一次線定数

Parameters of transmission lines

複数のツイストペア線を含む電話ケーブル

一次線路定数は、銅線ペアなどの導電性伝送線路の特性を、線路の物理的・電気的特性の観点から記述するパラメータです。一次線路定数は伝送線路にのみ関連し、二次線路定数とは対照的です。二次線路定数は一次線路定数から導出され、より一般的に適用可能です。二次線路定数は、例えば導波管と銅線の特性を比較するために使用できますが、一次線路定数は導波管には意味を持ちません。

定数は導体抵抗とインダクタンス、および絶縁体容量とコンダクタンスであり、慣例によりそれぞれR、L、C、Gという記号で表されます。定数は単位長さあたりの定数で列挙されます。これらの要素の回路表現には分布定数モデルが必要であり、したがって回路解析には微積分を用いる必要があります。この解析により、2つの一次連立線形偏微分方程式が得られ、これらを組み合わせることで特性インピーダンスと伝搬定数という二次定数を導出できます。

多くの特殊なケースでは、特にシンプルなソリューションと重要な実用的応用が存在します。低損失ケーブルでは、LとCのみを解析に含める必要があるため、ケーブル長が短い場合に便利です。ツイストペア電話回線などの低周波アプリケーションでは、 RとCのみが重要な役割を果たします。RF同軸ケーブルなどの高周波アプリケーションでは、 LとCが重要な役割を果たします。歪み防止のために負荷がかけられた回線では、解析に4つの要素すべてが必要ですが、シンプルで 洗練されたソリューションが存在します。

定数

主要な線路定数は4つありますが、状況によっては無視できるほど小さいものもあり、解析を簡略化することができます。これら4つの定数とその記号および単位は次のとおりです。

名前	シンボル	ユニット	単位記号
ループ抵抗	R	オーム/メートル	Ω/m
ループインダクタンス	L	ヘンリー/メートル	H/m
絶縁体容量	C	ファラッド/メートル	女性/男性
絶縁体伝導率	G	ジーメンス/メートル	S/m

RとLは線路と直列に接続される要素（導体の特性のため）であり、CとGは線路を分流する要素（導体間の 誘電体の特性のため）である。Gは誘電体を流れる漏れ電流を表し、ほとんどのケーブルでは非常に小さい。「ループ」という言葉は、両方の導体の抵抗とインダクタンスを考慮する必要があることを強調するために使用される。例えば、線路が2本の同一導体で構成され、それぞれの抵抗が25mΩ/mである場合、ループ抵抗はその2倍の50mΩ/mとなる。これらの定数の値は非常に小さいため、メーカーはメートル単位ではなくキロメートル単位で値を示すのが一般的である。英語圏では「マイル単位」も使用される。^{[1] [2]}

「定数」という言葉は誤解を招く可能性があります。これは、材料定数であることを意味しますが、周波数によって変化する可能性があります。特に、Rは表皮効果の影響を大きく受けます。さらに、Gは​​可聴周波数では実質的に影響を与えませんが、ケーブルに使用される多くの誘電体材料では、高い損失正接のために高周波で顕著な損失を引き起こす可能性があります。Gによる損失を回避するため、UHF用に設計された多くのケーブルは空気絶縁またはフォーム絶縁（実質的に空気絶縁）となっています。^[3]この文脈における定数の実際の意味は、パラメータが距離に対して一定であるということです。つまり、線路は長さ方向に均一であると仮定されます。この条件は、今日使用されている伝送線路の大部分に当てはまります。^[4]

一般的なケーブルの標準値

指定	ケーブル形式	応用	R	L †	G	C	Z 0
			Ω/km	μH/km	nS/km	nF/km	Ω
CAT5 [5]	ツイストペア	データ転送	176	490	<2	49	100
CAT5e [6]	ツイストペア	データ転送	176		<2		100
CW1308 [7]	ツイストペア	電話	98		20歳未満
RG59 [8]	同軸	ビデオ	36	430		69	75
RG59 [9]	同軸 （フォーム誘電体）	ビデオ	17	303		54	75
RG58 [10] [11]	同軸	無線周波数	48	253	<0.01	101	50
低損失[12]	同軸 （フォーム誘電体）	無線周波数 送信機フィード	2.86	188		75	50
DIN VDE 0816 [13]	スタークワッド	電話 （幹線）	31.8		<0.1	35

† メーカーはデータシートでインダクタンスの値を省略することがよくあります。これらの値の一部は、静電容量と特性インピーダンスの値から推定されます。 ${\displaystyle \scriptstyle {Z_{0}}^{2}=L/C}$

