グループ（数学）

ルービック キューブの操作は、ルービック キューブ グループを形成します。

数学において、群とは、集合内の任意の2つの要素を結合して同じ集合内に3つ目の要素を生成する演算を持つ集合であり、以下の条件が満たされていなければならない：演算は結合的であり、単位元を持ち、集合のすべての要素は逆元を持つ。例えば、加法演算を持つ整数は群を形成する。

群の概念は、数、幾何学的図形、多項式の根といった多くの数学的構造を統一的に扱うために考案されました。群の概念は数学の内外を問わず多くの分野で普遍的に用いられているため、現代数学の中心的な構成原理であると考える研究者もいます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

幾何学においては、対称性と幾何学的変換の研究において群が自然に生じます。ある物体の対称性は、その物体の対称群と呼ばれる群を形成し、特定の種類の変換は一般群を形成します。 リー群は幾何学における対称群、そして素粒子物理学の標準模型にも現れます。ポアンカレ群は、特殊相対論における時空の対称性からなるリー群です。点群は分子化学において対称性を記述します。

群の概念は、多項式方程式の研究で生まれました。1830年代、エヴァリスト・ガロアは、現在ガロア群と呼ばれる方程式の根の対称群を表すために、群（フランス語：groupe ）という用語を導入しました。数論や幾何学などの他の分野からの貢献の後、群の概念は一般化され、1870年頃にしっかりと確立されました。現代の群論（活発な数学の分野）では、群自体を研究します。群を探求するために、数学者は、部分群、商群、単純群など、群をより小さく理解しやすい部分に分割するさまざまな概念を考案しました。群の抽象的な特性に加えて、群理論家は、表現論（つまり、群の表現を通じて）と計算群論の両方の観点から、群を具体的に表現するさまざまな方法についても研究します。有限群の理論が開発され、 2004 年に有限単純群の分類が完成しました。1980 年代半ば以降、有限生成群を幾何学的対象として研究する幾何学的群論が、群論の活発な分野となっています。

定義と説明

最初の例: 整数

最もよく知られている群の一つは、整数 と加法の集合である。^{[ 3 ]}任意の2つの整数と⁠ ⁠ の和も整数である。この閉包性は、 ⁠ ⁠上の二項演算であることを意味する。整数加法の以下の性質は、以下の定義における群公理のモデルとして役立つ。 ^{[ 4 ]} $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• すべての整数⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$、⁠ ⁠に対して ⁠ ⁠が成り立ちます。言葉で表現すると、まず ⁠ ⁠ を加算し、その結果を ⁠ ⁠に加算すると、 ⁠ ⁠と ⁠ ⁠の和に加算した場合と同じ結果になります。この性質は結合性として知られています。^{[ 4 ]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$
• が任意の整数である場合、そして⁠ ⁠。ゼロは、任意の整数に加えても同じ整数を返すため、加法の単位元と呼ばれます。 ^{[ 4 ]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$
• 任意の整数⁠ ⁠に対して、かつ ${\displaystyle a}$⁠ ⁠となる整数が存在する。この整数は整数の逆元と呼ばれ、 ⁠ ⁠ と表記される 。^{[ 4 ]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle b+a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

整数は、演算⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$とともに、類似した構造的側面を共有する広範なクラスに属する数学的対象を形成します。これらの構造を集合体として適切に理解するために、以下の定義が展開されます。

意味

群とは、の任意の2つの要素と を結合しての要素を形成する、の二項演算（ここでは「 」と表記）を伴う集合であり 、群公理と呼ばれる以下の3つの要件が満たされる：^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

結合性

⁠ ⁠内のすべての⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$、⁠ ⁠について、 ${\displaystyle c}$⁠ ⁠が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

アイデンティティ要素

⁠ ⁠内の任意の ⁠ ⁠ に対して⁠ ⁠と⁠ ⁠が存在するような元が存在する。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a\cdot e=a}$

そのような元は唯一無二です。それはその群の単位元（あるいは中立元）と呼ばれます。 ${\displaystyle e}$

逆要素

⁠ ⁠内の各要素について、かつ⁠ ⁠となるような要素が存在し、は単位元です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

各⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$に対して、要素は一意です。これは⁠ ⁠ の逆元と呼ばれ、一般的に⁠ ⁠と表記されます。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

注:恒等元の一意性と逆元の一意性は公理の一部ではなく、3 つの公理の 結果です。

表記法と用語

正式には、群とは、集合と、その集合上の二項演算であって群公理を満たすものの順序付きペアである。集合は群の基礎集合と呼ばれ、演算は群演算または群則と呼ばれる。

このように、群とその基礎集合は2つの異なる数学的対象である。煩雑な表記を避けるため、同じ記号を両方に用いるという表記法の乱用が一般的である。これは、演算によってもたらされる追加の構造によって豊かになっている点を除けば、群と集合は同じであるという、非公式な考え方も反映している。

例えば、実数の集合⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$を考えてみましょう。これは、加算と乗算の演算⁠ ⁠を持ちます。正式には、は集合、は群、は体です。しかし、これら3つの対象のいずれかを表すために と書くことが一般的です。 ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

体の加法群とは、その基礎集合が非零実数全体の集合であり、その演算が加法である群のことである。体の乗法群とは、その基礎集合が非零実数全体の集合であり、その演算が乗法である群のことである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

より一般的には、群演算が加算と表記される場合はいつでも加法群と呼ばれます。この場合、恒等元は通常⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$と表記され、元の逆元は⁠ ⁠と表記されます。同様に、群演算が乗法と表記される場合はいつでも乗法群と呼ばれます。この場合、恒等元は通常⁠ ⁠と表記され、元の逆元は⁠ ⁠ と表記されます。乗法群では、演算記号は通常完全に省略されるため、演算は⁠ ⁠ではなく、並置で表記されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

群の定義では、⁠ ⁠のすべての元と⁠ ⁠が成立することを必要としません。この追加条件が成立する場合、演算は可換であるとされ、その群はアーベル群と呼ばれます。アーベル群では加法表記と乗法表記のどちらでも使用できますが、非アーベル群では乗法表記のみが使用されるのが一般的です。 ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

数ではない元を持つ群には、他にもいくつかの表記法が一般的に用いられます。関数を元とする群の場合、演算はしばしば関数合成⁠ ⁠ ${\displaystyle f\circ g}$となり、その場合、恒等式は id と表記されます。より具体的な例として、幾何変換群、対称群、置換群、自己同型群などでは、乗法群の場合と同様に、記号は省略されることがよくあります。他にも多くの表記法のバリエーションがあります。 ${\displaystyle \circ }$

2番目の例:対称群

正方形の対称群の要素。頂点は ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$色または番号で識別されます。

${\displaystyle \mathrm {id} }$（そのままに）

${\displaystyle r_{1}}$（時計回りに90°回転）

${\displaystyle r_{2}}$（180°回転）

${\displaystyle r_{3}}$（時計回りに270°回転）

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$（垂直反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$（水平反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$（斜め反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$（反対角反射）

平面上の2つの図形は、回転、鏡映、並進の組み合わせによって一方が他方に変換できる場合、合同である。任意の図形は自身と合同である。しかし、図形によっては複数の点で自身と合同となるものもあり、このような追加の合同は対称性と呼ばれる。正方形には8つの対称性がある。それらは以下の通りである。 ^{[ 8 ]}

• すべてを変えない恒等演算。 と表記されます。 ${\displaystyle \operatorname {id} }$
• 正方形をその中心の周りで時計回りに 90°、180°、270° 回転させたもので、それぞれ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{1}}$、⁠ ⁠で表されます。 ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$
• 水平および垂直の中央線（⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$）の周りの反射、または 2 つの対角線（⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$）を介した反射。

これらの対称性は関数です。それぞれの対称性は、正方形内の点を対称性の下の対応する点に送ります。例えば、ある点は正方形の中心を時計回りに90°回転させ、ある点は正方形の垂直な中線を挟んで鏡映します。これらの対称性を2つ合成すると、別の対称性が得られます。これらの対称性は、⁠ ⁠と表記される、次数4の二面体群と呼ばれる群を決定します。この群の基礎となる集合は上記の対称性の集合であり、群の演算は関数合成です。2つの対称性は、関数として合成することによって結合されます。つまり、最初の対称性を正方形に適用し、2番目の対称性を最初の適用結果に適用します。最初に適用し、次に適用した結果は、右から左へ記号的に（「対称性を適用した後に対称性を適用する」 ）と表記されます。これは関数合成の通常の表記法です。^{[ 9 ]} ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\circ a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

ケーリー表は、このようなあらゆる合成の結果を示します。例えば、時計回りに270°回転（⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{3}}$）してから水平に反転（⁠ ⁠ ）することは、対角線に沿って反転（ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ）することと同じです。ケーリー表で青色で強調表示されている上記の記号を用いると、以下のようになります。 $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

