正定値関数

Bimodal function

数学において、正定値関数は、文脈に応じて 2 種類の関数のいずれかになります。

定義1

を実数の集合、を複素数の集合とします。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

関数が半正定値関数 と呼ばれるのは、すべての実数x ₁ , …, x _nに対して、 n  ×  n行列 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

は半正定値行列である。^[要出典]

定義により、 のような半正定値行列はエルミート行列であるため、f (− x ) はf ( x ))の複素共役です。 ${\displaystyle A}$

特に、次のことが必要である（ただし十分ではない）。

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}$

（これらの不等式は、 n = 1、2の条件から生じます。）

関数は、不等式を逆にすると半負定値関数になります。弱い不等式を強い不等式 (<, > 0) に置き換えると、 関数は正定値関数になります。

例

が実内積空間である場合、 は任意の に対して正定値である。およびに対して、 ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

正定値関数の非負線形結合もまた正定値であるため、余弦関数は上記の関数の非負線形結合として正定値です。

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

任意のベクトル空間の正定値関数から正定値関数を簡単に作成することができます。線形関数を選択し、定義します。すると、 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

ここで、は線形であるため区別される。^[1] ${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$ ${\displaystyle \phi }$

ボクナーの定理

正定値はフーリエ変換の理論から自然に生じます。正定値であるためには、 fがg ( y ) ≥ 0を満たす実数直線上の関数gのフーリエ変換であれば十分であることが直接わかります。

逆の結果はボホナーの定理であり、実数直線上の任意の連続正定値関数は（正の）測度のフーリエ変換であることを述べています。^[2]

アプリケーション

統計学、特にベイズ統計学では、定理は通常、実関数に適用されます。通常、内の点で何らかのスカラー値のn回のスカラー測定が行われ、相互に近い点は高度に相関した測定値を持つことが求められます。実際には、結果として得られる共分散行列 ( n  ×  n行列) が常に正定値になるように注意する必要があります。1 つの戦略は、相関行列Aを定義し、これにスカラーを乗じて共分散行列を作成することです。これは正定値である必要があります。ボホナーの定理によれば、2 点間の相関がそれらの間の距離のみ (関数fを介して) に依存する場合、共分散行列Aが正定値であるためには関数f が正定値である必要があります。「クリギング」を参照してください。 ${\displaystyle R^{d}}$

この文脈では、フーリエ用語は通常使用されず、代わりにf ( x ) は対称確率密度関数 (PDF)の特性関数であると述べられます。

一般化

任意の局所コンパクトアーベル位相群上には正定値関数を定義できる。ボッホナーの定理はこの文脈にも拡張される。群上の正定値関数は、ヒルベルト空間上の群の表現論（すなわちユニタリ表現論）において自然に現れる。

定義2

あるいは、関数が原点の近傍D上で正定値であるとは、任意の非ゼロのに対して成り立つことを意味する。^{[3] [4]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in D}$

この定義は上記の定義 1 と矛盾することに注意してください。

物理学では、時々省略される要件（例えば、CorneyとOlsen ^[5]を参照）。 ${\displaystyle f(0)=0}$

参照

• 正定値性
• 正定値カーネル

参考文献

• Christian Berg、Christensen、Paul Ressel.半群の調和解析、GTM、Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions , Akademie Verlag, 1994
• ウェルズ、JH。 Williams、LR分析における埋め込みと拡張。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 84。Springer-Verlag、ニューヨーク-ハイデルベルク、1975。vii+108 pp。

注記

1. チェイニー、エリオット・ワード (2009). 近似理論講座. アメリカ数学会. pp.  77– 78. ISBN 978-0-8218-4798-5. 2022年2月3日閲覧。
2. ボクナー、サロモン(1959).フーリエ積分講義. プリンストン大学出版局.
3. Verhulst, Ferdinand (1996).非線形微分方程式と動的システム（第2版）. Springer. ISBN 3-540-60934-2。
4. ハーン、ヴォルフガング（1967年）「運動の安定性」シュプリンガー。
5. Corney, JF; Olsen, MK (2015年2月19日). 「非ガウス純粋状態と正のウィグナー関数」. Physical Review A. 91 ( 2) 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode :2015PhRvA..91b3824C. doi :10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN  1050-2947. S2CID  119293595.

外部リンク

• 「正定値関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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