回路図

図1.分布定数素子を用いた伝送線路の等価回路図。δ L、δR、δC、δGはそれぞれL δ x、R δ x、C δ x、G δ xと読み替える。

線路定数は、回路内の集中定数として単純に表現することはできず、分布定数として記述する必要があります。例えば、容量の「断片」は抵抗の「断片」の間に存在します。RとCをどれだけ多くの断片に分割しても、回路を正しく表現するためには、さらに細分化する必要があるという議論は常に起こり得ます。そして、分割するごとに回路のメッシュ数が増加します。これは図1に図示されています。回路を正しく表現するためには、各要素が線路に沿って分散するように、要素を無限小に小さくする必要があります。無限小距離にある無限小要素は、次のように表されます。^[14] ${\displaystyle \scriptstyle dx}$

${\displaystyle dL=\lim _{\delta x\to 0}(L\delta x)=Ldx}$ 

${\displaystyle dR=\lim _{\delta x\to 0}(R\delta x)=Rdx}$ 

${\displaystyle dC=\lim _{\delta x\to 0}(C\delta x)=Cdx}$ 

${\displaystyle dG=\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx}$ 

図2一般化分布インピーダンスとアドミタンス要素を使用した伝送線路の表現。

解析の目的上、これらの要素を一般直列インピーダンスZとシャントアドミタンスY要素にまとめると便利です。

${\displaystyle dZ=(R+i\omega L)dx=Zdx\,,}$ そして、

${\displaystyle dY=(G+i\omega C)dx=Ydx\,.}$

このネットワーク（図2）を解析すると、二次線路定数が得られます。伝搬定数、（実部と虚部はそれぞれ減衰定数、、、位相変化定数、）と特性インピーダンス、（一般に、実部、、、虚部、、を持ち、4つの一次定数から導かれる二次定数は合計4つになります。二次定数については、「定数」という用語はさらに誤解を招きやすいものです。なぜなら、二次定数は通常、一次定数が周波数によって大きく変化しない理想的な状況であっても、周波数によって大きく変化するからです。これは、回路内のリアクタンス（および）が に依存するためです。一次定数の特定の値を選択して、 とが に依存しない（ヘビサイド条件）ようにすることも可能ですが、この場合でも はに正比例します。一次定数と同様に、「定数」の意味は、二次定数が線路に沿った距離によって変化しないという意味であり、周波数に依存しないという意味ではありません。^{[14] [15] [16]} ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle X_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega L}$ ${\displaystyle \scriptstyle 1/(\omega C)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

特性インピーダンス

図3.一次線路定数からZ ₀を計算するための伝送線路の等価回路

伝送線路の特性インピーダンス は、無限に長い線路を覗き込んだときのインピーダンスとして定義されます。このような線路は、入射波が終端に到達して反射されることがないため、反射を返すことはありません。線路の有限の長さを考えるとき、線路の残りの部分は、その等価回路に置き換えることができます。これは、線路の残りの部分が依然として無限に長く、したがって元の線路と等価であるためです。有限部分が非常に短い場合、等価回路では、 の要素と の要素を 1 つずつ含む L ネットワークでモデル化されます。残りの部分は で与えられます。この結果、図 3 に示すネットワークが得られ、これは通常のネットワーク分析定理^{[17] [18]を使用して について分析できます。} ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle dZ}$ ${\displaystyle \scriptstyle dY}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}}$

並べ替えると、

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}}$

両側の限界を取る

${\displaystyle \lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

そして、直線は長さ方向に均一であると仮定したので、

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

伝播定数

線路入力電圧と線路のさらに下流（等価回路の1セクション後）の電圧の比は、標準的な分圧器の計算によって与えられます。特性インピーダンスの計算と同様に、線路の右側の残りの部分は、 に置き換えられます。^{[19] [20]} ${\displaystyle \scriptstyle \delta x}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y}$

各微小区間は電圧降下に同じ係数を掛けます。区間を越えると電圧比は次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle n}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

線に沿った距離に応じて、セクションの数は、 ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle \scriptstyle x/\delta x}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

の極限において、 ${\displaystyle \scriptstyle \delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

2次の項は極限では消えるので、精度を損なうことなく次のように書くことができる。 ${\displaystyle \scriptstyle \delta Z\delta Y}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

そして数学的な恒等式と比較すると、

${\displaystyle e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}}$

収穫量、

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}}$

伝播定数の定義から、

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!}$

したがって、

${\displaystyle \gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}}$

特殊なケース

理想的な伝送線路

理想的な伝送線路は損失がなく、抵抗要素がゼロであることを意味します。また、特性インピーダンスは純粋な実数（抵抗性）となります。理想的な線路は実際には実現できませんが、多くの状況で有用な近似値となります。これは、例えば、スタブなどの回路部品として短い線路が使用されている場合に特に当てはまります。短い線路は損失が非常に小さいため、これを無視して理想線路として扱うことができます。このような状況における二次定数は以下のとおりです。^[21]

${\displaystyle \gamma =i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

ツイストペア

一般的に、オーディオ周波数や低データレートで使用されるツイストペアケーブルでは、線路定数はRとCによって支配されます。これらの周波数では誘電損失は通常無視でき、Gはゼロに近くなります。また、十分に低い周波数ではLも無視できます。このような状況では、二次定数は^{[22]のようになります。} ${\displaystyle \scriptstyle R\gg \omega L}$