ケイリー表 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{1}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{2}}$、および⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{3}}$は、ケーリー表が強調表示されているサブグループを形成します。 赤（左上の領域）。この部分群の左剰余類と右剰余類は、 緑（最後の列）と それぞれ黄色 ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}}$（最後の列）で示されます。合成の結果、対称性は、 ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ 青（テーブル中央下）。

この対称性のセットと記述された操作を考えると、グループの公理は次のように理解できます。

• 二項演算：合成は二項演算です。つまり、任意の2つの対称性と⁠ ⁠に対して、 は対称性を持ちます。例えば、水平に反転した後に時計回りに270°回転することは、反対角線（⁠ ⁠）に沿って反転することと同じです。実際、ケーリー表を用いて確認できるように、2つの対称性の他のすべての組み合わせでも対称性が得られます。 ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
• 結合性: 結合性公理は、3 つ以上の対称性の合成を扱います。⁠ ⁠ の ⁠ ${\displaystyle a}$⁠、⁠ ⁠ 、⁠ ${\displaystyle b}$ ⁠から始め ${\displaystyle c}$て、これらの 3 つの対称性をこの順序で使用することで正方形の対称性を決定する 2 つの方法が考えられます。 1 つは、最初に ⁠ ⁠ と ⁠ ⁠ を 1 つの対称性に合成し、次にその対称性を ⁠ ⁠ と合成することです。もう 1 つは、最初に⁠ ⁠と⁠ ⁠を合成し、次に結果の対称性を⁠ ⁠と合成することです。 これら 2 つの方法は常に同じ結果、つまり、たとえば、はケイリー表を使用して確認できます。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$ ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• 恒等元: 恒等元は、左側または右側のどちらと合成しても対称性が変わらないため、⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle a}$
• 逆元：それぞれの対称性には逆元があります。⁠ ⁠ 、 ${\displaystyle \mathrm {id} }$鏡映、⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$、⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠ 、 ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$そして180°回転はそれぞれ逆元です。なぜなら、これらを2回実行すると正方形は元の向きに戻るからです。回転と回転は互いに逆元です。なぜなら、90°回転してから270°回転させる（またはその逆）と、正方形は変化せずに360°回転することになるからです。これは表で簡単に確認できます。 ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

上の整数群では演算の順序は重要ではありませんが、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$では、例えば⁠ ⁠のように順序が重要になりますが、 ⁠ ⁠ は順序が重要になります。つまり、はアーベル的ではありません。 ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

歴史

抽象群という現代の概念は、数学のいくつかの分野から発展した。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}群論の元々の動機は、4次以上の多項式方程式の解の探求であった。19世紀フランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、パオロ・ルフィニとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの研究を拡張して、特定の多項式方程式の解の根（解）の対称群によってその解の可能性の基準を与えた。このようなガロア群の元は、根の特定の順列に対応する。当初、ガロワのアイデアは同時代の人々に拒絶され、ガロワの死後にようやく公表された。^{[ 13 ] [ 14 ]}より一般的な順列群は、特にオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって研究された。アーサー・ケイリーの『群論について』 （1854年）は有限群の最初の抽象的な定義を与えた。^{[ 15 ]} ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$

幾何学は、群、特にフェリックス・クラインの1872年のエアランゲン計画における対称群が体系的に用いられた第二の分野であった。^{[ 16 ]}双曲幾何学や射影幾何学といった新しい幾何学が登場した後、クラインは群論を用いてそれらをより首尾一貫した方法で体系化した。これらの考えをさらに発展させ、ソフス・リーは1884年にリー群の研究を創始した。^{[ 17 ]}

群論に貢献した3番目の分野は数論であった。特定のアーベル群構造は、カール・フリードリヒ・ガウスの数論的著作『算術論』 （1798年）において暗黙的に用いられ、レオポルド・クロネッカーによってより明示的に用いられた。^{[ 18 ]} 1847年、エルンスト・クンマーは素数への因数分解を記述する群を展開することで、フェルマーの最終定理を証明しようと初期の試みを行った。^{[ 19 ]}

これらの様々な情報源が統一的な群論に収束したのは、ジョーダン（1870）のTraité des substitutions et des équations algébriquesから始まった。^{[ 20 ]}フォン・ディック（1882）は、生成子と関係によって群を特定するという考え方を導入し、当時の用語で「抽象群」の公理的な定義を初めて与えた人物でもある。^{[ 21 ]} 20世紀になると、群は、有限群の表現論に取り組み、英語で群論に関する最初の本であるTheory of Groups of Finite Orderを書いたフェルディナント・ゲオルク・フロベニウスとウィリアム・バーンサイドの先駆的な研究によって広く認知されるようになった。 ^{[ 22 ]}リチャード・ブラウアーのモジュラー表現論、イッサイ・シューアの論文などである。^{[ 23 ]}リー群、そしてより一般的には局所コンパクト群の理論は、ヘルマン・ワイル、エリー・カルタンをはじめとする多くの人々によって研究されました。^{[ 24 ]}その代数的対応物である代数群の理論は、最初にクロード・シュヴァレー（1930年代後半から）によって形作られ、その後アルマン・ボレルとジャック・ティッツの研究によって形作られました。^{[ 25 ]}

シカゴ大学が1960年から1961年にかけて開催した群論の年には、ダニエル・ゴレンスタイン、ジョン・G・トンプソン、ウォルター・フェイトなどの群論研究者が集まり、他の多くの数学者の意見も取り入れて有限単純群の分類につながる共同研究の基盤が築かれ、2004年にアッシュバッハーとスミスによって最終的な段階が踏まれました。このプロジェクトは、証明の長さと研究者の数の両方において、その規模の大きさで以前の数学的努力を上回るものでした。この分類の証明に関する研究は現在も進行中です。^{[ 26 ]}群論は依然として非常に活発な数学の一分野であり、^{[ b ]}以下の例が示すように、他の多くの分野に影響を与えています。

群公理の基本的帰結

群の公理から直接得られるすべての群に関する基本事実は、一般的に初等群論に包含される。^{[ 27 ]}例えば、結合公理を 繰り返し適用すると、の一意性が 3つ以上の因子にも一般化されることが示される（例えば、も一意である）。これは、そのような項列のどこにでも括弧を挿入できることを意味するため、括弧は通常省略される。 ^{[ 28 ]} $${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$ ${\displaystyle a\cdot b\cdot c\cdot d}$

同一要素の一意性

群の公理は、単位元が一意であることを意味します。つまり、単位元は1つしか存在しないということです。群の公理は⁠ ⁠を意味するため、群の任意の2つの単位元と は等しいです。したがって、群の単位元について話すのが慣例となっています。 ^{[ 29 ]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

逆関数の一意性

群の公理は、各元の逆元が一意に決まることも意味します。群の元がとの両方を逆元として持つとします。すると ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

したがって、要素の逆について話すのが慣例です。 ^{[ 29 ]}

分割

群⁠ ⁠の元とが与えられると、方程式⁠ ⁠には一意の解、つまり⁠ ⁠が存在します。^{[ c ] [ 30 ]}したがって、⁠ ⁠の各に対して、各を⁠ ⁠に写像する関数は一対一であり、これは⁠ ⁠ ⁠による左乗算または左並進と呼ばれます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\cdot x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

同様に、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠が与えられた場合、 ⁠ ⁠ の唯一の解は⁠ ⁠です。それぞれの⁠ ⁠に対して、それぞれを ⁠ ⁠ に写像する関数は、 ⁠ ⁠による右乗算または⁠ ⁠による右平行移動と呼ばれる一対一関数です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

緩和された公理による同等の定義

単位元と逆元に関する群の公理は、「弱め」られ、左単位元と左逆元の存在のみを主張するようになる。これらの片側公理から、同じ元について、左単位元は右単位元でもあり、左逆元は右逆元でもあることを証明できる。これらは群と全く同じ構造を定義するため、全体としてはこれらの公理は弱められない。^{[ 31 ]}

特に、結合法則と、各要素の左単位元（つまり、⁠ ⁠）と左逆元（つまり、⁠ ⁠）の存在を仮定すると、すべての左逆元は同じ要素の右逆元でもあることが次のように分かります。^{[ 31 ]} 確かに、 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

同様に、左のアイデンティティは右のアイデンティティでもある：^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

これらの結果は、これらの公理（結合性、左単位元の存在、左逆元の存在）のいずれかが除去された場合は成立しません。より緩い定義を持つ構造（半群など）の場合、例えば、左単位元は必ずしも右単位元ではないという可能性が考えられます。

