セット（音楽）

{ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ##t \set Score.proportionalNotationDuration = #(ly:make-moment 3/2) \relative c'' { \time 5/1 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 e1 es c cis d } }
イーゴリ・ストラヴィンスキーの『ディラン・トーマスを偲んで』から5つのピッチクラスセットの主要形式[ 1 ]
Luigi NonoによるVariazioni canonicheで使用されるリズム値の 6 要素セット[ 2 ]

音楽理論において、数学（集合を参照）や一般用語と同様に、集合（音高集合、音高クラス集合、集合クラス、集合形式、集合属、音高集合）とは、オブジェクトの集合である。音楽集合論において、「集合」という用語は伝統的に音高または音高クラスの集合に最もよく適用されるが、理論家たちはその用法を他の種類の音楽的実体にも拡張しており、例えば持続時間や音色の集合についても言及することがある。 [ 3 ]

集合自体は、必ずしも順序や順列といった追加の構造を持つわけではありません。しかしながら、音楽においては、順序関係（セグメントと呼ばれる）を備えた集合について考察することがしばしば重要となります。そのような文脈では、強調のため、裸の集合はしばしば順序なし（unordered）と呼ばれます。 [ 4 ]

タイムポイントセットとは、アタックポイントまたはタイムポイント間の時間単位での距離が、ピッチクラス間の半音単位での距離である持続時間セットです。 [ 5 ]

名前

2つの要素の集合はダイアッド（dyad）と呼ばれ、3つの要素の集合はトリコード（tricord）と呼ばれます（triadと呼ばれることもありますが、これは単語の伝統的な意味と混同されやすいです）。より高い濃度の集合は、テトラコード、ペンタコード、ヘキサコード、ヘプタコード、オクタコード、ノナコード、デカコード、ウンデカコード、ドデカコードと呼ばれます。これらはまた、テトラッド、ペンタッド、ヘキサッド、ヘプタッド（またはラテン語とギリシャ語の語源を混ぜてセプタコードと呼ばれることもあります）、[ 6 ]オクタッド、ノナッド、デカッドとも呼ばれます。

シリアル

しかし、セリー音楽理論においては、一部の著者（特にミルトン・バビット[ 7 ]）は、他の著者が列やシリーズと呼ぶ用語を集合（ set ）と呼び、作品を構成するために用いられる順序付けられた集合（例えば十二音列）を指して用いている。これらの著者は、十二音集合、時点集合、導出集合などについて述べている（後述）。これは、上記で説明した集合（set theory） の用法とは異なる。

これらの著者にとって、集合形式（または行形式）とは、そのような順序付けられた集合の特定の配置であり、プライム形式（元の順序）、逆（逆さま）、逆行（後ろ向き）、逆行逆（後ろ向きかつ逆さま）である。[ 3 ]

導出集合とは、部分集合に対する一貫した操作から生成または導出される集合である。例えば、ウェーベルンの協奏曲作品24では、最後の3つの部分集合は最初の部分集合から導出される。[ 8 ]

{ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ##t \set Score.proportionalNotationDuration = #(ly:make-moment 1/1) \relative c'' { \time 3/1 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 b1 bes d es, g fis aes ef c' cis a } }

これは 0 から 11 までの整数として数値的に表すことができます。 

0 11 3 4 8 7 9 5 6 1 2 10

最初のサブセット (BB ♭ D) は次のようになります。 

0 11 3 素数形式、区間文字列 = ⟨−1 +4⟩

2 番目のサブセット (E ♭ GF ♯ ) は最初のサブセットの逆行反転であり、1 半音上に移調されています。 

 3 11 0 逆行、間隔文字列 = ⟨−4 +1⟩ mod 12 3 7 6 逆数、区間文字列 = ⟨+4 −1⟩ mod 12 + 1 1 1 ------ = 4 8 7

3 番目のサブセット (G ＃ EF) は最初のサブセットを逆行し、6 半音上 (または下) に移調したものです。 

 3 11 0 逆行 + 6 6 6 ------ 9 5 6

4 番目のサブセット (CC ＃ A) は最初のサブセットの逆で、半音上に移調されています。 

 0 11 3 素数形式、区間ベクトル = ⟨−1 +4⟩ mod 12 0 1 9 逆数、区間文字列 = ⟨+1 −4⟩ mod 12 + 1 1 1 ------- 1 2 10

したがって、4 つの三和音 (3 音セット) のそれぞれは、4 つの連続行操作のいずれかによって明らかにできる関係を示し、それによって特定の不変性を生み出します。

