定二次形式

2次同次多項式の種類

数学において、定値二次形式（せいじじいにんげんほうそく）とは、ある実ベクトル空間V上の二次形式のうち、 Vの任意の非零ベクトルに対して同じ符号（常に正または常に負）を持つ形式である。その符号によって、二次形式は正定値または負定値と呼ばれる。

半正定値（または半正定値）二次形式もほぼ同じように定義されますが、「常に正」と「常に負」がそれぞれ「決して負にならない」と「決して正にならない」に置き換えられます。言い換えれば、Vの非零ベクトルの一部に対して、零値を取る可能性があります。

不定二次形式は正と負の両方の値を取り、等方二次形式と呼ばれます。

より一般的には、これらの定義は順序体上の任意のベクトル空間に適用される。^[1]

関連する対称双線形形式

二次形式は、同一空間上の対称双線型形式と一対一に対応する。 ^{[2]対称双線型形式は、対応する二次形式に応じて、}定値形式、半定値形式などとも呼ばれる。二次形式Qとそれに対応する対称双線型形式Bは、以下の式で結びついている。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

後者の式は、 ${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

例

例として、とし、二次形式を考える。 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

ここで、c ₁とc ₂は定数です。c ₁ > 0かつc ₂ > 0 の場合、二次形式Qは正定値であるため、次の場合は常に正の数に評価されます。定数の 1 つが正で、もう 1 つが 0 の場合、Qは半正定値であり、常に 0 または正の数に評価されます。c ₁ > 0かつc ₂ < 0 の場合、またはその逆の場合、Q は不定であり、正の数に評価されることもあれば、負の数に評価されることもあります。c ₁ < 0かつc ₂ < 0 の場合、二次形式は負定値であり、次の場合は常に負の数に評価されます。また、定数の 1 つが負で、もう 1 つが 0 の場合、Q は半負定値であり、常に 0 または負の数に評価されます。 ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

一般に、2変数の2次形式ではx ₁ · x ₂の外積項も含まれます。

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

この二次形式は、 の場合には正定値であり、 の場合には負定値であり、の場合には不定値である。の符号が の符号と一致する場合には、正または負の半定値である。 ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}~.}$

この二変数二次形式は、原点を中心とする円錐曲線の文脈で現れる。上記の一般二次形式を0と等しくすると、二次形式が正定値または負定値の場合は楕円、不定値の場合は双曲線、放物線の場合は放物線となる。 ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

n次元空間におけるユークリッドノルムの2乗は、距離の尺度として最も一般的に用いられるもので、

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

2 次元では、これは 2 点間の距離が、軸と軸に沿った距離の 2 乗の合計の平方根であることを意味します。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

マトリックス形式

二次形式は行列を使って次のように表すことができます。

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

ここで、xはn × 1 の直交ベクトル で、少なくとも1つの要素が 0 ではない任意のベクトルです。Aはn × n対称行列です。上付き文字^Tは転置行列を表します。A が対角行列の場合、これは2乗変数を含む項のみを含む非行列形式と同等です。ただし、A に非ゼロの非対角要素がある場合、非行列形式には 2 つの異なる変数の積を含む項もいくつか含まれます。 ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

この二次形式の正定値性、負定値性、半定値性、または不定値は、Aの同じ特性と同等であり、これは、 Aのすべての固有値を考慮するか、そのすべての主小行列式の符号をチェックすることによって確認できます。

最適化

定常二次形式は最適化問題に容易に適用できる。行列の二次形式に線形項が加えられたとすると、

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

ここで、bはn ×1の定数ベクトルです。最大値または最小値を求めるための一階条件は、行列の微分を零ベクトルに設定することで求められます。

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

与える

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

Aが非特異であると仮定する。二次形式、すなわちAが正定値であれば、この時点で最小値に関する二階条件が満たされる。二次形式が負定値であれば、最大値に関する二階条件が満たされる。

このような最適化の重要な例は、データセット内での完全な適合からの偏差の二乗和を最小化する推定パラメータのベクトルを求める重回帰分析で発生します。

参照

• 等方性二次形式
• 正定値関数
• 正定値行列
• 二極化のアイデンティティ

注記

1. ミルナー＆ヒューズモラー 1973年、61ページ。
2. 特性が2 以外の体に対してのみ成り立ちますが、ここでは必ず特性が 0 である順序付き体のみを考えます。

参考文献

• 北岡好之 (1993).二次形式の算術. ケンブリッジ数学トラクト第106巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021。
• ラング、セルジュ（2004）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p.578、ISBN 978-0-387-95385-4。
• ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73. スプリンガー。ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016。

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