右恒等変換と右逆変換の存在のみを仮定することによって、同じ結果を得ることができます。

しかし、左単位元と右逆元（またはその逆）の存在を仮定するだけでは、群を定義するのに十分ではありません。例えば、演算子が⁠ ⁠と⁠ ⁠を満たす集合を考えてみましょう。この構造には左単位元（つまり⁠ ⁠）があり、各要素には右逆元（両方の要素に対する右逆元）があります。さらに、この演算は結合的です（これらの演算を適用する順序に関わらず、任意の数の要素の積は常にその積の右端の要素に等しいため）。しかし、は右単位元がないため、群ではありません。 ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$

基本概念

集合を研究する際には、部分集合、関数、同値関係による商などの概念を用います。群を研究する際には、代わりに部分群、準同型、商群を用います。これらは群の構造を考慮した類似概念です。^{[ d ]}

群準同型

群準同型^{[ e ]}は群の構造を尊重する関数であり、2つの群を関連付けるために使用できます。群から群への準同型とは 、 ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle (H,*)}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$すべての要素および⁠ ⁠で。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

⁠ ⁠のすべての項に対して、恒等式、⁠ ⁠、逆元を尊重することも当然要求されるだろう。しかし、これらの追加要件は、群演算を尊重するという要件によって既に暗示されているため、準同型の定義に含める必要はない。^{[ 32 ]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

群の恒等準同型は、 の各要素をそれ自身に写す準同型です。準同型の逆準同型は、および⁠ ⁠となる準同型、つまり⁠ ⁠内のすべての に対してとなり、 ⁠ ⁠内のすべての に対してとなるような準同型です。同型とは、逆準同型を持つ準同型です。つまり、全単射準同型です。同型⁠ ⁠が存在する場合、群と は同型であると呼ばれます。この場合、 ⁠ ⁠ は、関数⁠ ⁠に従ってその要素の名前を変更するだけでから取得できます。この場合、 ⁠ ⁠ に対して真である任意のステートメントは、ステートメントで言及されている特定の要素も名前変更されている限り、 ⁠ ⁠に対して真です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle \psi :H\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$ ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

すべての群の集合とそれらの間の準同型性は、群の圏を形成する。^{[ 33 ]}

⁠ ⁠の何らかの部分群に対して、入射準同型は同型とその包含関係として正規化されます。入射準同型は、群のカテゴリにおける 単射です。 ${\displaystyle \phi :G'\to G}$ ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

サブグループ

非公式には、部分群とは、より大きな群⁠ ⁠に含まれる群、すなわち⁠ ⁠の元の部分集合を持ち、それらの演算は同じである。^{[ 34 ]}具体的には、これは ⁠ ⁠ の単位元が⁠ ⁠に必ず含まれ、と が両方⁠ ⁠に含まれるときはいつでも⁠ ⁠と⁠ ⁠も含まれることを意味する。したがって、 ⁠ ⁠の元は、 ⁠ ⁠ への群演算を⁠ ⁠に制限することで、実際に群を形成する。この場合、包含写像は準同型である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

正方形の対称性の例では、恒等回転と回転が部分群を構成し、これ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$は例のケーリー表で赤く強調表示されています。合成された任意の2つの回転は依然として回転であり、回転は、90°の場合は270°、180°の場合は180°、270°の場合は90°という相補回転によって元に戻すことができます（つまり、逆回転になります）。部分群テストは、群の空でない部分集合が部分群であるための必要かつ十分な条件を提供します。すべての元と⁠ ⁠で⁠ ⁠であることを確認すれば十分です。群の部分群を知ることは、群全体を理解する上で重要です。^{[ f ]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$

群⁠ ⁠の任意の部分集合に対して、によって生成される部分群は⁠ ⁠ の元とその逆元の積すべてから構成されます。これは⁠ ⁠を含む⁠ ⁠の最小の部分群です。^{[ 35 ]}正方形の対称性の例では、とによって生成される部分群は、これら2つの元、単位元⁠ ⁠、および元⁠ ⁠から構成されます。繰り返しますが、これは部分群です。なぜなら、これら4つの元またはその逆元（この特定のケースでは、これらの元と同じ元）の任意の2つを組み合わせると、この部分群の元が得られるからです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

剰余類

多くの場合、2つの群の元が特定の部分群の元によって異なる場合、それらの元を同じものと見なすことが望ましい。例えば、正方形の対称群では、一度鏡映を行うと、回転だけでは正方形を元の位置に戻すことができないため、正方形の鏡映位置はすべて互いに等しく、鏡映されていない位置とは等しくないと考えることができる。回転操作は、鏡映が行われたかどうかという問題とは無関係である。この洞察を形式化するために剰余類が使用される。部分群は左剰余類と右剰余類を決定し、これらは任意の群元⁠ ⁠ による ⁠ ⁠の並進運動と考えることができる。記号的に言えば、⁠ ⁠の左剰余類と右剰余類は、元⁠ ⁠を含み、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$および⁠ ⁠ ${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$である。^{[ 36 ]}

任意の部分群の左剰余類は⁠ ⁠の分割を形成する。つまり、すべての左剰余類の和は ⁠ ⁠に等しく、2つの左剰余類は等しいか、交差が空であるかのいずれかである。^{[ 37 ]}最初のケースは⁠ ⁠のとき、つまり2つの要素が⁠ ⁠の要素だけ異なるときに正確に発生する。 ⁠ ⁠の右剰余類にも同様の考察が当てはまる。 ⁠ ⁠の左剰余類はその右剰余類と同じ場合もそうでない場合もある。同じである場合（つまり、 ⁠ ⁠ のすべての剰余類が⁠ ⁠を満たす場合）、 は正規部分群であると言われる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gH=Hg}$ ${\displaystyle H}$

⁠ ⁠ （ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$正方形の対称群とその回転部分群）において、左剰余類は、が自身の元である場合は⁠ ⁠に等しく、そうでない場合は⁠ ⁠のケーリー表で緑色で強調表示されている⁠ ⁠ に等しくなります。部分群は⁠ ⁠であるため正規であり、群の他の元についても同様です。（実際、 ⁠ ⁠の場合、反射によって生成される剰余類はすべて⁠ ⁠に等しくなります。） ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle gR}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

商群

が群⁠ ⁠の正規部分群であり、 その剰余類の集合を表すと仮定する。すると、各元を ⁠ ⁠ に写す写像が準同型となるような唯一の群法則が ⁠ ⁠ 上に存在する。明示的に、2つの剰余類と⁠ ⁠の積は⁠ ⁠であり、剰余類は⁠ ⁠の恒等写像として機能し、商群における⁠ ⁠ の逆は⁠ ⁠である。群⁠ ⁠は「 ⁠ ⁠ ⁠を法として」と読み、^{[ 38 ]}商群または因子群と呼ばれる。商群は、普遍性によって特徴付けることもできる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G\to G/N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

商群のケーリー表 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle R}$

商群の元は⁠ ⁠と⁠ ⁠です。商に対する群演算は表に示されています。例えば、⁠ ⁠です。部分群と商はどちらもアーベル群ですが、 はアーベル群ではありません。部分群と商（およびいくつかの追加データ）から、半直積構成によって群を再構成できる場合があります。はその一例です。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$ ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

第一同型定理は、任意の射影準同型が商準同型とその後に続く同型として標準的に因数分解されることを意味します: ⁠ ⁠。射影準同型は、群のカテゴリにおける エピモフィズムです。 ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

プレゼンテーション

すべての群は、多くの点で自由群の商と同型です。

例えば、二面体群は右回転と垂直線での鏡映によって生成されます（ のすべての元は、これらとその逆元のコピーの有限積です）。したがって、 2つの生成元上の自由群からへ、またへ送る射影準同型⁠ ⁠が存在します。の元は関係⁠ ⁠と呼ばれます。例として⁠ ⁠があります。実際、 はこれら3つの元を含むの最小の正規部分群であることがわかります。言い換えれば、すべての関係はこれら3つの結果です。この正規部分群による自由群の商は⁠ ⁠と表されます。これは、 ⁠ ⁠の最初の同型定理から同型⁠ ⁠が得られるため、生成元と関係による⁠ ⁠の表示と呼ばれます。^{[ 39 ]} ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

群の表現は、離散群のグラフ表現であるケイリーグラフを作成するために使用できます。^{[ 40 ]}

例と応用

周期的な壁紙パターンにより、壁紙グループが生成されます。

群の例と応用は豊富にあります。出発点は、上で紹介した、群演算として加法を用いる整数群です。加法の代わりに乗法を考慮すると、乗法群が得られます。これらの群は、抽象代数における重要な構成の先駆けです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

