多重対数

Special mathematical function

数学において、多重対数（ポリログ、アルフレッド・ジョンキエールにちなんでジョンキエール関数とも呼ばれる）は、位数s、偏角zの特殊関数 Li _s ( z )である。sが特殊な値である場合にのみ、多重対数は自然対数や有理関数などの基本関数に簡約される。量子統計において、多重対数関数はフェルミ・ディラック分布とボーズ・アインシュタイン分布の積分の閉じた形として現れ、フェルミ・ディラック積分またはボーズ・アインシュタイン積分とも呼ばれる。量子電気力学において、正の整数位数の多重対数は、高次ファインマン図で表される過程の計算で生じる。

多重対数関数はフルヴィッツのゼータ関数と等価であり、どちらの関数も他方の関数で表現でき、どちらの関数もレルヒ超越関数の特殊なケースである。多重対数関数は多重対数関数や、添え字なしで同じ表記法を持つオフセット対数積分 Li( z )と混同してはならない。

• 複素平面における異なる多重対数関数
• 
  Li  _–3 ( z )
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  Li  _–2 ( z )
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  Li  _–1 ( z )
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  リチウム₀ ( z )
• 
  Li ₁ ( z )
• 
  Li ₂ ( z )
• 
  Li ₃ ( z )

多重対数関数は、メルカトル級数を一般化するzのべき級数によって定義されます。メルカトル級数はsのディリクレ級数でもあります。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

この定義は、任意の複素数位数sと、 | z | < 1であるすべての複素引数zに対して有効です。解析接続のプロセスによって| z | ≥ 1に拡張できます(ここで、分母k ^{s は}exp( s ln k )と理解されます)。 特殊なケースs = 1には通常の自然対数Li ₁ ( z ) = −ln(1− z )が含まれ、特殊なケースs = 2とs = 3は、それぞれ二重対数(スペンス関数とも呼ばれる) と三重対数と呼ばれます。 この関数の名前は、それ自体の 繰り返し積分としても定義できるという事実に由来します。 つまり、二重対数は対数を含む関数の積分であり、以下同様に続きます。s が正でない整数位数の場合、多重対数は有理関数です。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$

プロパティ

次数が整数の場合、 （負の場合は）で表されます。複素対数の主枝が となるように定義しておくと便利な場合が多くあります。また、すべてのべき乗は単値であると仮定します。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=n}$ ${\displaystyle s=-n}$ ${\displaystyle \mu =\ln(z)}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$ ${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$ ${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

の位数に依存して、多重対数は多値となる場合がある。の主枝は、​​上記の級数定義によりに対して与えられ、正の実軸上を除いて連続であるとみなされる。正の実軸上では、 からへの切断が行われ、軸は の下半平面上に置かれる。の観点から見ると、これは となる。 に依存する多重対数の不連続性は、時に混乱を招くことがある。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$ ${\displaystyle \mu }$

実引数 に対して、実数位数の多重対数 がの場合に実数となり、に対するその虚数部は(Wood 1992, §3) となります。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z\geq 1}$

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

カットを横切って、ε が無限に小さい正の実数である場合、次のようになります。

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

どちらも、 Li _s ( e ^μ )のμ = 0についての級数展開 (下記参照) から結論付けることができます。

多重対数の導関数は定義するべき級数から次のように導かれます。

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$$

平方関係は級数の定義から見え、複製式と関連している（Clunie（1954）、Schrödinger（1952）も参照）。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$$

クンマー関数は、非常によく似た複製公式に従います。これは、任意の正の整数pに対する乗算公式の特別なケースです。

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

これは多重対数の級数定義と指数項の直交性を使って証明できます（例えば離散フーリエ変換を参照）。

もう一つの重要な特性である反転式は、フルヴィッツのゼータ関数またはベルヌーイ多項式に関係しており、以下の他の関数との関係で説明されています。

特定の価値観

特定のケースでは、多重対数は他の関数で表現されることがあります（下記参照）。したがって、多重対数の特定の値は、これらの他の関数の特定の値としても求められることがあります。

