位置（幾何学）

幾何学において、位置ベクトル（position vector）は、位置ベクトル、あるいは位置ベクトル、あるいは半径ベクトルとも呼ばれ、空間内の点Pを表すユークリッドベクトルである。その長さは任意の基準原点Oに対する距離を表し、その方向は与えられた基準軸に対する角度を表す。通常、x、r、あるいはsで表され、 OからPへの直線分に対応する。言い換えれば、位置ベクトルは原点をPに写像する変位または並進運動である。^[1]

\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.

位置ベクトルという用語は、主に微分幾何学、力学、そして時折ベクトル解析の分野で用いられます。これは2次元または3次元空間で用いられることが多いですが、ユークリッド空間や任意の次元のアフィン空間にも容易に一般化できます。^[2]

相対位置

点Pに対する点Qの相対位置は、2 つの絶対位置ベクトル (それぞれ原点を基準とする) の減算から得られるユークリッドベクトルです。

\Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},

ここで、 2点間の相対方向は、単位ベクトルとして正規化された相対位置です。 $\mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}$

定義と表現

三次元

3 次元では、任意の 3 次元座標のセットとそれに対応する基底ベクトルを使用して、空間内の点の位置を定義できます。手元のタスクにとって最も単純なものを使用できます。

一般的には、よく知られている直交座標系が使用されますが、球面極座標や円筒座標が使用されることもあります。

{\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\ファイ(t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}

ここで、tはパラメータであり、直交対称性または円対称性のため、異なる座標と対応する基底ベクトルは同じ位置ベクトルを表します。より一般的な曲線座標を代わりに使用することもでき、連続体力学や一般相対論などの文脈で使用されます（後者の場合、追加の時間座標が必要になります）。

n寸法

線形代数はn次元の位置ベクトルを抽象化することを可能にする。位置ベクトルは基底ベクトルの線形結合として表現できる。 ^[3]^[4]

\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}。

すべての位置ベクトルの集合は位置空間（位置ベクトルを要素とするベクトル空間）を形成します。位置を加算（ベクトル加算）し、長さをスケール変更（スカラー乗算）することで、空間内に別の位置ベクトルを得ることができるためです。「空間」の概念は直感的です。各x _i ( i = 1, 2, …, n ) は任意の値を持つことができ、値の集合は空間内の点を定義します。

位置空間の次元は n （ dim( R ) = n とも表記される）である。ベクトルrの基底ベクトルe iに対する座標は_x iである_。座標ベクトルは座標ベクトル、つまりn組の組( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) を形成する。

各座標x _{i は}、複数のパラメータ tでパラメータ化できます。1つのパラメータx _i ( t ) は曲線状の1次元パスを記述し、2つのパラメータx _i ( t ₁ , t ₂ ) は曲線状の2次元面を記述し、3つのパラメータx _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) は曲線状の3次元空間を記述します。

基底セットB = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } の線形スパンは位置空間Rに等しく、span( B ) = Rと表記されます。

アプリケーション

微分幾何学

位置ベクトル場は連続かつ微分可能な空間曲線を記述するために使用されます。この場合、独立パラメータは時間である必要はなく、例えば曲線の弧の長さにすることができます。

力学

あらゆる運動方程式において、位置ベクトルr ( t ) は通常最も求められる量です。なぜなら、この関数は粒子 (つまり質点) の運動、つまりある時刻tにおける特定の座標系に対する粒子の位置を定義するからです。

位置の観点から運動を定義するには、各座標を時間でパラメータ化します。時間の連続する各値は、座標によって指定された連続する空間位置のシーケンスに対応するため、多数の連続する位置の連続極限は、粒子が描く経路です。

1次元の場合、位置は1つの要素しか持たないため、実質的にはスカラー座標に縮退します。例えば、x方向のベクトル、あるいは放射状r方向のベクトルなどです。同等の表記法としては、

\mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).

デリバティブ

時間tの関数である位置ベクトルrについては、tに関する時間微分を計算することができます。これらの微分は、運動学、制御理論、工学、その他の科学研究において広く利用されています。

速度: $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},$; ここで、d r は無限小の変位（ベクトル）です。
加速度: ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}。$
ジャーク: $\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.$

位置の1次、2次、3次導関数のこれらの名称は、基本的な運動学で一般的に使用されています。^[5]拡張により、高次導関数も同様の方法で計算できます。これらの高次導関数を研究することで、元の変位関数の近似値を向上させることができます。このような高次項は、変位関数を無限列の和として正確に表現するために必要であり、工学および物理学におけるいくつかの解析手法を可能にします。

参照

注記

^ 変位という用語は主に力学で使用され、移動は幾何学で使用されます。
^ ケラー，FJ、ゲティス、WE他（1993）、28～29頁。
^ ライリー, KF; ホブソン, MP; ベンス, SJ (2010).物理学と工学のための数学的手法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86153-3。
^ リプシュッツ、S.;リプソン、M. (2009)。線形代数。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-154352-1。
^ スチュワート、ジェームズ(2001). 「§2.8. 関数としての微分」.微積分学（第2版）. ブルックス/コール. ISBN 0-534-37718-1。

参考文献

Keller, FJ, Gettys, WE他 (1993). 『物理学：古典と現代』第2版. McGraw Hill Publishing.

外部リンク

ウィキメディア・コモンズの位置（幾何学）に関連するメディア

[1] 変位という用語は主に力学で使用され、移動は幾何学で使用されます。

[phys_keller-2] ケラー，FJ、ゲティス、WE他（1993）、28～29頁。

[3] ライリー, KF; ホブソン, MP; ベンス, SJ (2010).物理学と工学のための数学的手法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86153-3。

[4] リプシュッツ、S.;リプソン、M. (2009)。線形代数。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-154352-1。

[stewart-5] スチュワート、ジェームズ(2001). 「§2.8. 関数としての微分」.微積分学（第2版）. ブルックス/コール. ISBN 0-534-37718-1。