主要な理想

Ring ideal generated by a single element of the ring

数学、特に環論において、主イデアルとは、環の単一の元に のすべての元を掛け合わせることで生成されるイデアルのことである。この用語は順序論 においても同様の意味で使われ、単一の元によって生成される半集合の（順序）イデアル、つまり のにおける より小さいか等しいすべての元の集合を指す。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

この記事の残りの部分では、リング理論の概念について説明します。

定義

• の左主イデアルは、ある元に対してによって与えられるの部分集合である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ ${\displaystyle a.}$
• の右主イデアルは、ある元に対してによって与えられるの部分集合である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$ ${\displaystyle a.}$
• の両側主イデアルは、何らかの元に対してによって与えられるの部分集合、すなわち、 の形の元すべての有限和の集合である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle ras.}$

両側主イデアルの定義は片側主イデアルの定義よりも複雑に見えるかもしれないが、イデアルが加法に対して閉じていることを保証する必要がある。^{[1] : 251–252}

が可換環である場合、上記の3つの概念はすべて同じである。その場合、 によって生成されるイデアルを と書くか、 と書くのが一般的である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle (a).}$

例と非例

• (可換)環の主イデアルは、実際には、 のすべてのイデアルが主イデアルである(§ 関連定義を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2n,-n,0,n,2n,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 任意の環 において、集合と は主イデアルです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$
• 任意の環と元に対して、イデアルとイデアルはそれぞれ定義により左主イデアル、右主イデアル、両側主イデアルである。例えば、は主イデアルである。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle Ra,aR,}$ ${\displaystyle RaR}$ ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$
• 2変数の複素多項式の可換環において、点の集合上のどこでも消える多項式の集合は主イデアルである。なぜなら、それは(で割り切れる多項式の集合) と書くことができるからである。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\mid x=0\}}$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle x}$
• 同じ環 において、 との両方によって生成されるイデアルは主イデアルではありません。（イデアルとは、定数項が零となるすべての多項式の集合です。）これを理解するには、の生成元が存在すると仮定しましょう。すると は の両方を含み、は と の両方を割り切れます。すると は零でない定数多項式でなければなりません。 は であるため、これは矛盾ですが、 における唯一の定数多項式は零多項式です。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle p\rangle .}$ ${\displaystyle \langle p\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \langle p\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• 環において、が偶数である数は非主イデアルを形成します。このイデアルは複素平面において正六角形格子を形成します。 と を考えてみましょう。これら の数は同じノルム（2）を持つこのイデアルの元ですが、環の単位元は と だけなので、これらは連想元ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ ${\displaystyle (1,1).}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1,}$

関連する定義

すべてのイデアルが主である環は主イデアル環、あるいは主イデアル環と呼ばれます。主イデアル域(PID) は、すべてのイデアルが主である整域です。任意の PID は一意の因数分解域です。整数における一意の因数分解の通常の証明（いわゆる算術の基本定理）は、任意の PID において成立します。

例えば、は主イデアル領域であり、以下のように示されます。 を仮定し、の射影準同型写像を考えます。は有限なので、十分に大きい に対してが成り立ちます。したがって、 は常に有限生成となります。任意の整数 と によって生成されるイデアルは と が生成元数に関する帰納法によってちょうど等しいので、が主イデアルであることが分かります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$

プロパティ

任意のユークリッド整域はPIDである。最大公約数を計算するアルゴリズムは、任意のイデアルの生成元を見つけるのに使用できる。より一般的には、可換環の任意の2つの主イデアルは、イデアル乗法の意味で最大公約数を持つ。主イデアル整域では、これにより、単位イデアル乗法を除いた環の元の最大公約数を計算することができる。任意のイデアルの生成元を と定義する。 ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

デデキント整域 について、主でないイデアルが与えられたとき、の拡大が存在し、によって生成されるのイデアルが主となる（より緩く言えば、において主となる）かどうかも問うことができる。この問題は、数論における代数的整数環（デデキント整域の例）の研究に関連して生じ、高木貞治、エミール・アルティン、ダヴィド・ヒルベルトをはじめとする多くの人々による類体論の発展につながった。 ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$

類体論の主イデアル定理は、任意の整数環（つまり、ある数体の整数環）は、のすべてのイデアルがの主イデアルになるという性質を持つより大きな整数環に含まれることを述べています。この定理では、を のヒルベルト類体の整数環、つまり の分数体の最大非分岐アーベル拡大（つまり、ガロア群がアーベル であるガロア拡大）とすることができ、これは次のように一意に決定されます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R.}$

クルルの主イデアル定理によれば、 がネーター環であり の主真イデアルである場合、の高さは最大で 1 になります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$

参照

• 主イデアルの上昇連鎖条件

参考文献

1. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2003-07-14).抽象代数（第3版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-43334-9。

• ガリアン、ジョセフ・A. (2017). 『現代抽象代数』（第9版）. Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0。

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