一次分解

In algebra, expression of an ideal as the intersection of ideals of a specific type

数学において、ラスカー・ノイマン定理は、すべてのノイマン環はラスカー環であると述べており、これはすべてのイデアルが有限個の基本イデアル（基本イデアルの冪に関連はあるものの、完全に同じではない）の共通部分（基本分解）として分解できることを意味する。この定理は、エマニュエル・ラスカー（1905年）によって多項式環と収束冪級数環 の特殊なケースについて初めて証明され、エミー・ノイマン（1921年）によってその完全な一般性が証明された 。

ラスカー・ノイマン定理は、算術の基本定理、より一般的には有限生成アーベル群の基本定理をすべてのノイマン環に拡張したものです。この定理は、すべての代数集合が既約成分の有限和に一意に分解できることを示すことで、代数幾何学において重要な役割を果たします。

これは、ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群は主部分加群の有限積であるという、加群への直接的な拡張を持つ。これは、環を自身の加群と見なし、イデアルが部分加群となるような特別なケースとして環の場合を含む。これはまた、主イデアル領域上の有限生成加群に対する構造定理の主分解形式を一般化し、体上の多項式環の特別なケースについては、代数集合を（既約）多様体の有限和に分解することを一般化する。

標数0の体上の多項式環の一次分解を計算する最初のアルゴリズム^{[注 1]は、ノイマンの弟子である}グレーテ・ヘルマン（1926年）によって発表された 。^{[1] [2]}この分解は、非可換ノイマン環には一般には成立しない。ノイマンは、一次イデアルの交差ではない右イデアルを持つ非可換ノイマン環の例を示した。

理想の一次分解

をネーター可換環とする。のイデアルは、 が真イデアルであり、と の各元対でが に属する場合、 のどちらか、またはいずれかの冪がに属するとき、一次イデアルと呼ばれる。同様に、の商のすべての零因子は冪零である。一次イデアルの根基は素イデアルであり、に対して-一次イデアルであるという。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$

を のイデアルとします。すると、は一次イデアルへの冗長でない一次分解を持ちます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ }$。

非冗長性とは、次のことを意味します。

• いずれかを削除すると、共通部分が変更されます。つまり、それぞれについて次のようになります。 ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}$
• 主要な理想 はすべて異なります。 ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

さらに、この分解は次の 2 つの点で独特です。

• 集合はによって一意に決定され、 ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• が上記の集合の最小要素である場合、 はによって一意に決定されます。実際、は局所化マップの下での の逆像です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$

上の非極小素イデアルに対応する主イデアルは、一般に一意ではない（下の例を参照）。分解の存在については、下記の「#付随素数からの主分解」を参照。 ${\displaystyle I}$

の元は の素因数、あるいはに属する素数と呼ばれる。後述するように、加群理論の用語では、集合 は-加群の付随素数の集合でもある。これは、にとなる元が存在することを意味する。 ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.}$^[3]

省略法として、一部の著者は の連想素数を単に の連想素数と呼んでいます(この方法はモジュール理論での使用法と矛盾することに注意してください)。 ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$

• の最小元は、と を含む最小素イデアルと同じであり、孤立素数と呼ばれます。 ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ ${\displaystyle I}$
• 一方、最小でない要素は埋め込み素数と呼ばれます。

整数環の場合、ラスカー・ノイザーの定理は算術の基本定理と同値である。整数が素因数分解できる場合、におけるによって生成されるイデアルの主分解は 、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

同様に、一意の因数分解領域において、元が素因数分解を持ち、ここでが単位である場合、によって生成される主イデアルの主分解は ${\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

例

この節の例は、一見意外であったり直感に反したりするかもしれない、主分解のいくつかの性質を説明するために用意されている。すべての例は、体k上の多項式環のイデアルである。

交差と積

理想の主な分解は ${\displaystyle k[x,y,z]}$ ${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .}$

1次の生成元があるため、Iは2つのより大きなイデアルの積ではない。同様の例が、2つの不定元において示されている。

${\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .}$

プライマリーパワーとプライムパワー

において、イデアルは、関連する素数として持つ主イデアルです。これは、関連する素数の冪ではありません。 ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \langle x,y^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

