三次元空間におけるユークリッド平面

ユークリッド幾何学において、平面とは無限に広がる平坦な二次元面のことである。ユークリッド平面はしばしば三次元空間の部分空間として現れる。典型的な例としては、部屋の壁が無限に広がり、無限に薄いと仮定されるケースが挙げられる。平面上の点は実数のペアで記述できるが、平面外の点との関係については、それらの点が周囲の空間に埋め込まれる点について特別な考慮が必要となる。 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

派生概念

あ平面セグメントまたは平面領域（または一般的には単に「平面」）は、平面の表面領域線分に類似しています。双ベクトルは有向平面線分であり有向線分。^{[ a ]} 面は、立体を囲む平面線分です。^{[ 1 ]} 板は、2つの平行な平面で囲まれた領域です。平行六面体は、3組の平行な平面で囲まれた領域です。

背景

ユークリッドは、数学的思考の最初の偉大な金字塔、幾何学の公理的扱いを提示した。^{[ 2 ]}彼は定義されていない用語（共通概念と呼ばれる）と公準（または公理）の小さな核を選択し、それらを使用してさまざまな幾何学的記述を証明した。現代的な意味での平面は原論のどこにも直接定義されていないが、共通概念の一部と考えることができる。^{[ 3 ]}ユークリッドは、長さ、角度、または面積を測定するために数値を使用することはなかった。選択された直交座標系を備えたユークリッド平面は直交平面と呼ばれ、極座標系を備えた非直交ユークリッド平面は極平面と呼ばれる。

平面は線織面です。

ユークリッド平面

数学において、ユークリッド平面（ユークリッドげんぽう）は、 2次元ユークリッド空間であり、またはと表記される。これは、各点の位置を決定するために2つの実数が必要となる幾何学的空間である。ユークリッド平面はアフィン空間であり、特に平行線の概念を含む。また、距離によって誘導される計量的性質も持ち、円の定義や角度の測定を可能にする。 ${\textbf {E}}^{2}$ $\mathbb {E} ^{2}$

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、直交平面と呼ばれます。実数の順序対の集合（実座標平面）は、内積を備えており、すべてのユークリッド平面がこれに同型であるため、ユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれることがよくあります。 $\mathbb {R} ^{2}$

表現

このセクションでは、3 次元に埋め込まれた平面、具体的には $R 3$ にのみ焦点を当てます。

含まれる点と線による決定

任意の次元のユークリッド空間では、平面は次のいずれかによって一意に決定されます。

同一直線上にない3 つの点。
直線と、その直線上にない点。
2 つの異なるが交差する線。
2 つの異なるが平行な線。

プロパティ

次の記述は 3 次元ユークリッド空間では成り立ちますが、高次元では成り立ちません。ただし、高次元には類似の記述があります。

2 つの異なる平面は、平行であるか、または直線で交差します。
線は平面と平行であるか、平面と 1 点で交差しているか、平面内にあります。
同じ平面に垂直な2 つの異なる線は、互いに平行でなければなりません。
同じ直線に対して垂直な 2 つの異なる平面は、互いに平行でなければなりません。

平面方程式の点正規形と一般形

2 次元空間の直線がその方程式の点-傾き形式を使用して記述されるのと同様に、3 次元空間の平面は、平面上の点とそれに直交するベクトル (法線ベクトル) を使用してその「傾斜」を示す自然な記述を持ちます。

具体的には、 $r 0 を$ ある点 $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ の位置ベクトルとし、 $n = (a, b, c)$ を非零ベクトルとします。点 $P 0$ とベクトル $n$ で決まる平面は、位置ベクトル $r$ を持つ点 $Pから成り、$ $P$ $0から$ $P$ に引いたベクトルが $n$ に垂直になります。2つのベクトルが直交するのは、それらのドット積がゼロのときのみであることを思い出してください。したがって、目的の平面は、となるすべての点 $r$ の集合として記述できます。ここでのドットはドット（スカラー）積を意味します。これを展開すると、平面方程式の点-法線形式になります。 [ 4 ^]^これ^は単なる線形方程式で、は ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.$ $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ $ax+by+cz+d=0,$ $d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),$ $-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