${\displaystyle \gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle \beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}}$

このタイプのケーブルの減衰は周波数とともに増大し、波形に歪みが生じます。あまり目立ちませんが、周波数による の変化は、分散と呼ばれるタイプの歪みも引き起こします。分散を避けるには、 がに正比例することが求められます。しかし、実際には は に比例し、分散が生じます。 も周波数とともに変化し、部分的にリアクタンス性も持ちます。これらの特徴は両方とも、抵抗性回線終端からの反射の原因となります。これもまた望ましくない影響です。このタイプのケーブルに引用されている公称インピーダンスは、この場合非常に公称値であり、通常 800 Hz または 1 kHz で引用される 1 つのスポット周波数でのみ有効です。^{[23] [24]} ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\omega }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

同軸ケーブル

十分に高い周波数（中波無線周波数または高データレート）で動作するケーブルは、条件およびを満たす。これは、どのケーブルでも周波数が上昇するにつれて、最終的には必ず当てはまる。これらの条件下では、RとGは（ケーブル損失を計算する目的以外では）無視でき、二次定数は次のように表される。^[25] ${\displaystyle \scriptstyle R\ll \omega L}$ ${\displaystyle \scriptstyle G\ll \omega C}$

${\displaystyle \gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\displaystyle \beta \approx \omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

ロードライン

装荷線路とは、意図的にインダクタンスを増加させて設計された線路のことです。これは、ケーブルに鉄などの磁性金属を付加するか、コイルを追加することで実現されます。その目的は、線路がヘビサイド条件を満たすようにすることです。ヘビサイド条件は、周波数依存の減衰と分散による歪みを排除し、定数かつ抵抗性であることを保証します。ここで、二次定数は一次定数と以下の関係があります。^[26] ${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}}$

速度

伝播速度は次のように表される。

${\displaystyle v=\lambda f.}$

以来、

${\displaystyle \omega =2\pi f}$そして ${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

それから、

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}.}$

βが次のようにとれる場合、

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

伝播速度は次のように与えられる。

${\displaystyle v={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

静電容量が低いほど速度は速くなります。低損失ケーブルで近似される空気誘電体ケーブルの場合、伝播速度は真空中の光速であるcに非常に近くなります。^[27]

注記

1. コナー、8ページ。
2. バード、604～605ページ。
3. ポージェス、223～224ページ。
4. バード、502～503ページ、519ページ。
5. 「バルクケーブル - カテゴリー5 UTP 4ペアPVC」、Molexデータシート、1999年、2013年8月7日アーカイブ。
6. 「1583E CAT5E UTP PVC」、Beldenデータシート46077、1999年7月21日、2013年8月7日アーカイブ。
7. 「CW1308 内部通信ケーブル」、Wayback Machineで2016年3月4日にアーカイブ、Eland Cablesデータシート、2013年8月8日にアーカイブ。
8. 「8281 同軸 - 二重編組 RG-59/U タイプ」ベルデンデータシート、2007年5月14日、2013年8月7日アーカイブ。
9. 「シリアルデジタルビデオケーブル」、Beldenデータシート1865A、2013年8月7日アーカイブ。
10. 「Suhner同軸ケーブル」、Huber & Suhnerデータシート、2007年9月24日、2013年8月7日アーカイブ。
11. "RG58/U" Archived 7 October 2009 at the Wayback Machine、General Cableデータシート、74～76ページ。
12. 「7/8インチ Cellflex Lite 低損失フォーム誘電体同軸ケーブル」、RFS データシート LCF78-50JFNL、2006年10月24日、2013年8月7日アーカイブ。
13. 「トランクケーブル、アルミシースで絶縁された紙」Wayback Machineで2013年11月30日にアーカイブ、Nexusデータシート、2013年8月7日にアーカイブ。
14. コナー、pp.8–10。
15. ヒックマン、113ページ。
16. ポージェス、217ページ。
17. ポージェス、216～217ページ。
18. コナー、10～11ページ。
19. コナー、9～10ページ。
20. バード、609–611ページ。
21. コナー、17ページ。
22. コナー、18～19ページ。
23. バード、612～613ページ。
24. ポージェス、219ページ。
25. コナー、19ページ。
26. コナー、19～21ページ。
27. コナー、10、19-20ページ。

参考文献

• FRコナー『波動伝達』エドワード・アーノルド社、1972年ISBN 0-7131-3278-7。
• ジョン・バード著『電気回路理論と技術』ニューネス社、2007年ISBN 0-7506-8139-X。
• イアン・ヒックマン『アナログ・エレクトロニクス』ニューネス社、1999年ISBN 0-7506-4416-8。
• フレッド・ポージェス著『建物の電気設備の設計』 Taylor & Francis、1989年ISBN 0-419-14590-7。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Primary_line_constants&oldid=1321183659"