原像定理

滑らかな写像の作用下にある多様体内の点の逆像について

数学、特に微分位相幾何学の分野において、原像定理は、滑らかな写像の作用下にある多様体内の特定の点の原像に関する暗黙関数定理のバリエーションである。^{[1] [2]}

定理の記述

定義。多様体間の滑らかな写像をとする。点 が の正則値であるとは、写像がに対して射影的であることを意味する。ここで、および は、およびの点における接空間である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y}$ ${\displaystyle T_{x}X}$ ${\displaystyle T_{y}Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

定理。が滑らかな写像で、がの正則値であるとすると、はの部分多様体である。の余次元は の次元に等しい。また、におけるの接空間は に等しい。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle y\in {\text{im}}(f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker(df_{x}).}$

この定理には複雑なバージョンもある: ^[3]

定理。とを複素次元の2つの複素多様体とする。を正則写像とし、がすべての に対してとなるとする。すると は複素次元の の複素部分多様体である。 ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{m}}$ ${\displaystyle n>m.}$ ${\displaystyle g:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in {\text{im}}(g)}$ ${\displaystyle {\text{rank}}(dg_{x})=m}$ ${\displaystyle x\in g^{-1}(y).}$ ${\displaystyle g^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-m.}$

参照

• ファイバー（数学）  – 関数の定義域内のすべての点の集合で、すべてが単一の点に写像されるもの
• レベルセット – 関数の値が等しい定義域の部分集合

参考文献

1. Tu, Loring W. (2010)、「9.3 正規レベルセット定理」、多様体入門、Springer、pp.  105– 106、ISBN 9781441974006。
2. Banyaga, Augustin (2004)、「系5.9（原像定理）」、Lectures on Morse Homology、Texts in the Mathematical Sciences、第29巻、Springer、p. 130、ISBN 9781402026959。
3. Ferrari, Michele (2013)、「定理 2.5」、複素多様体 - Lambertus Van Geemen の講義に基づく講義ノート(PDF)。

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