関数の値の集合

ある人物とその人の好きな食べ物を対応付ける関数において、ガブリエラの像はリンゴです。リンゴの逆像は集合{ガブリエラ、マリアム}です。魚の逆像は空集合です。部分集合{リチャード、マリアム}の像は{米、リンゴ}です。{米、リンゴ}の逆像は{ガブリエラ、リチャード、マリアム}です。

その他の用法については、「画像 (曖昧さ回避)」を参照してください。

数学において、関数 に対して、入力値の像とは、を渡したとき に が生成する単一の出力値です。出力値の逆像とは、 を生成する入力値の集合です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

より一般的には、与えられた定義域の部分集合の各元を評価すると、「の下（または通し）の像」と呼ばれる集合が生成される。同様に、与えられた余定理の部分集合の逆像（または逆像）は、その写像のすべての元が の元に写像する集合である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

関数 の像は、それが生成する可能性のあるすべての出力値の集合、つまり の像です。の逆像は、余域 の逆像です。これは常に（ の領域）に等しいため、あまり使われません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

像と逆像は、関数だけでなく、一般的な二項関係に対しても定義できます。

意味

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${\displaystyle f}$は定義域から余定義域への関数です。元の像は要素です。元の逆像は集合{ }です。元の逆像は要素です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle f}$は定義域から余定義域への写像である。部分集合 のすべての元の像は部分集合 である。 の逆像は部分集合 である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle f}$は定義域から余定義域への関数である。内部の黄色の楕円は の像である。 の逆像は定義域全体である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

「像」という言葉は3つの関連する意味で用いられる。これらの定義では、像は集合から集合への関数である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

要素の画像

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がのメンバーである場合、下に示されているの像は、に適用されたときのの値であり、引数の の出力としても知られています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

関数 が値を取るとすれば、のドメインにが存在する場合、 を値として取ると言われます。 同様に、集合 が で値を取るとすれば、 のドメインに が存在する場合、を値として取ると言われます。 ただし、は のすべての値を取り、 は で値を持つということは、 のドメインのすべての点についてが成り立つことを意味します。 ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\in S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

サブセットの画像

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全体を通して、関数とする。 ${\displaystyle f:X\to Y}$の部分集合の は、の集合全体から成り、混乱の恐れがない場合は または で表される。集合構築記法を用いると、この定義は^{[ 1 ] [ 2 ]}と書くことができる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle f[A],}$ ${\displaystyle f(A)}$ $${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

これにより、 のすべての部分集合の集合である集合の冪集合を表す関数が誘導されます。詳細については、以下の§ 表記法を参照してください。 ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle S.}$

関数のイメージ

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関数の像はその定義域全体の像であり、関数の値域とも呼ばれる。[ 3 ^{]この最後}の用法は避けるべきである。なぜなら、「値域」という言葉は、関数の余域を意味するためにも一般的に使用されるからである。 ${\displaystyle f.}$

二項関係への一般化

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が上の任意の二項関係であるとき、その集合はの像または値域と呼ばれる。双対的に、その集合はの領域と呼ばれる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$ ${\displaystyle R.}$

逆像

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「原像」はここにリダイレクトされます。ハッシュ関数に対する暗号攻撃については、原像攻撃を参照してください。

からへの関数をとします。によって表される集合の逆像は、によって定義されるの部分集合です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

他の表記法には、およびが含まれる。 ^{[ 4 ]}単集合 の逆像は、またはで表され、ファイバー、または上のファイバー、またはの準位集合とも呼ばれる。の元上のすべてのファイバーの集合は、によってインデックス付けされた集合の族である。 ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle f^{-}(B).}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ ${\displaystyle f^{-1}(y),}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$

例えば、関数の逆像は となる。ここでも、混乱の恐れがなければ、は と表記することができ、の冪集合から の冪集合への関数と考えることもできる。この表記は、逆関数の表記と混同してはならないが、の逆像がの像であるという点で、全単射の通常の表記と一致する。 ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ ${\displaystyle \{4\}}$ ${\displaystyle \{-2,2\}.}$ ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ ${\displaystyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{-1}.}$

像と逆像の表記

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前節で用いた従来の記法では、元の関数と集合の像関数を区別していません。同様に、逆関数（存在すると仮定）と逆像関数（これも冪集合を関連付ける）を区別していません。適切な文脈であれば、これにより記法が簡潔になり、通常は混乱を招くことはありません。しかし、必要に応じて、冪集合間の関数として、像と逆像に明示的な名前を付けるという代替案もあります^{[ 5 ] 。} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

矢印表記

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• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$と ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$と ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

星表記

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• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$の代わりに ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$の代わりに ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

その他の用語

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• 数理論理学と集合論で使用されるの代替表記法は^{[ 6 ] [ 7 ]}である。 ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle f\,''A.}$
• いくつかの文献では の像を の範囲と呼んでいるが^{[ 8 ]}、この用法は避けるべきである。なぜなら「範囲」という言葉はの共域の意味にも一般的に使われているからである。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f.}$

