主支店

数学において、主枝とは、多価関数の1つの枝（「スライス」）を選択する関数のことである。これは、複素平面上で定義された関数に最もよく適用される。

例

\arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

あるいは

\arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]

。

$実数に限定された、より一般的な主分岐関数は、正の実数の1/2$ 乗の関数です。

たとえば、 $y = x 1/2$ という関係式を考えます。ここで、 $x$ は任意の正の実数です。

$この関係式は、 yの値が$ $x$ の平方根（正または負）に等しい場合に成立します。慣例により、 √xは $x$ の正の平方根を表します。

この例では、正の平方根関数が多値関係 $x 1/2$ の主枝として採用されています。

主分岐を見る 1 つの方法は、複素解析で定義されている指数関数と対数に特に注目することです。

指数関数は単一値であり、 $e z は$ 次のように定義されます。

e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b

どこ。 $z=a+ib$

しかし、三角関数の周期的な性質から、対数は必ずしも一意に定まるわけではないことがわかります。このことを理解する一つの方法は、次の式を見ることです。

\operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

そして

\operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k

ここで、 $k$ は任意の整数であり、 $atan2は$ $arctan(b/a)$ 関数の値をその主値範囲から $arg(z)$ 関数の主値範囲に継続し、複素平面の4つの象限すべてをカバーします。 $(-\pi /2,\;\pi /2]$ $a>0$ $(-\pi ,\;\pi ]$

このような基準で定義される任意の数 $log z は、$ $e log z = z$ という特性を持ちます。

このように、対数関数は多価関数（複素解析の文脈ではしばしば「多関数」と呼ばれる）である。通常、負の実軸に沿った分岐切断によって、虚部は $-π$ と $π$ の間に収まるように制限される。これらが選択された主値である。

これは対数関数の主要な分岐です。多くの場合、大文字の $Log z$ を使って定義されます。