数学では法線を単位ベクトルとして表現するのが一般的な慣例ですが、上記の議論は任意の非ゼロの長さの法線ベクトルに当てはまります。

逆に、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ が定数で、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がすべて0でない場合、方程式のグラフはベクトル $n$ $= ($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ を法線とする平面になることが簡単に示されます。^[⁵^]このよく知られた平面方程式は、平面方程式の一般形または単に平面方程式と呼ばれます。^[⁶^] $ax+by+cz+d=0,$

したがって、たとえば、 $y$ $=$ $d$ $+$ $ax$ $+$ $cz$ （ $b$ $= -1$ ）の形式の回帰方程式は、説明変数が2つある場合に3次元空間で最適な平面を確立します。

点と2つのベクトルが乗った平面を記述する

あるいは、平面は、次の形の点の集合として媒介変数的に記述される。 ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},$

ここで、 $s$ と $t は$ すべての実数の範囲をとり、 $v$ と $w は$ 平面を定義する線形独立なベクトルであり、 $r 0$ は平面上の任意の（ただし固定された）点の位置を表すベクトルである。ベクトル $v$ と $w は、$ $r 0$ を起点とし、平面に沿って異なる方向を指すベクトルとして視覚化できる。ベクトル $v$ と $w は$ 直交することはできるが、平行になることはできない。

3点を通る平面の記述

$p 1 = (x 1, y 1, z 1)$ 、 $p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ 、および $p 3 = (x 3, y 3, z 3)$ を非共線点とします。

方法1

$p 1$ 、 $p 2$ 、 $p 3$ を通る平面は、次の行列式を満たすすべての点 ( x、y、z )の集合として記述できます。 ${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.$

方法2

平面をの形式の方程式で記述するには、次の連立方程式を解きます。 $ax+by+cz+d=0$ $ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$ $ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$ $ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

この系はクラメールの定理と基本的な行列演算を用いて解くことができる。 $D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.$

$D$ がゼロでない場合（つまり、原点を通らない平面の場合）、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値は次のように計算できます。 $a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$ $b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$ $c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

これらの方程式はdに関して媒介変数です。d を任意の非ゼロ数に設定し、これらの方程式に代入すると、1つの解の集合が得られます。

方法3

この平面は、§ 点-法線形式と上記の平面処方の方程式の一般形でも記述できます。適切な法線ベクトルは外積によって与えられ、点 $r$ $0は与えられた点$ $p$ $1$ 、 $p$ $2$ 、または $p$ $3$ ^[⁷^]のいずれか（あるいは平面上の他の任意の点）を取ることができます。 ${\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),$

オペレーション

点から平面までの距離

ユークリッド空間では、点から平面までの距離は、与えられた点とその平面上の直交投影との間の距離、つまり平面上の最も近い点までの垂直距離です。

これは、変数変換によって原点を与えられた点と一致させ、その後、移動した平面上で原点に最も近い点を求めることで求められます。得られた点は、直交座標系で表されます。 $ax+by+cz=d$ $(x,y,z)$

\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

。

原点と点の間の距離はです。 $(x,y,z)$ ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

線と面の交差

幾何学において、三次元空間における直線と平面の交点は、空集合、点、あるいは直線そのものとなる。直線が平面に埋め込まれている場合は直線全体となり、直線が平面に平行でありながら平面の外側にある場合は空集合となる。そうでない場合、直線は平面を一点で切断する。

これらのケースを区別し、後者の場合の点と線の方程式を決定することは、コンピューターグラフィックス、動作計画、衝突検出に役立ちます。

2つの平面の交線

幾何学では、3 次元空間における2 つの平面の交差は直線であり、平行平面の場合は空集合です。

球面と平面の交差

球面と平面の交点が空点や一点でない場合、それは円です。これは次のように表すことができます。

S を中心Oの球面、P をSと交差する平面とします。OE をPに垂直に描き、EでPと交わります。AとB を交差点上の任意の 2 つの異なる点とします。すると、AOEとBOE は、共通の辺OEを持ち、斜辺AOとBO が等しい直角三角形になります。したがって、残りの辺AEとBEも等しいです。これは、交差点のすべての点が平面P上の点Eから同じ距離にあることを証明しています。言い換えると、交差点のすべての点は中心Eを持つ円C上にあります。^[⁸^]これは、 PとSの交差点がCに含まれていることを証明しています。OE は円の軸であることに注意してください。

ここで、円C上の点Dを考えてみましょう。C はPに含まれるため、Dも P に含まれます。一方、三角形AOEとDOE は、共通辺OEを持ち、辺EAとEDが等しい直角三角形です。したがって、斜辺AOとDO は等しく、 Sの半径に等しいため、D はSに含まれます。これは、 C がPとSの交点に含まれることを証明しています。