群は他の多くの数学分野にも応用されています。数学的対象は、しばしば群を関連付け、対応する群の性質を研究することによって考察されます。例えば、アンリ・ポアンカレは基本群を導入することで、現在代数的位相幾何学と呼ばれるものを確立しました。^{[ 41 ]}この関係により、近接性や連続性といった位相的性質は群の性質へと変換されます。^{[ g ]}

平面から点を除いた基本群（太字）は、欠けている点の周りのループから構成されます。この群は加法に関して整数と同型です。

位相空間の基本群の元はループの同値類であり、ループは、一方のループが他方のループに滑らかに変形でき、群演算が「連結」（一方のループをたどってからもう一方のループをたどる）である場合に同値とみなされます。例えば、図に示すように、位相空間が1点を除いた平面である場合、欠落点（青）を囲まないループは、1点に滑らかに縮約でき、基本群の単位元となります。欠落点を回囲むループは、（⁠ ⁠ ）を回囲むループに変形することはできません。これは、ループが穴を横切って滑らかに変形できないためです。したがって、各ループの類は、欠落点の周りの巻き数によって特徴付けられます。結果として得られる群は、加法に関して整数と同型です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\neq k}$

より最近の応用では、群論的背景による幾何学的構成の動機づけにその影響が逆転している。^{[ h ]}同様に、幾何学的群論では、例えば双曲群の研究において幾何学的概念が用いられる。^{[ 42 ]}群を決定的に応用するさらなる分野には、代数幾何学と数論が含まれる。^{[ 43 ]}

上記の理論的な応用に加えて、群には多くの実用的な応用があります。暗号技術は、特に有限群への実装において、抽象群論的アプローチと計算群論で得られるアルゴリズム的知識の組み合わせに依存しています。 ^{[ 44 ]}群論の応用は数学に限定されず、物理学、化学、コンピュータサイエンスなどの科学もこの概念の恩恵を受けています。

数字

整数や有理数など、多くの数体系は自然に与えられた群構造を持つ。有理数のように、加法と乗法の両方の演算が群構造を生じる場合もある。このような数体系は、環や体といったより一般的な代数構造の前身である。加群、ベクトル空間、代数といったより抽象的な代数概念も群を形成する。

整数

⁠ ⁠で表される加法のもとでの整数群については既に説明した。これらの整数は、加法ではなく乗法の演算では群を形成しない。結合公理と恒等公理は満たされるが、逆元は存在しない。例えば、は整数であるが、この場合の方程式の唯一の解は⁠ ⁠であり、これは有理数ではあるが整数ではない。したがって、 のすべての元に（乗法的な）逆元が存在するわけではない。^{[ i ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

有理数

乗法逆数の存在への欲求は分数を考慮することを示唆する $${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

整数の分数（非ゼロを含む）は有理数として知られています。^{[ j ]}このような既約分数全体の集合は、一般的に⁠ ⁠ と表記されます。 ⁠ ⁠ 、つまり乗法を伴う有理数が群となるには、まだ小さな障害があります。ゼロには逆数がないため（つまり、⁠ ⁠となるようなものは存在しないため）、依然として群ではありません。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

しかし、非零有理数全体の集合は、乗法に関してアーベル群を形成し、これは⁠ ⁠とも表記される。^{[ k ]}結合法と単位元公理は整数の性質から導かれる。2つの非零有理数の積が決してゼロにならないため、ゼロを除去しても閉包条件は依然として成立する。最後に、 ⁠ ⁠ の逆数は⁠ ⁠ であるため、逆元の公理は満たされる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle b/a}$

有理数（ゼロを含む）も加法のもとで群を形成します。加法と乗法を絡み合わせると、環と呼ばれるより複雑な構造が形成され、さらに体（例えば ）のようにゼロ以外の除算が可能な場合は体も形成されます。これらは抽象代数学において中心的な位置を占めています。したがって、群論的な議論はこれらの実体の理論の一部に根底に存在します。^{[ l ]} ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モジュラー演算

時計の時間は、 12を法とする加算を使用するグループを形成します。ここでは、 9 + 4 ≡ 1 です。

を法 とするモジュラー演算では、の倍数だけ異なる任意の2つの要素とが等価であると定義され、⁠ ⁠ と表記されます。すべての整数は⁠ ⁠から⁠ ⁠までの整数のいずれかと等価であり、モジュラー演算の演算では、任意の演算の結果をその等価な表現に置き換えることで、通常の演算が変更されます。⁠ ⁠ から ⁠ ⁠までの整数に対してこのように定義されるモジュラー加算は、 を単位元、 を⁠ ⁠の逆元とする、または⁠ ⁠と表記される群を形成します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$

身近な例として、時計の文字盤上の時間の加算が挙げられます。ここでは、恒等式の代表として0ではなく12が選択されます。時針がオンで時間進むと、図に示すように、最終的に⁠ ⁠ ⁠になります。これは、 ⁠ ⁠ ⁠を法とする法則と合同である、あるいは 記号で表すと、 ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9+4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$ $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

任意の素数⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle p}$⁠ ⁠を法とする整数の乗法群 ${\displaystyle p}$も存在します。^{[ 45 ]}その要素は⁠ ⁠から⁠ ⁠で表すことができます。群の演算である⁠ ⁠を法とする乗算は、通常の積をその代表値である⁠ ⁠で割った余りに置き換えます。たとえば⁠ ⁠の場合、4 つの群の要素は⁠ ⁠で表すことができます。この群では、⁠ ⁠、通常の積は⁠ ⁠と等しいため、それを ⁠ ⁠ で割ると⁠ ⁠の余りが生成されます。が素数であることで、2 つの代表値の通常の積は⁠ ⁠で割り切れないことが保証され、したがってモジュラー積はゼロ以外になります。^{[ m ]}単位元は ⁠ ⁠で表され、結合法則は整数の対応する特性から得られます。最後に、逆元公理によれば、 ⁠ ⁠で割り切れない整数が与えられたとき、 ⁠ ⁠を均等に割り切る ような 整数が存在する必要がある。この逆元は、ベズーの恒等式と、最大公約数が⁠ ⁠に等しい という事実を用いて求めることができる。^{[ 46 ]}上記の場合、 ⁠ ⁠ で表される元の逆元は⁠ ⁠で表される元であり、 ⁠ ⁠で表される元の逆元は⁠ ⁠で⁠ ⁠と表される 。したがって、すべての群公理が満たされている。この例は上記の例と同様で、環内の乗法逆元を持つ元だけから構成される。^{[ 47 ]}これらの群は⁠ ⁠と表記され、公開鍵暗号にとって極めて重要である。^{[ n ]} ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\cdot b-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

巡回群

6 番目の複素根は巡回群を形成します。は原始元ですが、の奇数乗は⁠ ⁠の乗ではないため、原始元ではありません。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$

巡回群とは、そのすべての元が特定の元⁠ ⁠の冪である群のことである。^{[ 48 ]}乗法記法では、群の元は ⁠ ⁠を意味し 、⁠ ⁠などを表す。 ^{[ o ]}このような元は、生成元または群の原始元と呼ばれる。加法記法では、元が原始的であるための要件は、群の各元が次のように書けることである。 ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle a\cdot a}$ ${\displaystyle a^{-3}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

上で紹介した群では、元は原始的であるため、これらの群は巡回的です。実際、各元は、すべての項が⁠ ⁠であるような和として表現できます。元を持つ巡回群はどれも、この群と同型です。巡回群の 2 つ目の例は、 ⁠ ⁠を満たす複素数で与えられる、⁠ ⁠番目の複素根の群です。これらの数は、⁠ ⁠の図で青色で示されているように、正多角形の頂点として視覚化できます。群の演算は複素数の乗算です。図では、 を乗算すると、反時計回りに60° 回転します。^{[ 49 ]}体理論から、群は素数に対して巡回的です。たとえば、⁠ ⁠の場合、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠であるため、は生成元です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{1}=3}$ ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$ ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$ ${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

いくつかの巡回群は無限個の元を持つ。これらの群では、任意の非零元⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$に対して、 ⁠ のすべての冪は互いに異なる。「巡回群」という名前にもかかわらず、元の冪は循環しない。無限巡回群は、上で紹介した加法のもとでの整数群⁠ ⁠と同型である。 ^{[ 50 ]}これら2つのプロトタイプはどちらもアーベル群であるため、すべての巡回群もアーベル群である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

有限生成アーベル群の研究は、有限生成アーベル群の基本定理を含め、かなり成熟しており、この状況を反映して、中心や交換子などの多くの群関連の概念は、与えられた群がアーベル群でない程度を記述している。^{[ 51 ]}