1. 多重対数階数の整数値の場合、Li ₁ ( z ) にz ·∂/∂ zを繰り返し適用することで、次の明示的な式が得られます。したがって、多重対数はzの多項式の比に簡約されるため、すべての非正の整数階数に対して、 zの有理関数になります。一般的な場合は、有限和として表現できます。ここで、S ( n、k ) は、第 2 種スターリング数です。負の整数階数に適用できる同等の式は、次のとおりです (Wood 1992、§ 6)。および 次の式は、オイラー数です。 Li _{− n} ( z ) のすべての根は、異なる実数です。z = 0を含み、残りは負で、対数スケールでz = −1 を中心とします。nが大きくなるにつれて、これらの有理式の数値評価では、ますます相殺の影響を受けます (Wood 1992、§ 6)。しかし、Li _{− n} ( z )をHurwitzゼータ関数との一般的な関係で計算すると完全な精度が得られます（下記参照）。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ ${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$
2. 引数zの半整数値に対する特別な表現としては、以下のものがある。ここでζはリーマンゼータ関数である。この種の公式は、高次の整数次数については知られていない（Lewin 1991, p. 2）が、例えば（Borwein, Borwein & Girgensohn 1995）次式がある。これは交代二重和を含む 。一般に、整数次数n ≥ 2に対しては次式が成り立つ（Broadhurst 1996, p. 9）:ここでζ ( s ₁ , …, s _k )は多重ゼータ関数であり、例えば以下のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$ $${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. 級数の定義から明らかなように、p番目の複素単位根における多重対数の値は、フーリエ和で与えられます。ここでζはフルビッツのゼータ関数です。 Re( s ) > 1 で Li _s (1) が有限である場合、この関係はm = 0 またはm = pの場合でも成り立ちます。この式は、以下の他の関数との関係でリストされているフルビッツのゼータ関数とのより一般的な関係から暗示される式ほど単純ではありませんが、 sの非負の整数値にも適用できるという利点があります。通常どおり、この関係を逆転させて、任意のm = 1, …, pについて ζ( s , ^m ⁄ _p ) をk = 1, …, p上の Li _s (exp(2 πi ^k ⁄ _p ))のフーリエ和として表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$

他の機能との関係

• z = 1の場合、多重対数はリーマンゼータ関数に簡約される。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• 多重対数はディリクレ・エータ関数およびディリクレ・ベータ関数と関連しています。ここで、η ( s )はディリクレ・エータ関数です。純虚数引数の場合は、次式が成り立ちます。ここで、β ( s )はディリクレ・ベータ関数です。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$
• 多重対数は、完全なフェルミ・ディラック積分と次のように関係します。 $${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• 多重対数は、完全なボーズ・アインシュタイン積分と次のように関係します。 $${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• 多重対数は不完全多重対数関数の特殊なケースである。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• 多重対数はレルヒ超越法の特殊なケースです(Erdélyi et al. 1981, § 1.11-14) $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• 多重対数は、フルヴィッツゼータ関数と次式で関連付けられます。ただし、この関係は、正の整数sではガンマ関数Γ(1 − s )の極によって無効になり、s = 0では両方のゼータ関数の極によって無効になります。この式の導出は、以下の級数表現で示します。フルヴィッツゼータ関数の関数方程式を少し利用すれば、多重対数は、(Jonquière 1889) によってもその関数に関連付けられます。この関係は、 Im( x ) ≥ 0 の場合は0 ≤ Re( x ) < 1の場合に成立し、Im( x ) < 0 の場合は0 < Re( x ) ≤ 1 の場合に成立します。同様に、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (0, 1]に対して、逆変換式は、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (1, ∞)に対して、となり、 z ∉ (0, ∞)に対して、ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z )となり、両方の式は一致します。これらの関係により、定義するべき級数の収束円 | z | = 1 を越えた多重対数の解析接続が提供されます。 (多重対数と対数の主な分岐が同時に使用されると仮定すると、Jonquière (1889、式 5) と Erdélyi 他 (1981、§ 1.11-16) の対応する式は正しくありません。) s が整数の場合の簡略化された式については、次の項目を参照してください。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$ $${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$
• 正の整数多重対数位数sに対して、フルヴィッツのゼータ関数 ζ(1− s , x ) はベルヌーイ多項式ζ (1− n , x ) = −B _n ( x ) / nに簡約され、 n = 1、2、3、…に対するジョンキエールの逆関数公式は次のようになります。ここで再び、Im( x ) ≥ 0 の場合は 0 ≤ Re( x ) < 1となり、Im( x ) < 0 の場合は 0 < Re( x ) ≤ 1 となります。多重対数論的議論を単位円Im( x ) = 0 に制限すると、この式の左辺は、nが偶数の場合は 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} ))に簡約され、nが奇数の場合は 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} ))に簡約されます。一方、負の整数次数の場合、Γ( s )の発散は、すべてのzに対して次の式が成り立つことを意味します（Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17）。より一般的には、n = 0, ±1, ±2, ±3, …に対して次の式が成り立ちます。ここで、両方の式はz ∉ (0, ∞)に対して一致します。（Jonquière（1889、式1）とErdélyi et al.（1981、§ 1.11-18）の対応する式も正しくありません。） $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$
• 純虚数μを持つ多重対数はクラウゼン関数 Ci _s (θ)とSi _s (θ)で表すことができ、その逆も同様である(Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8)。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• 逆正接積分 Ti _s ( z ) (Lewin 1958、Ch. VII § 1.2)は、多重対数で表現できます。特に、この関係は次式を意味します。これは関数名の由来を説明しています。 $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$
• ルジャンドルカイ関数 χ _s ( z ) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992) は、多重対数で表すことができます。 $${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• 整数位の多重対数は、一般化された超幾何関数として表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z\,\;_{n+1\!}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z\,\;_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• 不完全ゼータ関数または「デバイ関数」（Abramowitz & Stegun 1972, § 27.1）の観点から見ると、正の整数nに対する多重対数Li _n ( z )は有限和として表現できます（Wood 1992, §16）。驚くほどよく似た表現が「デバイ関数」Z _n ( z )を多重対数と関連付けています。 $${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$ $${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• ランバート級数を用いると、ジョルダンのトーティエント関数であれば、 ${\displaystyle J_{s}(n)}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