非連載

{ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \relative c' { \time 4/4 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 <c d>1 <c bes'> <bes' c> } }
セット(0,2)、(0,10)、(10,0)

非シリアルセットの基本的な概念は、ピッチクラスの順序付けられていないコレクションであるということである。[ 9 ]セットの通常の形式は、セット内のピッチの最もコンパクトな順序である。[ 10 ]トムリンは、「最もコンパクトな」順序を、「連続する2つのピッチ間の間隔のうち最大の間隔が、リストされた最初のピッチと最後のピッチの間である」順序と定義している。[ 10 ]たとえば、セット (0,2) (長2度) は通常形式であるが、セット (0,10) (短7度、長2度の反転) はそうではなく、その通常の形式は (10,0) である。

セット3-1には3つの回転/反転の可能性があり、その通常の形は最小のパイまたは最もコンパクトな形です。

集合の元の（転置されていない、反転されていない）形式ではなく、素形式は、集合の正規形式またはその反転の正規形式のいずれか、より密に詰まっている方と見なすことができます。[ 11 ] Forte（1973）とRahn（1980）はどちらも、集合の素形式を、可能な限り左に詰まったバージョンとして挙げています。Forteは左から詰め、Rahnは右から詰めます（「小さな数を小さくする」のに対し、「大きな数を...小さくする」[ 12 ]）。長年にわたり、2つのアルゴリズムが異なる例は5つしかないと受け入れられていました。[ 13 ]しかし、2017年に音楽理論家のIan Ringは、ForteとRahnのアルゴリズムが異なる素形式に到達する6番目の集合クラスがあることを発見しました。[ 14 ]イアン・リングはまた、集合の素数形式を計算するためのはるかに単純なアルゴリズムを確立した。[ 14 ]このアルゴリズムは、ジョン・ラーンが以前に発表したより複雑なアルゴリズムと同じ結果を生成する。

ベクトル

参照

参考文献

  1. ^ウィットオール（2008年）、127ページ。
  2. ^ウィットオール、アーノルド (2008).『ケンブリッジ・セリアリズム入門』 p.165. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-68200-8（pbk）。
  3. ^ a bウィットリッヒ、ゲイリー (1975). 「20世紀音楽におけるセットと順序づけの手順」『20世紀音楽の諸相』 p.475. ウィットリッヒ、ゲイリー (編). ニュージャージー州エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール. ISBN 0-13-049346-5。
  4. ^モリス、ロバート (1987).『ピッチクラスによる作曲：作曲デザインの理論』p.27. イェール大学出版局. ISBN 0-300-03684-1。
  5. ^ Wittlich（1975）、476ページ。
  6. ^例えば、Rahn（1980）、140。
  7. ^十二音階に関する彼の著作は、S.ペレス他編『ミルトン・バビット随筆集』 （プリンストン大学出版、2003年）にほぼすべて収録されているので、そちらを参照のこと。ISBN 0-691-08966-3。
  8. ^ Wittlich（1975）、474ページ。
  9. ^ジョン・ラーン『基礎無調理論』（ニューヨーク：ロングマン、ロンドンおよびトロント：プレンティス・ホール・インターナショナル、1980年）、27～28頁。ISBN 0-582-28117-2（ロングマン）; ISBN 0-02-873160-3（プレンティス・ホール・インターナショナル）。1987年再版（ニューヨーク：シルマー・ブックス、ロンドン：コリアー・マクミラン、1980年）、27ページ。ISBN 0-02-873160-3。
  10. ^ a b Tomlin, Jay. 「集合論のすべて：正規形とは何か？」JayTomlin.com。
  11. ^ Tomlin, Jay.「集合論のすべて：素形式とは何か？」 JayTomlin.com。
  12. ^ Nelson, Paul (2004). 「素数形式を計算するための2つのアルゴリズム」 . ComposerTools.com . 2017年12月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  13. ^ツァオ・ミン (2007).『抽象音楽音程：作曲と分析のための群論』p.99, n.32. ISBN 9781430308355アルゴリズムは、ロバート・モリス（1991）著『無調音楽理論のための授業ノート』p.103に掲載されています。フロッグピークミュージック。
  14. ^ a b「イアン・リングによる音階の研究」。

さらに読む

  • シュイエル、ミヒール（2008年）『無調音楽の分析：ピッチクラス集合論とその文脈』ISBN 978-1-58046-270-9。
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