対称群

（2,3,7）三角形群は双曲面のこのタイリングに作用する^{[ 52 ]}

対称群は、与えられた数学的対象、主に幾何学的実体の対称性で構成される群であり、例えば上記の入門例として示した正方形の対称群であるが、ガロア理論で扱われる多項式方程式の根の間の対称性など、代数学でも生じる（下記参照）。^{[ 53 ]}概念的には、群論は対称性の研究と考えることができる。^{[ p ]}数学における対称性により、幾何学的または解析的な対象の研究が大幅に簡素化される。群のすべての要素が ⁠ ⁠ に対する何らかの演算に関連付けることができ、これらの演算の合成が群の法則に従う場合、その群は別の数学的対象に作用すると言われる。例えば、(2,3,7)三角形群の要素は、三角形を並べ替えることによって双曲面の三角形タイル張りに作用する。^{[ 52 ]}群の作用により、群のパターンは作用を受ける対象の構造に接続される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

化学において点群は分子の対称性を記述し、結晶学において空間群は結晶の対称性を記述します。これらの対称性は系の化学的および物理的挙動の基礎を成しており、群論はこれらの特性の量子力学的解析を簡素化することを可能にします。^{[ 54 ]}例えば、群論は、特定の量子準位間の光学遷移が、関与する状態の対称性という理由だけでは起こり得ないことを示すために使用されます。^{[ 55 ]}

群論は、物質が相転移を起こす際に生じる物理的特性の変化、例えば立方晶系から四面体結晶構造への変化を予測するのに役立ちます。強誘電体材料はその一例であり、常誘電状態から強誘電状態への変化はキュリー温度で起こり、高対称性の常誘電状態から低対称性の強誘電状態への変化と関連しています。この変化は、いわゆるソフトフォノンモード、すなわち転移時にゼロ周波数となる振動格子モードを伴います。^{[ 56 ]}

このような自発的な対称性の破れは素粒子物理学においても応用されており、その発生はゴールドストーンボソンの出現と関連している。^{[ 57 ]}

バックミンスターフラーレンは二十面体対称性を示す[ 58 ]	アンモニア、NH3 。その対称群は6次で、120°回転と反射によって生成される。[ 59 ]	キュバンC 8 H 8は八面体対称性を示す。[ 60 ]	テトラクロロ白金酸(II)イオン[PtCl 4 ] 2−は平面四角形の形状を示す。

マシュー群などの有限対称群は符号理論で利用されており、符号理論は伝送データの誤り訂正やCDプレーヤーに応用されている。^{[ 61 ]}もう1つの応用は微分ガロア理論で、これは規定された形式の反微分を持つ関数を特徴付け、特定の微分方程式の解が適切に動作する群論的基準を与える。 ^{[ q ]}群作用の下で安定を保つ幾何学的性質は、 （幾何学的）不変理論で研究されている。^{[ 62 ]}

一般線型群と表現論

2つのベクトル（左の図）に行列（中央と右の図）を掛け合わせたものです。中央の図は時計回りに90°回転し、右端の図は⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$座標を2倍に引き伸ばします。

行列群は、行列と行列の乗算から構成されます。一般線型群は、実数を要素とするすべての可逆な⁠ ⁠ × ⁠ ⁠行列から構成されます。 ^{[ 63 ]}その部分群は行列群または線型群と呼ばれます。前述の二面体群の例は、（非常に小さな）行列群と見なすことができます。もう1つの重要な行列群は特殊直交群です。これは、次元におけるすべての可能な回転を記述します。この群の回転行列は、コンピュータグラフィックスで使用されます。^{[ 64 ]} ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle n}$

表現論は群の概念の応用であり、群をより深く理解するために重要である。^{[ 65 ] [ 66 ]}表現論は、群の他の空間への群の作用によって群を研究する。群の表現の広いクラスは、3次元ユークリッド空間などのベクトル空間に群が作用する線型表現である。次元 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$実ベクトル空間上の群の表現は、単に群から一般線型群への群準同型である 。このようにして、抽象的に与えられる可能性のある群演算は行列の乗算に変換され、明示的な計算にアクセス可能になる。^{[ r ]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

群作用は、作用を受ける対象を研究するための更なる手段を与える。^{[ s ]}一方で、群に関する情報も提供する。群表現は、有限群、リー群、代数群、位相群、特に（局所的に）コンパクト群の理論における組織化原理である。^{[ 65 ] [ 67 ]}

ガロア群

ガロア群は、多項式方程式の対称性を捉えて解くために開発された。^{[ 68 ] [ 69 ]}例えば、二次方程式 の解は次のように与え られる。各解は、符号を またはに 置き換えることで得られる。3次方程式と4次方程式では類似の式が知られているが、5次以上では一般には存在しない。 ^{[ 70 ]}二次方程式の式では、符号を変更すること（結果として得られる2つの解を並べ替えること）は、（非常に単純な）群演算と見なすことができる。類似のガロア群は、より高次の多項式方程式の解に作用し、その解の式の存在と密接に関連している。これらの群の抽象的な特性（特に可解性）は、上記の式と同様に、加算、乗算、および根だけを使用してこれらの多項式の解を表現できるかどうかの基準を与える。 ^{[ 71 ]} ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

現代ガロア理論は、上記のタイプのガロア群を体論へと移行し、多項式の分解体として形成される体拡大を考慮することで一般化します。この理論は、ガロア理論の基本定理を介して、体と群の間の正確な関係を確立し、数学における群の普遍性を改めて強調しています。^{[ 72 ]}

有限群

群は、有限個の要素を持つ場合、有限と呼ばれます。要素の数は群の順序と呼ばれます。 ^{[ 73 ]}重要なクラスは対称群、つまりオブジェクトの順列のグループです。たとえば、3 つの文字の対称群は、オブジェクトのすべての可能な並べ替えのグループです。3 つの文字 ABC は、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA に並べ替えることができ、合計 6 ( 3 の階乗) の要素を形成します。グループの演算はこれらの並べ替えの合成であり、単位元は順序を変更しない並べ替え演算です。このクラスは、ケーリーの定理に従って、任意の有限群を適切な整数⁠ ⁠の対称群の部分群として表現できる限り、基本的なものです。上記の正方形の対称群と平行して、正三角形の対称群としても解釈できます。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

群の元の位数は、 ⁠ ⁠を満たす最小の正の整数です。ここで、 は、演算「⁠ ⁠ 」を⁠ ⁠のコピーに適用することを表します 。（「⁠ ⁠」が乗算を表す場合、 は⁠ ⁠の⁠ ⁠乗に対応します。）無限群では、そのような が存在しない可能性があり、その場合、 の位数は無限大であると言われています。元の位数は、その元によって生成される巡回部分群の位数に等しくなります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}=e}$ ${\displaystyle a^{n}}$ $${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

より洗練された計数技法、例えば剰余類の計数法は、有限群についてより正確な記述をもたらします。ラグランジュの定理は、有限群に対して、任意の有限部分群の位数は⁠ ⁠の位数を割り切ると述べています。シローの定理は、部分的な逆定理を与えます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

正方形の対称性の二面体群は、位数8の有限群です。この群において、 の位数は4であり、この元が生成する部分群の位数も同じです。鏡映元などの位数は2です。ラグランジュの定理によって予測されるように、どちらの位数も8を割り切ります。素数を法とする乗法の群の位数は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

有限アーベル群

任意の有限アーベル群は有限巡回群の積と同型です。この記述は有限生成アーベル群の基本定理の一部です。

素数位数の任意の群は巡回群と同型である（ラグランジュの定理の帰結）。位数の任意の群はアーベル群、または ⁠ ⁠ と同型である。しかし、位数の非アーベル群も存在する。上記の位数の二面体群はその一例である。^{[ 74 ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$

単純なグループ

群がとそれ自身以外の正規部分群を持つ場合、 についての問いはと⁠ ⁠についての問いに還元されることがあります。非自明な群は、そのような正規部分群を持たない場合、単純群と呼ばれます。有限単純群と有限群の関係は、素数と正の整数の関係と同じです。つまり、ジョルダン・ヘルダーの定理によって明確にされた意味で、それらは構成要素として機能します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

有限単純群の分類

コンピュータ代数システムは、2000 までの位数のすべてのグループをリストするために使用されてきました。^{[ t ]} しかし、すべての有限グループを分類することは、解決するには難しすぎる問題だと考えられています。

群の公理は簡潔で自然である…しかし、これらの公理の背後には、巨大で並外れた数学的対象であるモンスター級の単純群が隠されている。この群は、多数の奇妙な偶然の一致に依存して存在しているように見える。群の公理は、このようなものが存在するという明白なヒントを与えていない。

リチャード・ボーチャーズ『数学者：内なる世界の外的視点』^{[ 75 ]}

すべての有限単純群の分類は、現代群論における大きな成果であった。そのような群には複数の無限族が存在するが、いずれの族にも属さない「散在群」も26種存在する。最大の散在群はモンスター群と呼ばれる。リチャード・ボーチャーズによって証明されたモンスター・ムーンシャイン予想は、モンスター群を特定のモジュラー関数と関連付けている。^{[ 76 ]}