積分表現

以下の積分表現はいずれも、定義べき級数の収束円 | z | = 1 を超えて多重対数の解析接続を提供します。

1. 多重対数は、ボーズ・アインシュタイン分布の積分で表すことができます。これは、Re( s )>0と、zが実数で≥1以外のすべてのzで収束します。この文脈における多重対数は、ボーズ積分と呼ばれることもありますが、より一般的にはボーズ・アインシュタイン積分と呼ばれます(Dingle 1957a、Dingle、Arndt、Roy 1957)。^{[注 1]同様に、多重対数は、}フェルミ・ディラック分布の積分で表すことができます。これは、Re( s )>0と、 zが実数で≤−1以外のすべてのzで収束します。この文脈における多重対数は、フェルミ積分またはフェルミ・ディラック積分と呼ばれることもあります(GSL 2010、Dingle 1957b)。これらの表現は、 zに関する積分関数のテイラー展開と項ごとの積分によって容易に検証されます。ディングルの論文には、両方のタイプの積分の詳細な研究が含まれています。多重対数はマクスウェル・ボルツマン分布の積分とも関連しており、これも原点近傍における多重対数の漸近挙動を示します。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$ $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$ $${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$
2. 相補積分表現は、Re( s )<0と、 z実数と≥0を除くすべてのzに適用されます。 この積分は、多重対数とフルヴィッツゼータ関数（上記参照）の一般的な関係と、後者のよく知られた積分表現から得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$
3. 多重対数は、一般にハンケル積分（Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13）で表すことができます。これは、ボーズ・アインシュタイン表現を負の次数sまで拡張したものです。積分対象のt = μ 極が非負の実軸上になく、s ≠ 1, 2, 3, … である限り、次が成り立ちます。 ここで、 H はハンケル積分を表します。積分対象は、実軸に沿って 0 から無限大まで切断され、軸はtの下半平面に属します。積分は上半平面（Im( t ) > 0）上の +∞ から始まり、いずれの極も囲まずに原点を周回しt = μ + 2 kπi、下半平面（Im( t ) < 0）上の +∞ で終了します。μが実数かつ非負の場合、 t = μの極の寄与を単純に差し引くことができます。ここでRは極の剰余です。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$ $${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. アベル・プラナの公式を多重対数の定義級数に適用すると、すべての複素数zとすべての複素数sに対して有効なエルミート型積分表現が得られる。ここでΓは上側不完全ガンマ関数である。この式におけるln( z )のすべて（一部ではない）は、−ln(1⁄z ⁾_に置き換えることができる。同様にすべての複素数sに当てはまる関連表現では、不完全ガンマ関数の使用を回避できますが、この積分は、 Re( s ) ≤ 0 の場合、正の実軸上のzに対しては失敗します。この表現は、2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1) と書き、最初の Φ級数にアベル–プラーナの公式を適用し、2 番目の Φ 級数に 1 / ( e ^{2 πt} − 1) の代わりに 1 / ( e ^{2 πt} + 1) を含む補足式を適用することで得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$
5. 多重対数の積分は、通常の幾何級数を項ごとに積分することによって表すことができます（Borwein、Borwein & Girgensohn 1995、§2、式4）。 ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