非一意性と埋め込み素数

任意の正の整数nに対して、イデアルの一次分解は ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}$

関連する素数は

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}$

例:ある体kに対してN  =  R  =  k [ x ,  y ] とし、M をイデアル ( xy ,  y ² ) とします。すると、Mには2つの異なる最小素分解M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y ² ) が存在します。最小素数は ( y ) であり、埋め込まれた素数は ( x ,  y ) です。

関連する2つの素数間の非関連する素数

理想では（一意でない）一次分解を持つ ${\displaystyle k[x,y,z],}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}$

関連する素イデアルはであり、は関連する素イデアルではないので、 ${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .}$

複雑な例

非常に単純な例を除き、一次分解は計算が困難で、非常に複雑な出力になる可能性があります。以下の例は、そのような複雑な出力を提供しながらも、手書き計算でアクセスできるように設計されました。

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}}$

x , yの二つの斉次多項式で、その係数が体k上の他の不定量の多項式であるとする。すなわち、PとQは に属し、この環においてイデアルの主分解が探索される。主分解を計算するために、まず 1 がPとQの最大公約数であると仮定する。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}}$ ${\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],}$ ${\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }$

この条件は、I に高さ1の主成分が存在しないことを意味する。Iは2つの元によって生成されるため、これはI が完全交差であることを意味する（より正確には、 I は完全交差である代数集合を定義する）。したがって、すべての主成分は高さ2である。したがって、 Iの関連する素数は、Iを含む高さ2の素イデアルと全く同じである。

したがって、 はIの関連する素数です。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

PとQのx , yにおける同次な終結式をとする。PとQの最大公約数は定数なので、終結式Dはゼロではなく、終結式理論によれば、I にはDとx , yにおける次数m + n – 1の単項式との積がすべて含まれる。これらの単項式はすべて に含まれる主成分に属するので、この主成分にはPとQが含まれ、局所化による主分解の挙動から、この主成分は ${\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]}$ ${\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.}$

つまり、主要なコンポーネントがあり、そのすべての生成セットにすべての不定値が含まれるような非常に単純な関連素数があります。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

もう一つの主成分にはDが含まれます。P と Q が十分に一般性を持つ場合（例えば、PとQ の係数が異なる不定値である場合）、もう一つの主成分（素イデアル）のみが存在し、それはP、Q 、およびDによって生成されることが証明できます。

幾何学的解釈

代数幾何学において、アフィン代数集合 V ( I )は、多項式環のイデアルIの共通零点の集合として定義される。 ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

冗長性のない一次分解

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}$

Iは、 V ( I )を、 2 つのより小さな代数集合の和集合ではない、既約な 代数集合V ( Q _i )の和集合に分解することを定義します。

がの付随素数である場合、ラスカー・ノイザーの定理は、V ( I )が既約代数多様体への一意の非冗長分解を持つことを示している。 ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup V(P_{i}),}$

ここで、和集合は最小の連立素数に限定されます。これらの最小の連立素数は、 Iの根号の主成分です。このため、Iの根号の主分解は、 Iの素分解と呼ばれることもあります。

最小素数に対応する主分解（代数集合分解も同様）の成分は孤立していると言われ、その他の成分は埋め込まれた。

代数多様体の分解では極小素数のみが興味深いが、交差理論、さらに一般的にはスキーム理論では、完全な一次分解は幾何学的な意味を持つ。

関連する素数からの一次分解

今日では、連想素数理論においてイデアルと加群の一次分解を行うのが一般的です。特に、ブルバキの影響力のある教科書『可換代数』はこのアプローチを採用しています。

を環とし、その上の加群とする。定義により、随伴素とは、の非零元を消滅させる素イデアルのことである。つまり、に対して となる（これは を意味する）。同様に、 の随伴素イデアルは、 -加群の注入が存在する場合、の随伴素イデアルである。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}$

の非零元の消滅集合の最大元は素イデアルであることが示され、したがって、 がネーター環である場合、が非零である場合に限り、の関連する素数が存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