単純群の分類と全群の分類との間のギャップは、拡張問題にある。^{[ 77 ]}

追加の構造を持つグループ

群の同等の定義は、群公理の「存在する」部分を、結果が必ず存在する元となる演算に置き換えることで構成されます。つまり、群とは、二項演算（群演算）、単項演算（逆元を与える）、そして被演算子を持たず単位元となる零項演算を備えた集合です。それ以外は、群公理は全く同じです。この定義の変形は存在量化子を回避し、群を用いた計算やコンピュータ支援証明に使用されます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

この群の定義方法は、圏における群対象の概念のような一般化に適しています。簡単に言えば、これは群の公理を模倣した射を持つ対象です。 ^{[ 78 ]}

位相群

複素平面上の単位円は複素乗法の下ではリー群であり、したがって位相群である。複素乗法と複素除法が連続であるため、位相群である。図中の赤い弧のような小さな部分はすべて、実数直線（下部に図示）の一部のように見えるため、多様体であり、したがってリー群である。

いくつかの位相空間は群法則を備えている場合がある。群法則と位相がうまく絡み合うためには、群の演算は連続関数でなければならない。非形式的には、とがほんの少ししか変化しない場合に、大きく変化してはならない。このような群は位相群と呼ばれ、位相空間のカテゴリにおける群の対象である。^{[ 79 ]}最も基本的な例は、加法のもとでの実数の群と乗法のもとでの非零の実数の群である。同様の例は、複素数体やp進数体など、他の位相体から形成することもできる。これらの例は局所コンパクトであるため、ハール測度を持ち、調和解析によって調べることができる。他の局所コンパクト位相群には、局所体上の代数群やアデール環の点の群があり、これらは数論の基礎である^{[ 80 ]}無限代数体拡大のガロア群には、無限ガロア理論で役割を果たすクルル位相が備わっている。^{[ 81 ]}代数幾何学で使われる一般化はエタール基本群である。^{[ 82 ]} ${\displaystyle g\cdot h}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

リー群

リー群は微分可能多様体の構造も持つ群である。非公式には、局所的に何らかの固定次元のユークリッド空間のように見えることを意味する。^{[ 83 ]}定義では、追加の構造（ここでは多様体構造）が互換性を持つことが要求される。つまり、乗算と逆写像は滑らかであることが要求される。

標準的な例としては、上で紹介した一般線型群が挙げられる。これは、-行-列行列を表す 不等式で与えられるため、 すべての-行-列行列の空間の開集合となる。^{[ 84 ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

リー群は現代物理学において基本的な重要性を持っている。ノイマンの定理は連続対称性と保存量を結び付けている。^{[ 85 ]}回転は、空間および時間における並進運動と同様、力学法則の基本的な対称性である。例えば、それらを使用して単純なモデルを構築することができる。ある状況に軸対称性を課すと、通常、物理的な記述を与えるために解く必要のある方程式が大幅に簡素化される。^{[ u ]}もう1つの例は、ローレンツ変換群である。これは、相対的に運動している2人の観測者の時間と速度の測定値を関連付けるものである。それらは、変換をミンコフスキー空間の回転対称性として表すことによって、純粋に群論的な方法で演繹することができる。後者は、有意な重力がない場合、特殊相対性理論における時空のモデルとして役立つ。^{[ 86 ]}ミンコフスキー空間の完全な対称群、すなわち並進を含む対称群は、ポアンカレ群として知られています。このことから、ポアンカレ群は特殊相対論において、そして必然的に量子場の理論においても重要な役割を果たしています。^{[ 87 ]}場所によって変化する対称性は、ゲージ理論を用いた物理的相互作用の現代的な記述において中心的な役割を果たしています。ゲージ理論の重要な例としては、既知の4つの基本的な力のうち3つを記述し、既知のすべての素粒子を分類する標準模型が挙げられます。^{[ 88 ]}

一般化

グループのような構造

	合計	連想	身元	分割可能
部分的なマグマ	不要	不要	不要	不要
半群体	不要	必須	不要	不要
小規模カテゴリ	不要	必須	必須	不要
群体	不要	必須	必須	必須
マグマ	必須	不要	不要	不要
準群	必須	不要	不要	必須
ユニタルマグマ	必須	不要	必須	不要
ループ	必須	不要	必須	必須
セミグループ	必須	必須	不要	不要
結合準群	必須	必須	不要	必須
モノイド	必須	必須	必須	不要
グループ	必須	必須	必須	必須

群を定義する公理の一部を緩和することで、より一般的な構造を定義できる。^{[ 33 ] [ 89 ] [ 90 ]}表には群を一般化するいくつかの構造のリストが示されている。

例えば、すべての要素に逆元が存在するという要件を取り除いた場合、結果として得られる代数構造はモノイドと呼ばれます。自然数 （ゼロを含む）は加法の下でモノイドを形成し、非ゼロの整数は乗法の下でモノイドを形成します。モノイドのすべての要素の逆元を接すると群⁠ ⁠が生成され、同様に任意の（アーベル）モノイド⁠ ⁠の逆元を接すると、⁠ ⁠のグロタンディーク群と呼ばれる群が生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

群は、すべての射が同型である⁠ ⁠という1 つのオブジェクトを持つ小さなカテゴリと考えることができます。このようなカテゴリが与えられれば、集合は群になります。逆に、群⁠ ⁠が与えられれば、 ⁠ ⁠という⁠ ⁠という1 つのオブジェクトを持つ小さなカテゴリを構築できます。より一般的には、亜群とは、すべての射が同型である小さなカテゴリのことです。亜群では、カテゴリ内のすべての射の集合は通常、群ではありません。これは、合成が部分的にしか定義されていないためです。⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠のソースが⁠ ⁠のターゲットと一致する場合にのみ定義されます。亜群は、位相幾何学 (たとえば、基本亜群) やスタックの理論で発生します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

最後に、これらの概念はいずれも、二項演算をn項演算（つまり、 n個の引数を取る演算、ただしnは非負整数）に置き換えることで一般化できる。群の公理を適切に一般化することで、 n項群の概念が得られる。^{[ 91 ]}

例

セット	自然数⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$		整数⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$		有理数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$実数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$複素数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$				3を法とする整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,2\}}$
手術	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
合計	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	はい
身元	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	はい	はい
逆	いいえ	いいえ	はい	いいえ	はい	いいえ	⁠ ⁠の場合のみ ${\displaystyle a\neq 0}$	いいえ	はい	⁠ ⁠の場合のみ ${\displaystyle a\neq 0}$
割り切れる	いいえ	いいえ	はい	いいえ	はい	はい	⁠ ⁠の場合のみ ${\displaystyle a\neq 0}$	⁠ ⁠の場合のみ ${\displaystyle a\neq 0}$	はい	いいえ
連想	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	はい	はい
可換性	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	はい	はい
構造	モノイド	モノイド	アーベル群	モノイド	アーベル群	準群	モノイド	準群（0を除いたもの）	アーベル群	モノイド

参照

• 群論のトピックのリスト
• 順序（群論）

注記

1. 一部の著者は、演算「 ⋅ 」の下での閉包と呼ばれる追加の公理を含めている。これは、 Gの任意のaとbに対して、 a ⋅ bがGの元であることを意味する。この条件は、「 ⋅ 」がG上の二項演算であることを条件とすることで包含される。Lang  2002 を参照。
2. MathSciNetの数学出版物データベースには、 2020年だけで群論とその一般化に関する研究論文が1,779件掲載されている。MathSciNet 2021を参照。
3. 通常、分数表記の使用は避けられます⁠b/1つの⁠ただし、 Gがアーベル行列でない限り、 a ⁻¹ ⋅ bを意味するのか、 b ⋅ a ⁻¹を意味するのか曖昧になる。
4. 例えば、 Lang 2002、 Lang 2005、 Herstein 1996、 Herstein 1975を参照。
5. 準同型性（homomorphism）という言葉は、ギリシャ語のὁμός（同じ）とμορφή（構造）に由来する。Schwartzman 1994、p. 108を参照。
6. しかし、群はその部分群の束によって決定されるわけではない。鈴木 1951 を参照。
7. 例として、 Seifert–Van Kampen の定理を参照してください
8. 例としては、群の群コホモロジーがあり、これはその分類空間の特異コホモロジーに等しい。Weibel 1994 、§8.2 を参照。
9. 逆元を持つ要素は単位元と呼ばれます。Lang 2002、p. 84、§II.1を参照してください。
10. 分数を含めた整数から有理数への移行は分数体によって一般化される。
11. Qの代わりに任意の体Fについても同様のことが言える。Lang 2005、p. 86、§III.1を参照。
12. 例えば、体の乗法群の有限部分群は必然的に巡回的である。Lang 2002 、定理IV.1.9を参照。加群の捩れや単純代数の概念もこの原理の他の例である。
13. 述べられている性質は素数の可能な定義である。素元を参照。
14. 例えば、 Diffie-Hellmanプロトコルは離散対数を使用します。Gollmann 2011、§15.3.2を参照してください。
15. 巡回群の元の加法表記はt ⋅ a（ tはZ内）となる。
16. より厳密に言えば、すべてのグループは何らかのグラフの対称グループです。Fruchtの定理、 Frucht 1939を参照してください。
17. より正確には、微分方程式の解のベクトル空間へのモノドロミー作用について考察する。久我 1993 , pp. 105–113 を参照。
18. これは例えば有限単純群の分類において極めて重要であった。Aschbacher 2004を参照。
19. 群作用が単純加群に与える影響については、例えばシューアの補題を参照のこと。より複雑な例としては、絶対ガロア群がエタールコホモロジーに作用する例が挙げられる。
20. 同型性まで含めると、2000までの順序のグループは約490億個あります。Besche、Eick、O'Brien 2001を参照してください。
21. 対称性が物理システムの複雑さの分析を大幅に削減する例については、シュワルツシルト計量を参照してください