シリーズ表現

1. 前述の積分表現で述べたように、多重対数のボーズ・アインシュタイン積分表現は、ハンケル積分によって負の次数sまで拡張できます。ここで、Hはハンケル積分、s ≠ 1, 2, 3, …、および積分関数のt = μ極は非負の実軸上にありません。輪郭は、 t − μ = 2 kπiで積分関数の極を囲むように修正でき、積分は留数の和として評価できます(Wood 1992、§ 12、13; Gradshteyn & Ryzhik 2015)。 これは、 Re( s ) < 0 と、e ^μ = 1の場合を除くすべてのμに当てはまります。0 < Im( μ ) ≤ 2 πの場合、和は次のように分割できます。ここで、2 つの級数は、Hurwitz ゼータ関数と同一視できます。この関係は、上記の他の関数との関係ですでに示されているように、すべての複素数s ≠ 0、1、2、3、… に当てはまり、(Jonquière 1889、式 6) で初めて導出されました。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$
2. 多重対数をμ = 0 の周りのベキ級数として表すために、ハンケルの輪郭積分から導かれる級数を次のように書きます。 和の二項ベキをμ = 0 の周りで展開し、和の順序を逆にすると、hについての和を閉じた形で表すことができます。この結果は | μ | < 2 πの場合に成立し、ゼータ関数によって提供される解析接続のおかげで、すべてのs ≠ 1, 2, 3, … について成立します。 順序が正の整数、s = nの場合、 k = n − 1の項とガンマ関数は両方とも無限大になりますが、それらの和は無限大になりません。次式が得られます (Wood 1992、§ 9; Gradshteyn & Ryzhik 2015): ここで、 hについての和は、k = 0の場合はゼロになります。したがって、正の整数順序および | μ | < 2 π のときは、次の級数が得られます。ここで、H _{n は}n番目の調和数を表します。問題の項には、現在 −ln(− μ ) が含まれています。これは、 μ ^{n −1}を乗じると、 n = 1を除いて、 μ → 0としてゼロに近づきます。これは、 Li _s ( z ) がs = 1 およびz = 1で真の対数特異点を示すという事実を反映しています。 s が正の整数に近いが等しくない 場合、 μ = 0についての展開の発散項によって計算が困難になることが予想されます (Wood 1992、§ 9)。エルデーリの対応するln( z )のべき乗展開（エルデーリ他 1981, § 1.11-15）は、多重対数と対数の主要な枝が同時に使用されると仮定すると正しくありません。なぜなら、ln( ¹ ⁄ _z )は-ln( z )と一様に等しくないからです。sが正でない整数値の場合、 μ = 0の周りの展開におけるゼータ関数ζ( s − k )はベルヌーイ数に簡約されます：ζ(− n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k )。Li _{− n} ( z $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ $${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$ $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$ $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$) をこの級数で表すと、上記の特定の値の下で与えられた有限有理式が大きなnに対して示す打ち消し効果の影響を受けません。
3. 恒等式を用いることで、多重対数のボーズ・アインシュタイン積分表現（上記参照）は、以下の形に書き表すことができる。双曲余接を二国間級数に置き換え、積分と和の順序を逆にし、最後に被加数を上側不完全ガンマ関数の積分表現と同一視すると、以下の式が得られる。 この結果の二国間級数と双曲余接の二国間級数の両方において、− k _maxからk _maxまでの対称部分和は、k _max → ∞のときに無条件に収束する。したがって、和が対称的に実行されるとすれば、この Li _s ( z )の級数は、すべての複素数sとすべての複素数zに対して成立する。 $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$ $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$
4. 第二種スターリング数の明示的表現を非正整数位数の多重対数に対する有限和（上記参照）に導入すると、次のように書くことができます。外側の和を単純に ∞ まで拡張して得られる無限級数（Guillera & Sondow 2008、定理 2.1）は、 すべての複素数sおよびRe( z ) < ¹ ⁄ _{2である複素数}zに対して 多重対数に収束することがわかり、これは | ^{− z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂に対して、和の順序を逆にして次を使用することで確認できます。 これらの級数の内部係数は、一般化調和数を含むスターリング数関連の式 で表すことができます。 たとえば、次の恒等式の証明（証明への参照）については、生成関数変換を参照してください。 Re( z ) < ¹ ⁄ _{2であるその他の引数については、}解析接続によって結果が導かれます。この手順は、多重対数を定義するzの級数にオイラー変換を適用することと同じです。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$