結果として、球面上には与えられた3点を通る円が1つだけ存在する。^{[ 9 ]}

この証明は、円上の点はすべてその極の1つから共通の角度距離にあることを示すために拡張することができます。^{[ 10 ]}

楕円を作成できる円錐曲線も比較してください。

自然界での発生

平面は、平面鏡の鏡面反射や進行する平面波の波面など、多くの物理現象の数学的モデルとして機能します。乱されていない液体の自由表面は、ほぼ平坦になる傾向があります（平坦性を参照）。これまでに製造された中で最も平坦な表面は、量子安定化原子ミラーです。^[¹¹^] 天文学では、軌道上の位置を定義するためにさまざまな基準面が使用されています。解剖学的な面には、横方向（「矢状」）、前頭方向（「コロナ」）、または横断方向があります。地質学では、ベッド（堆積物の層）は平面であることがよくあります。平面は、焦点面、画像面、像面など、さまざまな形式の画像化に関係しています。

ミラー指数

格子面の姿勢は、面の法線方向の向きであり^{[ 12 ]}、面のミラー指数によって記述される。三次元空間では、面族（一連の平行面）はミラー指数（hkl）によって表すことができるので、^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}、面族はそれを構成するすべての面に共通の姿勢を持つ。

ストライクアンドディップ

地質学で観察される多くの特徴は平面または線であり、その方向は一般的に姿勢と呼ばれます。これらの姿勢は2つの角度で指定されます。

線の場合、これらの角度はトレンドとプランジと呼ばれます。トレンドとは線のコンパス方向であり、プランジとは水平面に対して線が下向きに作る角度です。^{[ 15 ]}

平面の場合、2つの角度は走向（角度）と傾斜（角度）と呼ばれます。走向線とは、水平面と観測対象の平面的特徴（したがって水平線）との交点であり、走向角はこの線の方位（つまり、地理的北または磁北に対する方位）です。傾斜角は、走向線に垂直な3番目の垂直面において観測される、水平面と観測対象の平面的特徴との間の角度です。

参照

注記

説明ノート

^より正確には、有向平面線の同値類に類似した代数的実体。

引用

^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (第11版). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.
^イブス 1963、19ページ
^ Joyce, DE (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7 , Clark University , 2009年8月8日閲覧
^アントン 1994、155ページ
^アントン 1994、156ページ
^ Weisstein, Eric W. (2009)、「Plane」、MathWorld--A Wolfram Web Resource 、 2009年8月8日閲覧。
^ドーキンス、ポール、「平面方程式」、微積分学III
^証明はホッブスの命題304に従う
^ホッブス、提案308
^ホッブス、提案310
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^スティーブン・マーク・ローランド、アーネスト・M・デューベンドルファー、イルザ・M・シーフェルバイン (2007). 「線と面の姿勢」 . 『構造解析と統合：構造地質学実験コース』（第3版）. Wiley-Blackwell. 1ページ以降. ISBN 978-1-4051-1652-7。

参考文献

アントン・ハワード（1994年）、初等線形代数（第7版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-58742-7
イヴス、ハワード（1963年）『幾何学概論』第1巻、ボストン：アリン・アンド・ベーコン社。
ホッブズ、チャールズ・オースティン (1921). 『立体幾何学』ケンブリッジ、GHケント. pp. 396-400 . LCCN 21016427 .

外部リンク

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ワイスタイン、エリック W. 「平面」。MathWorld 。
「算術と平面幾何学の難しさの緩和」は、平面幾何学と算術に関するチュートリアルとして機能する、15 世紀のアラビア語の写本です。

[1] より正確には、有向平面線の同値類に類似した代数的実体。

[2] Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (第11版). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.

[3] イブス 1963、19ページ

[4] Joyce, DE (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7 , Clark University , 2009年8月8日閲覧

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[PaulsPlanes-8] ドーキンス、ポール、「平面方程式」、微積分学III

[9] 証明はホッブスの命題304に従う

[10] ホッブス、提案308

[11] ホッブス、提案310

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[Granville-13] ウィリアム・アンソニー・グランヴィル (1904). 「§178 面への法線」. 『微分積分学の原点』. ギン・アンド・カンパニー. 275ページ .

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