引用

1. Herstein 1975、p.26、§2。
2. Hall 1967 、p. 1、§1.1：「群の概念は、純粋数学と応用数学の両方に浸透している。」
3. Lang 2005、360ページ、付録2。
4. クランツ 2011、p.  159 .
5. アルティン 2018、p.40、§2.2。
6. Lang 2002、p.3、I.§1およびp.7、I.§2。
7. Lang 2005、p.16、II.§1。
8. ジョンストン＆リッチマン1997、92ページ 。
9. ハーシュタイン、1975 年、p. 54、§2.6。
10. ウッシング 2007 .
11. クライナー 1986 .
12. スミス 1906 .
13. ガロア 1908 .
14. クライナー 1986、202ページ。
15. ケイリー 1889 .
16. Wussing 2007、§III.2。
17. 1973年の嘘。
18. クライナー 1986、204ページ。
19. Wussing 2007、§I.3.4。
20. ジョーダン 1870。
21. フォン・ダイク 1882 .
22. キャメロン1999、35ページ 。
23. カーティス 2003 .
24. マッキー 1976 .
25. ボレル 2001 .
26. ソロモン2018年。
27. Ledermann 1953、pp.4-5、§1.2。
28. Ledermann 1973、p.3、§I.1。
29. ラング 2005、p. 17、§II.1。
30. アルティン 2018、40頁。
31. Lang 2002、p.7、§I.2。
32. Lang 2005、p.34、§II.3。
33. マックレーン 1998 .
34. Lang 2005、p.19、§II.1。
35. Ledermann 1973、39ページ、§II.12。
36. Lang 2005、p.41、§II.4。
37. Lang 2002、p.12、§I.2。
38. Lang 2005、p.45、§II.4。
39. Lang 2002、p.9、§I.2。
40. マグナス、カラス、ソリター、2004 年、56–67 ページ、§1.6。
41. ハッチャー 2002、30ページ、第1章。
42. Coornaert、Delzant、Papadopoulos 1990 .
43. 例えば、類群とピカール群。Neukirch 1999、特に§§I.12とI.13を参照
44. セレス 1997 .
45. Lang 2005、第7章。
46. Rosen 2000、p.54、（定理2.1）。
47. ラング 2005、p. 292、§VIII.1。
48. Lang 2005、p.22、§II.1。
49. Lang 2005、p.26、§II.2。
50. Lang 2005、p.22、§II.1（例11）。
51. Lang 2002、26、29 ページ、§I.5。
52. エリス 2019 .
53. ワイル 1952 .
54. Conway et al. 2001 . Bishop 1993も参照
55. Weyl 1950、197–202ページ。
56. ダヴ 2003 .
57. Zee 2010、228ページ。
58. チャンスィー＆オブライエン 2021、15、16頁。
59. シモンズ 2003、§4.2.1。
60. エリエル、ウィレン、マンダー、1994 年、p. 82.
61. ウェールズ 1989 .
62. マムフォード、フォガティ、カーワン 1994 .
63. レイ 2003 .
64. カイパース 1999 .
65. フルトン＆ハリス 1991 .
66. セール 1977 .
67. ルディン 1990 .
68. ロビンソン 1996、p. viii.
69. アルティン 1998 .
70. Lang 2002、第6章（具体的な例については特に273ページを参照）。
71. ラング 2002、p. 292、(定理 VI.7.2)。
72. スチュワート 2015、§12.1。
73. カーツワイル & ステルマッハー 2004、p. 3.
74. Artin 2018、提案 6.4.3。 Lang 2002、p.も参照してください同様の結果の場合は 77。
75. クック 2009、24ページ。
76. ロナン 2007 .
77. アッシュバッハー 2004、737ページ。
78. Awodey 2010、§4.1。
79. フセイン 1966 .
80. ノイキルヒ 1999 .
81. シャッツ 1972 .
82. ミルン 1980 .
83. ワーナー 1983 .
84. ボレル 1991 .
85. ゴールドスタイン 1980 .
86. ワインバーグ 1972 .
87. ネイバー 2003 .
88. Zee 2010 .
89. デネケ＆ウィスマス 2002 .
90. ロマノフスカ＆スミス 2002 .
91. デュデック 2001 .

参考文献

一般的な参考文献

• マイケル・アーティン(2018)、代数、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-468960-9第 2 章では、この記事で取り上げられている概念について学部レベルの解説が含まれています。
• クック、マリアナ・R.（2009）、数学者：内なる世界の外的視点、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-13951-7
• ホール、GG（1967）、応用群論、アメリカンエルゼビア出版会社、ニューヨーク、MR  0219593、初歩的な入門書。
• ハーシュタイン、イスラエル・ネイサン（1996年）、抽象代数（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社、ISBN 978-0-13-374562-7、MR  1375019。
• ハーシュタイン、イスラエル・ネイサン（1975年）、Topics in Algebra（第2版）、レキシントン、マサチューセッツ州：ゼロックス・カレッジ・パブリッシング、MR  0356988。
• ジョンストン、バーナード・L.；リッチマン、フレッド（1997年）『数と対称性：代数学入門』CRCプレス
• クランツ、スティーブン・O.（2011）『証明は出版の中に：数学的証明の変化する性質』、シュプリンガー、doi：10.1007/978-0-387-48744-1、ISBN 978-0-387-48744-1
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• Lang, Serge (2005)、Undergraduate Algebra (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-22025-3。
• レーダーマン、ウォルター（1953）「有限群論入門」オリバー＆ボイド社、エディンバラ＆ロンドン、MR  0054593。
• レーダーマン、ウォルター（1973年）、群論入門、ニューヨーク：バーンズアンドノーブル、OCLC  795613。
• ロビンソン、デレク・ジョン・スコット（1996年）、群論講座、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94461-6。

