正の演算子

In mathematics, a linear operator acting on inner product space

数学（特に線型代数、作用素論、関数解析）および物理学において、内積空間に作用する線型作用素は 、任意の、、に対して が成り立つとき、半正定値（または非負）であると呼ばれる。ここで はの定義域である。半正定値作用素は と表記される。作用素は正定値であると言われ、任意の に対してが成り立つとき、と表記される。^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\geq 0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$

多くの著者は、正作用素を 自己随伴性（あるいは少なくとも対称性）を持つ非負作用素と定義しています。複素ヒルベルト空間においては、自己随伴性は非負性から自動的に導かれることを以下で示します。実ヒルベルト空間においては、非負性は自己随伴性を意味しません。 ${\displaystyle A}$

物理学（特に量子力学）では、このような演算子は密度行列形式を介して量子状態を表します。

コーシー・シュワルツの不等式

内積が最初の引数に対して反線型、2番目の引数に対して線型であるとし、が正かつ対称であるとする。後者は を意味する 。すると、 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

すべての複素数 に対して、 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

がどこでも定義されている場合、 ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$ ${\displaystyle Ax=0.}$

複素ヒルベルト空間では、演算子が非負であれば対称である。

偏光のアイデンティティについて ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

そして、正の演算子の場合、対称であることを示します。 ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$ ${\displaystyle A}$

複素数の場合とは対照的に、実ヒルベルト空間上の半正定値作用素は対称ではない場合があります。反例として、を鋭角回転作用素と定義すると、対称ではなくなります。 ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$ ${\displaystyle A}$

演算子が非負で、複素ヒルベルト空間全体で定義されている場合、それは自己随伴であり、境界のある

の対称性は、であり、が自己随伴であるためには、 であることが必要である。この場合、が自己随伴であるため、領域の等式が成立する。 が有界であることは、ヘリンガー・テプリッツの定理から導かれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle A=A^{*}|_{\operatorname {Dom} (A)}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}.}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

この特性は保持されない ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

自己随伴演算子の半順序

自己随伴作用素の自然な半順序は、正作用素の定義から生じる。以下が成り立つ場合、定義する。 ${\displaystyle B\geq A}$

1. ${\displaystyle A}$自己随伴である ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

単調収束定理と同様の結果が、ヒルベルト空間上の単調増加、有界、自己随伴作用素に対しても成り立つことがわかる。 ^[2]

物理学への応用：量子状態

量子系の定義には、複素可分ヒルベルト空間 と、に対する正のトレースクラス演算子の集合が含まれます。この集合は状態の集合です。すべての は状態演算子または密度演算子と呼ばれます。 に対して、のスパンへの射影演算子は純粋状態と呼ばれます。(各純粋状態は単位ベクトルと同一視できるため、一部の情報源では純粋状態を からの単位元と定義しています。純粋でない状態は混合状態と呼ばれます。 ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle \|\psi \|=1,}$ ${\displaystyle P_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$

参考文献

1. ローマン 2008、250ページ §10
2. Eidelman, Yuli, Vitali D. Milman, Antonis Tsolomitis. 2004. 関数解析入門. プロビデンス（RI）: アメリカ数学協会.

• コンウェイ、ジョン・B.（1990）、関数解析入門、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97245-5
• ローマン、スティーブン（2008年）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5

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