの周囲の光子球は単一の光子の軌道によって生成されます。

観察

光子リングの検出に向けた最初の試みは、イベント・ホライズン・テレスコープ（EHT）チームの一員であるエイブリー・ブロデリック氏らによって2022年8月に報告された。彼らは、メシエ87の中心にある超大質量ブラックホールのEHT 2017データに代替画像化アルゴリズムを適用し、超大質量ブラックホールM87*の周囲にある光子リングであると主張する画像を分離・抽出した。^[9]この主張は、光子リングとされるものが予想よりも明るかったため批判された。また、EHT 2017データの同様の独立した分析では、光子リングとされるものの明るさに制限を設けたが、光子リングの検出を示す証拠は得られなかった。^[10]

参考文献

1. Bennett, Jay (2019年4月10日). 「天文学者、超大質量ブラックホールの史上初の画像を撮影」. Smithsonian.com . スミソニアン協会. 2021年4月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年4月15日閲覧。
2. Cramer, Claes R. (1997). 「無荷電カーブラックホールを重力ミラーとして利用する」.一般相対性理論と重力. 29 (4): 445– 454. arXiv : gr-qc/9510053 . Bibcode :1997GReGr..29..445C. doi :10.1023/A:1018878515046. S2CID  9517046.
3. レビン、ジャンナ (2019年4月10日). 「ブラックホール物理学者にとってブラックホールの目撃が意味するもの」. Quanta Magazine . 2024年8月29日閲覧。ブラックホールに最も近い位置で光線が円周を回ることができる領域で、「最後の光子軌道」として知られる。
4. Nemiroff, Robert J.; Becker, Peter A.; Wood, Kent S. (1993年4月). 「超小型中性子星の特性」. The Astrophysical Journal . 406 : 590. Bibcode :1993ApJ...406..590N. doi :10.1086/172471. ISSN  0004-637X.
5. アブラモヴィッチ、マレク (1990). 「シュワルツシルトブラックホール近傍における遠心力の反転」.王立天文学会月報. 245 :720.書誌コード:1990MNRAS.245..720A.
6. Hirata, Christopher M. (2011年12月). 「講義XXVII: Kerrブラックホール: II. 歳差運動、円軌道、そして安定性」(PDF) . Caltech . 2018年3月5日閲覧。
7. Teo, Edward (2003). 「カーブラックホールの周りの球状光子軌道」(PDF) .一般相対性理論と重力. 35 (11): 1909– 1926. Bibcode :2003GReGr..35.1909T. doi :10.1023/A:1026286607562. ISSN  0001-7701. S2CID 117097507. 2020年6月3日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) . 2010年8月24日閲覧.
8. Dokuchaev, Vyacheslav I. (2011). 「ブラックホールの中に生命は存在するのか？」.クラス. 量子重力. 28 (23). arXiv : 1103.6140 . Bibcode :2011CQGra..28w5015D. doi :10.1088/0264-9381/28/23/235015.
9. Robert Lea (2022年8月17日). 「超大質量ブラックホールの明るい『光子リング』が新たな画像で明らかに」Space.com . 2022年8月28日閲覧。
10. エミリー・コノバー (2022年8月31日). 「物理学者、ブラックホールの『光子リング』検出の主張に異議を唱える」. Science News . 2022年9月19日閲覧。

外部リンク

• ブラックホールへの一歩一歩
• ブラックホールと中性子星への仮想旅行
• ブラックホールガイド
• カーブラックホールの周りの球状光子軌道

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