特別な参考文献

• Artin、Emil (1998)、『ガロア理論』、ニューヨーク: Dover Publications、ISBN 978-0-486-62342-9。
• アッシュバッハー、マイケル（2004）「有限単純群の分類の現状」（PDF）、アメリカ数学会誌、51（7）：736-740。
• アウォディ、スティーブ（2010）、カテゴリー理論、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-958736-0
• Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014)「ビフェニルおよびビメシチルテトラスルホン酸 – 配位ポリマーのための新規リンカー分子」、Arkivoc、2015 (2): 64– 75、doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911、hdl : 2027/spo.5550190.p008.911
• ベルスケール、アイザック（2006年）、ヤーン・テラー効果、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-82212-2。
• ベッシェ, ハンス・ウルリッヒ; アイク, ベッティーナ; オブライエン, EA (2001), 「最大2000の位数の群」 ,アメリカ数学会電子研究発表, 7 : 1– 4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR  1826989。
• ビショップ、デイビッドHL（1993）、群論と化学、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-67355-4。
• ボレル、アルマン（1991）、線形代数群、大学院数学テキスト、第126巻（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97370-8、MR  1102012。
• キャメロン、ピーター J. (1999)、順列群、ケンブリッジ大学出版局、doi : 10.1017/CBO9780511623677
• カーター、ロジャー W. (1989)、リー型の単純群、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-50683-6。
• チャンスィー、CC; オブライエン、MCM (2021)、『C60およびその他の二十面体錯体におけるヤーン・テラー効果』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-22534-0
• ジョン・ホートン・コンウェイ;デルガド・フリードリヒス、オラフ。ヒューソン、ダニエル・H.サーストン、ウィリアム P. (2001)、「三次元空間群について」、代数と幾何学、42 (2): 475–507、arXiv : math.MG/9911185、MR  1865535。
• クールナート、M.デルザント、T. Papadopoulos, A. (1990)、Géométrie et théorie des groupes [幾何学と群理論]、数学講義ノート (フランス語)、vol. 1441、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-52977-4、MR  1075994。
• デネケ、クラウス、ウィスマス、シェリー・L.（2002）、ユニバーサル代数と理論計算機科学への応用、ロンドン：CRCプレス、ISBN 978-1-58488-254-1。
• ダヴ、マーティン・T（2003）、構造とダイナミクス：物質の原子論的視点、オックスフォード大学出版局、p.265、ISBN 0-19-850678-3。
• Dudek, Wiesław A. (2001)、 「 n元群におけるいくつかの古くて新しい問題について」 (PDF)、Quasigroups and Related Systems、8 : 15– 36、MR  1876783。
• エリエル、アーネスト、ウィレン、サミュエル、マンダー、ルイス（1994）、有機化合物の立体化学、Wiley、ISBN 978-0-471-01670-0
• エリス、グラハム（2019）、「6.4 三角形群」、計算ホモトピーへの招待、オックスフォード大学出版局、pp.  441– 444、doi：10.1093/oso/9780198832973.001.0001、ISBN 978-0-19-883298-0、MR  3971587。
• Frucht, R. (1939)、「Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [規定のグループによるグラフの構築]」、Compositio Mathematica (ドイツ語)、6 : 239–50、2008年 12 月 1 日にオリジナルからアーカイブ。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー（1991）、表現論：入門、数学大学院テキスト、数学読書集、第129巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97495-8、MR  1153249
• ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）、古典力学（第2版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー出版、pp.  588– 596、ISBN 0-201-02918-9。
• ゴルマン、ディーター（2011年）、コンピュータセキュリティ（第2版）、ウェストサセックス、イギリス：ジョンワイリーアンドサンズ社、ISBN 978-0-470-74115-3
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1。
• フセイン、タクディール（1966年）、位相群入門、フィラデルフィア：WBサンダース社、ISBN 978-0-89874-193-3
• Jahn, H. ; Teller, E. (1937)、「縮退した電子状態における多原子分子の安定性。I. 軌道縮退」、Proceedings of the Royal Society A、161 (905): 220– 235、Bibcode : 1937RSPSA.161..220J、doi : 10.1098/rspa.1937.0142。
• Kuipers, Jack B. (1999)、「Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality」、プリンストン大学出版局、Bibcode : 1999qrsp.book.....K、ISBN 978-0-691-05872-6、MR  1670862。
• 久我道雄(1993)、『ガロアの夢: 群論と微分方程式』、ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston、ISBN 978-0-8176-3688-3、MR  1199112。
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0、MR  2014408。
• レイ、デイビッド（2003）、線形代数とその応用、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-70970-4。
• マック・レーン、サンダース（1998年）、Categories for the Working Mathematician（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98403-2。
• マグナス、ウィルヘルム、カラス、アブラハム、ソリター、ドナルド（2004）[1966]、組み合わせ群論：生成子と関係による群の表現、クーリエ、ISBN 978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021)、「群論とその一般化」（MSCコード20）に関するMathSciNetでレビューされた論文リスト、2020年に出版、 2021年5月14日閲覧
• ミヒラー、ゲルハルト（2006年）、有限単純群論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-86625-5。
• ミルン、ジェームス S. (1980)、『エタール コホモロジー』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08238-7
• マンフォード、デイヴィッド、フォガティ、J.、カーワン、F.（1994）、幾何学的不変理論、第34巻（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-56963-3、MR  1304906。
• ネイバー、グレゴリー・L.（2003）『ミンコフスキー時空の幾何学』ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43235-9、MR  2044239。
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的整数論、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 322、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-65399-8、MR  1697859、Zbl  0956.11021
• ロマノフスカ, アルバータ州;スミス、JDH (2002)、モード、ワールド サイエンティフィック、ISBN 978-981-02-4942-7。
• ロナン、マーク（2007年）、対称性と怪物：数学の最大の探求の物語、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-280723-6。
• ローゼン、ケネス H. (2000)、『初等数論とその応用』（第 4 版）、Addison-Wesley、ISBN 978-0-201-87073-2、MR  1739433。
• ルディン、ウォルター（1990）、群のフーリエ解析、Wiley Classics、Wiley-Blackwell、ISBN 0-471-52364-X。
• セレス、アコス（1997）、「計算群論入門」（PDF）、アメリカ数学会誌、44（6）：671-679、MR  1452069。
• Serre、Jean-Pierre (1977)、有限群の線形表現、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90190-9、MR  0450380。
• シュワルツマン、スティーブン（1994）『数学の言葉：英語で使われる数学用語の語源辞典』アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-511-9。
• シャッツ、スティーブン・S.（1972）「Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry」、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08017-8、MR  0347778
• シモンズ、ジャック（2003）『理論化学入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-53047-7
• ソロモン、ロナルド（2018）、「有限単純群の分類：進捗報告」、AMSの通知、65（6）：1、doi：10.1090 / noti1689
• スチュワート、イアン（2015年）、ガロア理論（第4版）、CRCプレス、ISBN 978-1-4822-4582-0
• 鈴木道雄(1951)、「有限群の部分群の束について」アメリカ数学会誌、70 (2): 345–371、doi : 10.2307/1990375、JSTOR  1990375。
• ワーナー、フランク（1983）、微分可能多様体とリー群の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90894-6。
• ワイベル、チャールズ・A.（1994）「ホモロジー代数入門」、ケンブリッジ高等数学研究第38巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55987-4、MR  1269324、OCLC  36131259
• ワインバーグ、スティーブン（1972）『重力と宇宙論』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-92567-5。
• ウェルシュ、ドミニク（1989年）、コードと暗号、オックスフォード：クラレンドンプレス、ISBN 978-0-19-853287-3。
• ワイル、ヘルマン（1952）『対称性』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-02374-8{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)。
• Zee, A. (2010) 『量子場理論入門』（第2版）、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-14034-6、OCLC  768477138

歴史的参照

• ボレル、アルマン（2001）、リー群と代数群の歴史に関するエッセイ、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0288-5
• ケイリー、アーサー（1889年）『アーサー・ケイリー数学論文集』第2巻（1851-1860年）、ケンブリッジ大学出版局。
• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「群論の発展」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• カーティス、チャールズ・W.（2003）「表現論の先駆者たち：フロベニウス、バーンサイド、シュア、ブラウアー」、数学史、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2677-5。
• von Dyck、Walther (1882)、「Gruppentheoretische Studien (グループ理論研究)」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、20 (1): 1–44、doi : 10.1007/BF01443322、S2CID  179178038、オリジナルからアーカイブ2014-02-22。
• Galois、Évariste (1908)、Tannery、Jules (編)、Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (フランス語)、パリ: Gauthier-Villars(ガロアの著作は1843 年にジョセフ・リウヴィルによって初めて出版されました)。
• Jordan、Camille (1870)、Traité des substitutions et des équations algébriques [置換と代数方程式の研究] (フランス語)、パリ: Gauthier-Villars。
• クライナー、イスラエル（1986）、「群論の進化：簡単な概観」、数学雑誌、59（4）：195-215、doi：10.2307/2690312、JSTOR  2690312、MR  0863090。
• Lie、Sophus (1973)、Gesammelte Abhandlungen。バンド1 [論文を集めました。 Volume 1] (ドイツ語)、ニューヨーク: Johnson Reprint Corp.、MR  0392459。
• マッキー、ジョージ・ホワイトロー（1976年）『ユニタリ群表現の理論』シカゴ大学出版局、MR  0396826
• スミス、デイヴィッド・ユージン（1906年）『近代数学史』数学モノグラフ第1号。
• ワイル、ヘルマン（1950）[1931]、「群論と量子力学」、ロバートソン訳、HP、ドーバー、Bibcode：1950tgqm.book.....W、ISBN 978-0-486-60269-1{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)。
• ウーシング、ハンス（2007年）、抽象群概念の起源：抽象群理論の起源の歴史への貢献、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-45868-7。

さらに読む

• Nikulin, VVおよびShafarevich, IR . Geometries and Groups . 1983年のロシア語原著からM. Reidによって翻訳。Universitext。Springer-Verlag、ベルリン。英語版初版は1987年。
• 「幾何学的視点からの変換群」、HSM Coxeter著（『幾何学的変換群とその他の話題』リンカーン・K・ダースト編）数学学部課程委員会、MAA
• シュロモ・スターンバーグ、『群論と物理学』、ケンブリッジ大学出版局、1994年。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W.、「グループ」、MathWorld

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