の関連する素数の集合はまたはで表されます。定義から直接、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

• もし なら、。 ${\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}$
• 正確な数列については、[ ^4] ${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$
• がネーター環であるとき、 はサポートを参照する。[ ^5]また、 の最小元の集合はの最小元の集合と同じである。^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$

が 上の有限生成加群である場合、部分加群の有限昇順列が存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

の各商は、いくつかの素イデアルに対してと同型であり、そのそれぞれは必然的に のサポートに含まれる。^[6]さらに、 のすべての関連する素数は素数の集合の中に存在する。すなわち、 ${\displaystyle M_{i}/M_{i-1}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)}$. ^[7]

(一般に、これらの包含は等式ではありません。) 特に、が有限生成である場合、 は有限集合です。 ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle M}$

をネーター環上の有限生成加群とし、の部分加群とする。と の関連素数の集合が与えられたとき、およびとなるような部分加群が存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle Q_{i}\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^{[8] [9]}

のサブモジュールは、のとき-主であると呼ばれる。 - モジュールのサブモジュールがサブモジュールとして -主であるための必要十分条件は、それが-主イデアルである場合である。したがって、 のとき、上記の分解はまさにイデアルの主分解である。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M=R}$

を取ると、上記の分解は、有限生成モジュールの関連する素数の集合がのときと同じであることを示しています（有限生成がなければ、関連する素数の数は無限に存在します）。 ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})\mid i\}}$ ${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$

関連する素数の性質

をネーター環とする。すると ${\displaystyle R}$

• の零因子の集合は、の関連する素数の和集合と同じである（これは、の零因子の集合が、その最大元が関連する素数である非零元の消滅集合の和集合であるためである）。^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• 同じ理由で、-加群の関連する素数の和は、まさに の零因子の集合、つまり自己準同型が単射ではないような元である。 ^[11] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}$
• 部分集合、-加群 が与えられたとき、かつとなるような部分加群 が存在する。^[12] ${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }$
• を乗法部分集合、を-加群、を交わらない素イデアル全体の成す集合とする。すると は一対一である。^[13]また、である。^[14] ${\displaystyle S\subset R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}$
• イデアルを含むことに関して最小の任意の素イデアルは、これらの素数とはまさに孤立した素数です。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}$
• 上の加群が有限長を持つ場合、かつ有限生成かつ最大イデアルから成る場合に限ります。^[15] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$
• をネーター環と上平坦な -加群との間の環準同型とする。すると、各-加群に対して、 ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$。^[16]

非ノイザンケース

次の定理は、環がそのイデアルに対して一次分解を持つための必要十分条件を与えます。

定理—は可換環とする。このとき、以下のものは同値である。 ${\displaystyle R}$

1. のすべてのイデアルには、主要な分解があります。 ${\displaystyle R}$
2. ${\displaystyle R}$次のプロパティがあります。
   • (L1) 任意の真イデアルと素イデアルに対して、局所化写像の下で の逆像となるような が存在する。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (I:x)}$ ${\displaystyle I\,R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$
   • (L2) 任意のイデアル に対して、 のすべての乗法的に閉じた部分集合にわたっての局所写像 による のすべての逆像の集合は有限である。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\,S^{-1}R}$ ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

証明はアティヤ＝マクドナルドの第4章に一連の練習問題として与えられている。^[17]

一次分解を持つイデアルには次の一意性定理が存在します。

定理—は可換環であり、イデアルであるとする。が最小の一次分解を持つと仮定する（「最小」とは、異なることを意味することに注意）。すると、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{r}{\mathfrak {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}}$

1. 集合 は、集合 内のすべての素イデアルの集合です。 ${\displaystyle E=\left\{{\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}\mid 1\leq i\leq r\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\sqrt {(I:x)}}\mid x\in R\right\}}$
2. の最小元の集合は、上の最小素イデアルの集合と同じである。さらに、最小素数に対応する主イデアルは の原像であり、したがって によって一意に決定される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$

ここで、任意の可換環、イデアル、および上の最小素数に対して、局所化写像による の逆像はを含む最小の -主イデアルです。^[18]このように、前の定理の設定では、最小素数に対応する主イデアルはを含む最小の-主イデアルでもあり、の -主成分と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\,R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$

