平面曲線

Mathematical concept

数学において、平面曲線とは、ユークリッド平面、アフィン平面、または射影平面のいずれかの平面上の曲線です。最も頻繁に研究されるのは、滑らかな平面曲線（区分的に滑らかな平面曲線を含む）と代数平面曲線です。平面曲線には、ジョルダン曲線（平面の領域を囲むが、必ずしも滑らかである必要はない曲線）や連続関数のグラフも含まれます。

象徴的な表現

平面曲線は、しばしば直交座標系において、ある特定の関数fに対する という形の暗黙の方程式で表されます。この方程式がyまたはxについて明示的に解ける場合 、つまり、特定の関数gまたはhに対してと書き直すことができる場合、これは別の明示的な表現形式となります。平面曲線は、しばしば直交座標系において、特定の関数に対するという形の媒介変数方程式で表され、 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t).}$

平面曲線は、各点の位置を角度と原点からの距離で表す極座標などの代替座標系で表すこともできます。

滑らかな平面曲線

滑らかな平面曲線は、実ユークリッド平面⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上の曲線であり、1次元の滑らかな多様体です。つまり、滑らかな平面曲線は、あらゆる点の近くで滑らかな関数によって直線に写像できるという意味で、 「局所的に直線のように見える」平面曲線です。同様に、滑らかな平面曲線は、 ⁠ ⁠が滑らかな関数であり、偏微分⁠ ⁠と⁠ ⁠ が曲線の点で両方とも0になることはない方程式で局所的に表すことができます。 ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ ${\displaystyle \partial f/\partial y}$

代数平面曲線

代数平面曲線は、1 つの多項式方程式(または射影の場合はFが同次多項式)によって与えられるアフィン平面または射影平面内の曲線です。 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$

代数曲線は 18 世紀以来広く研究されてきました。

すべての代数平面曲線は次数を持ちます。これは定義方程式の次数であり、代数閉体の場合、曲線と一般位置にある直線との交点の数に等しくなります。例えば、 方程式 によって与えられる円の次数は2です。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

2次の非特異平面代数曲線は円錐曲線と呼ばれ、その射影完備化はすべて円の射影完備化（つまり方程式 の射影曲線）と同型である。3次の平面曲線は3次平面曲線と呼ばれ、非特異な場合は楕円曲線と呼ばれる。4次の平面曲線は4次平面曲線と呼ばれる。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

例

平面曲線の多くの例は、曲線ギャラリーと曲線リストに掲載されています。ここでは、1次または2次の代数曲線を示します（3次未満の代数曲線は常に平面に含まれます）。

名前	暗黙方程式	媒介変数方程式	機能として	グラフ
直線	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
丸	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
放物線	${\displaystyle y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
楕円	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
双曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

参照

• 代数幾何学
• 凸曲線
• 微分幾何学
• オスグッド曲線
• 平面曲線フィッティング
• 射影多様体
• 歪んだ曲線

参考文献

• Coolidge, JL (2004年4月28日)、A Treatise on Algebraic Plane Curves、Dover Publications、ISBN 0-486-49576-0。
• Yates, RC (1952),曲線とその特性に関するハンドブック、JW Edwards、ASIN  B0007EKXV0。
• ローレンス、J.デニス（1972）、特殊平面曲線のカタログ、ドーバー、ISBN 0-486-60288-5。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「平面曲線」。MathWorld。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Plane_curve&oldid=1219817573"