漸近展開

| z | ≫ 1 の場合、多重対数は ln(− z )に関して漸近級数に展開できます。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

ここで、B _{2 k}はベルヌーイ数である。両方のバージョンはすべてのsと任意の arg( z ) に対して成り立つ。通常どおり、項の大きさが増加し始めたら合計を終了する必要がある。負の整数sの場合、展開は完全に消える。非負の整数sの場合、展開は有限個の項の後で終了する。Wood (1992、§ 11) は、ボーズ・アインシュタイン積分表現からこれらの級数を得る方法を説明している（Li _s ( e ^μ ) の彼の方程式 11.2 は、−2 π < Im( μ ) ≤ 0 を必要とする）。

行動を制限する

多重対数のさまざまな表現から、次の限界が導き出されます (Wood 1992、§ 22)。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{|z|\to 0}z}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{|\mu |\to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }z}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

WoodのRe( μ ) → ∞の第一極限は、彼の式11.3に従って修正された。Re ( s ) → −∞の極限は、多重対数とHurwitzゼータ関数の一般的な関係から導かれる（上記参照）。

二重対数

二重対数は、位数s = 2の多重対数です。任意の複素引数zに対する二重対数の別の積分表現は次のとおりです (Abramowitz & Stegun 1972, § 27.7)。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

混乱の原因となるのは、一部のコンピュータ代数システムが二重対数を dilog( z ) = Li ₂ (1− z ) と定義していることです。

実数z ≥ 1の場合、二重対数の最初の積分式は次のように書ける。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

ここからln( t −1)を展開し、各項を積分すると、

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

二重対数のアーベル恒等式は（アーベル1881）で与えられる。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

これはx = 0 またはy = 0のいずれの場合にも成り立つことがすぐにわかり、一般的な議論では微分 ∂/∂ x ∂/∂ yによって容易に検証できます。y = 1− xの場合、この恒等式はオイラーの鏡映公式に帰着します。ここでLi 2 ( ₁ ) = ζ(2) = ¹ ⁄ ₆ π ²が用いられており、x は任意の複素数値を取ります。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$

新しい変数u = x /(1− y )、v = y /(1− x )に関して、アーベル恒等式は次の ようになり、これは(Rogers 1907) で与えられた五角形恒等式に対応する。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$

x = y = 1− zのアーベル恒等式と平方関係からランデン恒等式 が得られ、各二重対数に鏡映公式を適用すると反転公式が得られる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

また実数z ≥ 1の場合も $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

二重対数の特定の引数における既知の閉形式の評価を以下の表にまとめた。最初の列の引数は、x ↔ 1− xまたはx ↔ ¹ ⁄ _xの反転によってx = 0 またはx = −1と関連付けられている。3番目の列の引数はすべてこれらの演算によって相互に関連付けられている。

Maximon (2003) は17世紀から19世紀にかけての文献について論じている。反射公式は、1768年にオイラーが著した本に登場する以前の1760年にランデンによって既に発表されていた（Maximon 2003, § 10）。アーベルの恒等式に相当するものは、アーベルが1826年に原稿を書く以前の1809年にスペンスによって既に発表されていた（Zagier 1989, § 2）。双対数関数という名称は、 1828年にスウェーデン、ルンドの教授であったカール・ヨハン・ダニエルソン・ヒルによって導入された（Maximon 2003, § 10）。ドン・ザギエ (1989) は、双対数関数はユーモアのセンスを持つ唯一の数学関数であると述べた。

二重対数の特別な値

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle -\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}2}$	${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 1/\phi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}-\pi i\ln 2}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle {\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(-1/\phi )}$
		${\displaystyle \phi ^{2}}$	${\displaystyle -{\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )}$

ここで は黄金比を表します。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

多重対数ラダー

レナード・ルーウィンは、特殊な値に対する多重対数に関するいくつかの古典的な関係式の、驚くべき広範な一般化を発見しました。これらは現在、多重対数ラダーと呼ばれています。 を黄金比の逆数として定義します。すると、二重対数ラダーの2つの簡単な例が以下のようになります。 ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

コクセター （1935）によって与えられたものと

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

Landenによって与えられた。ポリログラダーは、K理論と代数幾何学において自然かつ深く用いられている。ポリログラダーは、 BBPアルゴリズム（Bailey、Borwein、Plouffe 1997）を用いて様々な数学定数を高速に計算するための基礎を提供している。