たとえば、素数の累乗に一次分解がある場合、その- 一次成分は の- 番目の記号累乗になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

加法的なイデアル理論

この結果は、現在加法イデアル理論として知られる分野における最初の成果であり、この分野では、イデアルを特別なイデアルのクラスの交わりとして表現する方法を研究しています。「特別なクラス」、例えば一次イデアルのクラスを決定することは、それ自体が問題です。非可換環の場合、三次イデアルのクラスは一次イデアルのクラスの便利な代替となります。

注記

1. 一次分解では多項式の既約性をテストする必要があるが、これは非ゼロ特性ではアルゴリズム的に常に可能であるとは限らない。

1. Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina編 (2001). 代数幾何学の符号理論、物理学、計算への応用. ドルドレヒト: Springer Netherlands. ISBN 978-94-010-1011-5。
2. ヘルマン、G. (1926)。 "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale"。Mathematische Annalen (ドイツ語)。95 : 736–788。土井:10.1007/BF01206635。S2CID  115897210。
3. つまり、理想的な商です。 ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})}$
4. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、いいえ 1、提案 3。
5. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、いいえ 3、コロレール 1。
6. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、no 4、テオレーム 1。
7. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、いいえ 4、テオレム 2。
8. ブルバキ、第IV章、§2、第2項。定理1。
9. 分解の存在証明は（ブルバキの法則に従って）次の通りである。 をネーター環上の有限生成加群と部分加群とする。 が主分解を許容することを示すには、を に置き換えることで、 のとき となることを示せば十分である。さて、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle N=0}$

   ${\displaystyle 0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})}$

   ここで、 は の主部分加群です。言い換えると、の各関連付けられた素数に対して、となる主部分加群が存在する場合、0 は主分解を持ちます。ここで、集合 （ゼロが含まれているので空ではない）を考えます。はネーター加群であるため、集合 は最大元を持ちます。 が -主でない場合、例えば がに関連付けられている場合、何らかの部分加群 に対してとなり、最大性と矛盾します。したがって、は主であり、証明は完全です。注: 同じ証明から、、、がすべて次数付きである場合、分解のも次数付きと見なすことができることがわかります。 ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)}$ ${\displaystyle \{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'\neq P}$ ${\displaystyle M/Q}$ ${\displaystyle R/P'\simeq Q'/Q}$ ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{i}}$
10. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、結果 3。
11. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、結果 2。
12. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、命題 4。
13. ブルバキ、Ch. IV、§ 1、いいえ。 2、提案5。
14. 松村 1970, 7.C 補題
15. Cohn, PM (2003), Basic Algebra, Springer, Exercise 10.9.7, p. 391, ISBN 9780857294289。
16. ブルバキ、Ch. IV、§ 2. 定理 2.
17. アティヤ＆マクドナルド 1994
18. アティヤ＆マクドナルド 1994、第4章 演習11

参考文献

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• ブルバキ、代数可換
• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「ラスカー環」、数学百科事典、EMSプレス
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960特にセクション3.3。
• Hermann、Grete (1926)、「Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、95 : 736–788、doi :10.1007/BF01206635、S2CID  115897210英語訳はCommunications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30に掲載されています。
• Lasker, E. (1905)、「Zur Theorie der Moduln und Ideale」、Math。アン。、60 : 20–116、土井:10.1007/BF01447495、S2CID  120367750
• マルコフ、VT（2001）[1994]、「一次分解」、数学百科事典、EMSプレス
• 松村英之 (1970)、可換代数
• ネーター、エミー(1921)、「Ringbereichen の理想理論」、Mathematische Annalen、83 (1): 24–66、doi :10.1007/BF01464225
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• Krull、Wolfgang (1928)、「Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommmutativen Bereichen」、Mathematische Zeitschrift、28 (1): 481–503、doi :10.1007/BF01181179、S2CID  122870138

外部リンク

• 「一次分解は依然として重要か？」MathOverflow . 2012年8月21日.

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