例

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1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$定義 ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   集合の像は関数の像はの逆像は の逆像もの逆像もの逆像は空集合である ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{a,c\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{b,d\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義 ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   の像はであり、の像は （すべての正の実数とゼロの集合）です。の逆像はです。の逆像は空集合です。なぜなら、実数の集合では負の数は平方根を持たないからです。 ${\displaystyle \{-2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \{4,9\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$ ${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$定義 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   ファイバーは 、それぞれ、 、空集合の周りの同心円です。 （それぞれ ）の場合、ファイバーは、方程式を満たすすべての集合、つまり半径 の原点中心円です。 ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$ ${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. が多様体で、が接束からへの標準射影である場合、 のファイバーは接空間です。これもファイバー束の例です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. 商群は準同型像です。

プロパティ

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参照:集合の恒等式と関係の一覧 § 関数と集合

いくつかの法則では等式が一般に成立する必要がないことを示すことによって定義された実数 に基づく反例: ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
等しくない集合を示す画像:集合と は- 軸のすぐ下に青色で表示され、それらの交差は緑色で表示されます。 ${\displaystyle f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).}$ ${\displaystyle A=[-4,2]}$ ${\displaystyle B=[-2,4]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{3}=[-2,2]}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.}$
${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.}$

一般的な

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すべての関数とすべてのサブセットに対して、次のプロパティが保持されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

画像	原像
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$ （例えば が射影的であれば等しい）[​​ 9 ] [ 10 ] ${\displaystyle B\subseteq f(X);}$ ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ （が単射であれば等しい）[​​ 9 ] [ 10 ] ${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[ 9 ]
${\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$[ 11 ]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[ 11 ]
${\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$[ 11 ]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[ 11 ]

また：

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

複数の機能

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関数およびサブセットを持つ場合、次の特性が成り立ちます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

ドメインまたはコドメインの複数のサブセット

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関数とサブセットについては、次のプロパティが保持されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

画像	原像
${\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$[ 11 ] [ 12 ]	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$[ 11 ] [ 12 ] （が単射である場合は等しい[ 13 ]） ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$[ 11 ] （が単射である場合は等しい[ 13 ]） ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$[ 11 ]
${\displaystyle f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)}$ （単射の場合は等しい） ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}$

像と逆像を交差と和の（ブール）代数に関連付ける結果は、部分集合のペアだけでなく、任意の部分集合の集合に対しても適用できます。

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(ここで、は無限、さらには非可算無限になることもあります。) ${\displaystyle S}$

上で説明した部分集合の代数に関して、逆像関数は格子準同型であるのに対し、像関数は半格子準同型にすぎません（つまり、交差が常に保存されるわけではありません）。

参照

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• 全単射、単射、全単射 – 数学関数の性質
• ファイバー（数学）  – 関数の定義域内のすべての点の集合で、すべてが特定の1点に写像されるもの
• イメージ（カテゴリー理論）
• 関数の核 – 関数のもとで2つの要素が同じ像を持つことを表す同値関係Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 集合の反転 – 指定された関数によって特定の範囲にマッピングされる集合を見つける数学の問題

注記

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1. 「5.4: 関数の上への移動と集合の像・逆像」 Mathematics LibreTexts 2019年11月5日. 2020年8月28日閲覧。
2. ポール・R・ハルモス (1968).素朴集合論. プリンストン: ノストランド.ここ: セクション8
3. Weisstein, Eric W. 「Image」 . mathworld.wolfram.com . 2020年8月28日閲覧。
4. Dolecki & Mynard 2016、4～5頁。
5. ブライス 2005、5ページ。
6. Jean E. Rubin (1967). 『数学者のための集合論』Holden-Day. p. xix. ASIN B0006BQ​​H7S . 
7. M. Randall Holmes: NFUの通常モデルにおける要素の不均一性、2005年12月29日、Semantic Sc​​holar、p. 2
8. ホフマン, ケネス (1971).線形代数（第2版）. プレンティス・ホール. p. 388.
9. Halmos 1960、p. 4を参照。 31
10. Munkres 2000、19ページを参照
11. Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed. の388ページを参照。
12. ケリー 1985、p.  85
13. Munkres 2000、p. 21を参照

参考文献

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• アーティン、マイケル(1991)。代数。プレンティス・ホール。ISBN 81-203-0871-9。
• ブライス、TS（2005年）『格子と順序付き代数構造』シュプリンガー、ISBN 1-85233-905-5。。
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• ハルモス、ポール・R. (1960).素朴集合論. 大学数学シリーズ. ヴァン・ノストランド社. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403 . {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ケリー、ジョン・L. (1985).一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 (第2版). ビルクハウザー. ISBN 978-0-387-90125-1。
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 . （印刷障害のある利用者もアクセス可能）

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