モノドロミー

多重対数には2つの分岐点がある。1つはz = 1、もう1つはz = 0である。z = 0にある2つ目の分岐点は多重対数のメインシートには表示されず、関数が他のシートに解析的に接続された場合にのみ表示される。多重対数のモノドロミー群は、2つの分岐点を囲むループのホモトピー類から構成される。これら2つをm ₀とm ₁で表すと、モノドロミー群は次のように表現される。

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$

二重対数の特殊なケースでは、 wm ₀ = m ₀ wとなり、モノドロミー群はハイゼンベルク群になります（m ₀、m ₁、wをx、y、zと同一視します）（Vepstas 2008）。

注記

1. ボーズ積分はガンマ関数とゼータ関数の積分です。ボーズ積分の方程式から始めて、級数方程式を使用することができます。次に、式をまとめます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{e^{x}}}}}dx\quad \wedge \quad {\frac {1}{1-r}}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}}}\right)^{n}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}e^{-x}dx}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-(n+1)x}dx\quad \wedge \quad u=(n+1)x,du=(n+1)dx\Rightarrow dx={\frac {du}{n+1}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{n+1}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{n+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s+1}}}u^{s}e^{-u}du}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s+1}}}\left(\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}du\right)=\left(\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}du\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s+1}}}\right)=}$$ $${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }u^{(s+1)-1}e^{-u}du\right)\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s+1}}}\right)=\Gamma (s+1)\zeta (s+1).}$$

