極零点プロット

Diagram showing the singularities of a given control system's transfer function

数学、信号処理、制御理論において、極零点図は複素平面における有理 伝達関数のグラフィカル表現であり、システムの特定の特性を伝えるのに役立ちます。たとえば、

• 安定性
• 因果システム/反因果システム
• 収束領域（ROC）
• 最小位相/非最小位相

双一次変換がZ平面をS平面に写像する方法。線形制御システムの極の不安定領域は網掛けで示されている。

極零点プロットは、制御器、補償器、センサー、イコライザ、フィルタ、通信チャネルなどの動的システムの伝達関数の極と零点の複素平面における位置を示します。慣例的に、システムの極はプロット上でXで示され、零点は円またはOで示されます。

極零点プロットは、連続時間システムまたは離散時間システムのいずれかを表すことができる 複素周波数領域の平面にプロットされます。

• 連続時間システムはラプラス変換を使用し、 s平面にプロットされます。 ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • 実周波数成分は垂直軸（仮想線）に沿っています。 ${\displaystyle s{=}j\omega }$ ${\displaystyle \sigma {=}0}$
• 離散時間システムはZ変換を使用し、 Z平面にプロットされます。 ${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • 実周波数成分は単位円に沿っている

連続時間システム

一般に、連続時間LTI システムの有理伝達関数は次の形式を持ちます。

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle B}$およびは の多項式であり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle M}$は分子多項式の次数であり、
• ${\displaystyle b_{m}}$は分子多項式の 番目の係数^であり、 ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$は分母多項式の次数であり、
• ${\displaystyle a_{n}}$は分母多項式の 番目の係数^です。 ${\displaystyle n}$

いずれか一方または両方がゼロになることもありますが、実際のシステムでは、そのようになる必要があります。そうでない場合、高周波数でのゲインは無制限になります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$

極と零点

• 系の零点は分子多項式の根である。 $${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$ $${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• 系の極は分母多項式の根である。 $${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$ $${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

収束領域

与えられた連続時間伝達関数の収束領域（ROC）は、半平面または垂直帯であり、いずれにも極は存在しません。一般に、ROCは一意ではなく、特定のケースにおける特定のROCは、システムが因果的か反因果的かによって異なります。

• ROC に虚軸が含まれている場合、システムは制限入力制限出力 (BIBO) 安定です。
• ROC が実部が最大の極から右方向に伸びている場合（ただし無限大ではない）、そのシステムは因果的です。
• ROC が実部が最小の極から左に伸びている場合（ただし負の無限大ではない）、システムは反因果的です。

ほとんどの実用的なシステムではBIBO 安定性が重要であるため、ROC は通常、虚軸を含めるように選択されます。

例

$${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}$$

このシステムには（有限の）零点がなく、2つの極がある。 $${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}$$ $${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}$$

極零点プロットは次のようになります。

これら 2 つの極は複素共役であることに注意してください。これは、システムを表す微分方程式に実数値の係数を持つための必要かつ十分な条件です。

離散時間システム

一般に、離散時間LTI システムの有理伝達関数は次の形式を持ちます。

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle M}$は分子多項式の次数であり、
• ${\displaystyle b_{m}}$は分子多項式の 番目の係数^であり、 ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$は分母多項式の次数であり、
• ${\displaystyle a_{n}}$は分母多項式の 番目の係数^です。 ${\displaystyle n}$

いずれか一方または両方がゼロになる場合があります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

極と零点

• ${\displaystyle z=\beta _{m}}$システムの零点は ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}$
• ${\displaystyle z=\alpha _{n}}$はシステムの極です。 ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0}$

収束領域

与えられた離散時間伝達関数の収束領域（ ROC）は、打ち消されていない極を含まない円板または環状領域である。一般に、ROCは一意ではなく、特定のケースにおける特定のROCは、システムが因果的か反因果的かによって異なる。

• ROC に単位円が含まれる場合、システムは制限入力制限出力 (BIBO) 安定です。
• ROCが最大（ただし無限ではない）の極から外側に伸びている場合、システムは右側のインパルス応答を持ちます。ROCが最大の大きさの極から外側に伸びており、無限遠に極が存在しない場合、システムは因果的となります。
• ROC が最小の（ゼロでない）大きさの極から内側に伸びる場合、システムは反因果的です。

ほとんどの実用的なシステムではBIBO 安定性が重要であるため、ROC は通常、単位円を含むように選択されます。

例

とが完全に因数分解されている場合、その解はz平面に簡単にプロットできます。例えば、次の伝達関数を考えます。 ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle Q(z)}$ $${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$$

唯一の（有限の）零点は に位置し、2 つの極は に位置します。ここでは虚数単位です。 ${\displaystyle z=-2}$ ${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$ ${\displaystyle j}$

極零点プロットは次のようになります。

参照

• 根軌跡
• ラプラス変換
• Z変換
• 有理関数

参考文献

• Haag, Michael (2005年6月22日). 「Z平面上の極零点プロットの理解」. OpenStax CNX . 2018年6月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年6月9日閲覧。
• Eric W. Weisstein . 「Z変換」. MathWorld . 2010年1月24日閲覧。

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