参考文献

• ニューハンプシャー州アベル(1881) [1826]。 "注意事項 ψ x = x + x 2 2 2 + x 3 3 2 + ⋯ + x n n 2 + ⋯ {\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots } " (PDF)。 Sylow、L.リー、S. (編)。Niels Henrik Abel − Nouvelle édition、Tome II (フランス語) を完了します。クリスチャニア [オスロ]: グロンダール & サン。189～ 193ページ 。（この 1826 年の原稿は死後に出版されました。）
• アブラモウィッツ, M.; ステガン, IA (1972). 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-61272-0。
• Apostol, TM (2010)、「Polylogarithm」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Bailey, DH ; Borwein, PB ; Plouffe, S. (1997年4月). 「様々な多重対数定数の高速計算について」(PDF) .計算数学. 66 (218): 903– 913. Bibcode :1997MaCom..66..903B. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
• Bailey, DH; Broadhurst, DJ (1999年6月20日). 「17次ポリログラダー」. arXiv : math.CA/9906134 .
• ベルント, BC (1994).ラマヌジャン・ノート 第4部. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. pp.  323– 326. ISBN 978-0-387-94109-7。
• Boersma, J. ; Dempsey, JP (1992). 「ルジャンドルのカイ関数の評価について」 .計算数学. 59 (199): 157– 163. doi :10.2307/2152987. JSTOR  2152987.
• Borwein, D. ; Borwein, JM ; Girgensohn, R. (1995). 「オイラー和の明示的評価」(PDF) .エディンバラ数学協会紀要. シリーズ2. 38 (2): 277– 294. doi : 10.1017/S0013091500019088 .
• Borwein, JM; Bradley, DM; Broadhurst, DJ; Lisonek, P. (2001). 「多重対数における特殊値」.アメリカ数学会誌. 353 (3): 907–941 . arXiv : math/9910045 . doi :10.1090/S0002-9947-00-02616-7. S2CID  11373360.
• Broadhurst, DJ (1996年4月21日). 「既約k-倍オイラー和の列挙と結び目理論および場の理論におけるその役割について」arXiv : hep-th/9604128 .
• Clunie, J. (1954). 「ボーズ・アインシュタイン関数について」.物理学会誌. シリーズA. 67 (7): 632– 636.書誌コード:1954PPSA...67..632C. doi :10.1088/0370-1298/67/7/308.
• コーエン, H.; ルーウィン, L.; ザギエ, D. (1992). 「16次ポリログラダー」(PS) .実験数学. 1 (1): 25–34 .
• コクセター、HSM (1935)。 「シュレーフリとロバチェフスキーの機能」。数学の季刊誌。6 (1): 13–29。ビブコード:1935QJMat...6...13C。土井：10.1093/qmath/os-6.1.13。JFM  61.0395.02。
• Cvijovic, D.; Klinowski, J. (1997). 「リーマンゼータ関数と多重対数に対する連分数展開」(PDF) .アメリカ数学会報. 125 (9): 2543– 2550. doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Cvijovic、D. (2007)。 「多対数関数の新しい積分表現」。王立協会の議事録A. 463 (2080 ) : 897–905。arXiv : 0911.4452 。Bibcode :2007RSPSA.463..897C。土井：10.1098/rspa.2006.1794。S2CID  115156743。
• ディングル, RB (1955). 「パラメータを含む積分の評価」 .応用科学研究, セクションB. 4 ( 1): 401– 410. doi :10.1007/BF02920017. ISSN  0365-7140.
• ディングル、RB (1957a)。「ボーズ・アインシュタイン積分 B p ( η ) = ( p ! ) − 1 ∫ 0 ∞ ε p ( e ε − η − 1 ) − 1 d ε {\displaystyle {\mathcal {B}}_{p}(\eta )=(p!)^{-1}\int \limits _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{p}(e^{\varepsilon -\eta }-1})^{-1}d\varepsilon } " .応用科学研究、セクション B。6 (1): 240–244。土井:10.1007/BF02920380。ISSN  0365-7140。
• ディングル、RB; アーンドット、ドリーン; ロイ、SK (1957). "積分 A p ( x ) = ( p ! ) − 1 ∫ 0 ∞ ε p ( ε + x ) − 1 e − ε d ε {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{p}(x)=(p!)^{-1}\int \limits _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{p}(\varepsilon +x})^{-1}e^{-\varepsilon }d\varepsilon } および B p ( x ) = ( p ! ) − 1 ∫ 0 ∞ ε p ( ε + x ) − 2 e − ε d ε {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{p}(x)=(p!)^{-1}\int \limits _{0}^{\infty }{\バレプシロン^{p}(\varepsilon +x})^{-2}e^{-\varepsilon }d\varepsilon }とその表作成。応用科学研究、セクションB。6（1）：144–154。doi：10.1007 / BF02920371。ISSN 0365-7140  。
• ディングル、RB (1957b)。「フェルミ・ディラック積分 F p ( η ) = ( p ! ) − 1 ∫ 0 ∞ ε p ( e ε − η + 1 ) − 1 d ε {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}(\eta )=(p!)^{-1}\int \limits _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{p}(e^{\varepsilon -\eta }+1})^{-1}d\varepsilon } " .応用科学研究、セクション B。6 (1): 225–239 ​​。土井:10.1007/BF02920379。ISSN  0365-7140。
• エルデリィ、A. ;マグナス、W.オーバーヘッティンガー、F.フロリダ州トリコミ (1981)。高等超越関数、Vol. 1 (PDF)。フロリダ州マラバール：RE Krieger Publishing。ISBN 978-0-89874-206-0。(これは 1953 年の McGraw–Hill オリジナルの復刻版です。)
• Fornberg, B.; Kölbig, KS (1975). 「ジョンキエール関数あるいは多重対数関数の複素零点」.計算数学. 29 (130): 582– 599. doi :10.2307/2005579. JSTOR  2005579.
• GNU Scientific Library (2010). 「リファレンスマニュアル」 . 2010年6月13日閲覧。
• Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM (2015). 「9.55 関数 Φ ( z , s , v ) {\displaystyle \Phi (z,s,v)} : 級数表現 9.553, 9.554」.積分・級数・積表（第7版）. アムステルダム: Elsevier/Academic Press. p. 1075. ISBN 978-0-12-384933-5. MR  3307944。
• Guillera, J. ; Sondow, J. (2008). 「レルヒの超越関数の解析接続による古典定数の二重積分と無限積」.ラマヌジャンジャーナル. 16 (3): 247– 270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  119131640.
• Hain, RM (1992年3月25日). 「古典的ポリログ」. arXiv : alg-geom/9202022 .
• ヤーンケ, E.; エムデ, F. (1945).関数表と数式および曲線（第4版）. ニューヨーク: ドーバー出版.
• ジョンキエール、A. (1889)。 「ノート sur la série ∑ n = 1 ∞ x n n s {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}」(PDF)。Bulletin de la Société Mathématique de France (フランス語)。17 : 142–152。土井: 10.24033/bsmf.392。JFM  21.0246.02。
• Kölbig, KS; Mignaco, JA; Remiddi, E. (1970). 「ニールセンの一般化多重対数とその数値計算について」. BIT . 10 : 38–74 . doi :10.1007/BF01940890. S2CID  119672619.
• Kirillov, AN (1995). 「二重対数恒等式」.理論物理学の進歩補足. 118 : 61–142 . arXiv : hep-th/9408113 . Bibcode :1995PThPS.118...61K. doi :10.1143/PTPS.118.61. S2CID  119177149.
• ルーウィン、L. (1958). 『二重対数と関連関数』 ロンドン: マクドナルド. MR  0105524.
• ルーウィン、L. (1981). 『多重対数と関連関数』 ニューヨーク: ノースホランド. ISBN 978-0-444-00550-2。
• Lewin, L.編 (1991). 『多重対数の構造的性質』 . 数学概説とモノグラフ. 第37巻. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-1634-9。
• マークマン, B. (1965). 「リーマンゼータ関数」. BIT . 5 : 138–141 .
• Maximon, LC (2003). 「複素引数のための二重対数関数」Proceedings of the Royal Society A . 459 (2039): 2807– 2819. Bibcode :2003RSPSA.459.2807M. doi :10.1098/rspa.2003.1156. S2CID  122271244.
• マクドゥーガル, J.; ストーナー, EC (1938). 「フェルミ-ディラック関数の計算」. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 237 ( 773): 67– 104. Bibcode :1938RSPTA.237...67M. doi : 10.1098/rsta.1938.0004 . JFM  64.1500.04.
• ニールセン、N. (1909)。 「Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie」。ノヴァ・アクタ・レオポルディナ（ドイツ語）。ＸＣ（３）。ハレ – ライプツィヒ、ドイツ: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher  : 121–212。JFM 40.0478.01 。
• プルドニコフ, AP; マリチェフ, OI; ブリチコフ, Yu.A. (1990).積分と級数 第3巻：その他の特殊関数. ニューアーク, ニュージャージー州: ゴードン・アンド・ブリーチ. ISBN 978-2-88124-682-1。（§ 1.2「一般化ゼータ関数、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式、多重対数」、23 ページを参照。）
• Robinson, JE (1951). 「ボーズ・アインシュタイン積分関数に関するノート」. Physical Review . Series 2. 83 (3): 678– 679. Bibcode :1951PhRv...83..678R. doi :10.1103/PhysRev.83.678.
• Rogers, LJ (1907). 「級数 ∑ n = 1 ∞ x n n 2 {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}} に関連する関数の和定理について」.ロンドン数学会報 (2) . 4 (1): 169– 189. doi :10.1112/plms/s2-4.1.169. JFM  37.0428.03.
• シュレーディンガー, E. (1952).統計熱力学（第2版）. ケンブリッジ, イギリス: ケンブリッジ大学出版局.
• Truesdell, C. (1945). 「高分子の構造理論に現れる関数について」Annals of Mathematics . Second Series. 46 (1): 144– 157. doi :10.2307/1969153. JSTOR  1969153.
• Vepstas, L. (2008). 「振動級数の収束を加速する効率的なアルゴリズム。多重対数関数とフルヴィッツゼータ関数の計算に有用」.数値アルゴリズム. 47 (3): 211– 252. arXiv : math.CA/0702243 . Bibcode : 2008NuAlg..47..211V. doi :10.1007/s11075-007-9153-8. S2CID  15131811.
• ウィテカー, ET ;ワトソン, GN (1927). 『近代分析論講座』（第4版）. ケンブリッジ, イギリス: ケンブリッジ大学出版局.（この版は何度も再版されており、1996年のペーパーバックにはISBN 0-521-09189-6。
• ウィルティンガー、W. (1905)。 「ユーバー・アイネ・ビゾンデレ・ディリクレッチェ・ライヘ」。Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)。1905 ( 129 ): 214–219。doi : 10.1515/crll.1905.129.214。JFM  37.0434.01。S2CID  199545536。
• Wood, DC (1992年6月). 「多重対数計算．技術報告書 15-92*」(PS) . カンタベリー（英国）：ケント大学コンピューティング研究所. 2005年11月1日閲覧.
• ザギエ, D. (1989). 「幾何学と数論における二重対数関数」.数論と関連話題: ラマヌジャン・コロキウム（ボンベイ、1988年）発表論文. 『数学研究』第12巻. ボンベイ: タタ基礎研究所およびオックスフォード大学出版局. pp.  231– 249. ISBN 0-19-562367-3。(また、 Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988)、pp. 131-145に「The remarkable dilogarithm」として掲載され、(Zagier 2007) の第 1 章としても掲載されています。)
• Zagier, D. (2007). 「二重対数関数」(PDF) . Cartier, PE; et al. (編). 『数論、物理学、幾何学の最前線 II 共形場理論、離散群、くりこみについて』 ベルリン: Springer-Verlag. pp.  3– 65. ISBN 978-3-540-30307-7。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ポリログリズム」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「二対数」。マスワールド。
• Algorithms in Analytic Number Theory は、任意精度のGMPベース、GPLライセンスの実装を提供します。

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