プロビット

確率を標準正規分布のスコアに変換する統計関数

プロビット関数のプロット

統計学において、プロビット関数は確率（0から1の間の数値）をスコアに変換します。このスコアは、標準正規分布（または「ベル曲線」）における値が平均値から何標準偏差離れているかを示します。例えば、確率0.5（50%）は分布のちょうど中央を表すため、プロビットスコアは0です。確率が0.025（2.5%）のように小さい場合は、曲線の左端に位置し、プロビットスコアは約-1.96になります。

この関数は、二値結果（成功/失敗、合格/不合格など）に対する回帰分析の一種であるプロビットモデルで広く用いられています。この関数は、殺虫剤の濃度によって殺虫される害虫の割合がどのように変化するかといった用量反応関係を分析するために、毒物学の分野で初めて開発されました。 ^[1]プロビット関数は、データセットが正規分布しているかどうかを評価するためのグラフィカルツールであるQ-Qプロットの作成にも用いられます。

数学的には、プロビット関数は標準正規分布に関連付けられた分位関数（累積分布関数（CDF）の逆関数）です。CDFを と表記すると、プロビット関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Phi (z)}$

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)}$。

これは、任意の確率 に対して、プロビット関数はの左側の標準正規曲線の下の領域が に等しくなるような値を見つけることを意味します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

概念開発

プロビット関数のアイデアは、チェスター・イトナー・ブリスが1934年にサイエンス誌に発表した論文で、殺虫剤によって殺された害虫の割合などのデータの扱い方について論じたものである。^[1]ブリスは、殺虫率を現代の定義（彼は0.0001の場合は0、0.9999の場合は1と任意に定義した）に線形関係にある「確率単位」（または「プロビット」）に変換することを提案した。^[2]

これらの任意の確率単位は「プロビット」と呼ばれています...

彼は、他の研究者が殺傷率を彼のプロビットに変換できるように表を添付しました。この表を投与量の対数に対してプロットすることで、ほぼ直線が得られることが期待されました。このようないわゆるプロビットモデルは、毒物学をはじめとする様々な分野で現在も重要です。このアプローチは、特に、被験者間の反応変動が、試験における耐性の対数正規分布として合理化できる場合に正当化されます。この場合、特定の被験者の耐性は、関心のある反応にちょうど十分な投与量となります。

Bliss によって導入された手法は、 DJ Finney著の毒物学への応用に関する重要なテキストであるProbit Analysisに引き継がれました。^{[3] [4]} Finney によって表された値は、ここで定義されたプロビットに 5 を加算することで得られます。この区別は Collett によって要約されています (p. 55): ^[5]「[5 を加算した] プロビットの元の定義は、主に負のプロビットを扱わなくても済むようにするためのものでした。... この定義は現在でも一部で使用されていますが、プロビット分析と呼ばれる主要な統計ソフトウェア パッケージでは、プロビットに 5 を加算せずに定義されています。」プロビット関数のフィッティングのための数値最適化を含むプロビット手法は、電子計算が広く普及する前に導入されました。表を使用する場合、プロビットが一様に正であると便利でした。一般的な応用分野では、正のプロビットは不要です。

対称性

中心極限定理のおかげで、標準正規分布は確率論と統計学において基本的な役割を果たしています。標準正規分布では確率の95%が-1.96と1.96の間にあり、ゼロを中心に対称であるというよく知られた事実を考慮すると、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \Phi (-1.96)=0.025=1-\Phi (1.96).\,\!}$

プロビット関数は「逆」計算を行い、指定された累積確率に関連付けられた標準正規分布の確率変数の値を生成します。例を続けると、

${\displaystyle \operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975)}$。

一般的に、

${\displaystyle \Phi (\operatorname {probit} (p))=p}$

そして

${\displaystyle \operatorname {probit} (\Phi (z))=z.}$

分布の正規分布からの逸脱の診断

プロビット関数は、重要な種類の回帰分析の基礎となるだけでなく、Q-Q プロット法に従って正規分布からの偏差を診断するための統計分析にも役立ちます。データ セットが実際に正規分布のサンプルである場合、値とプロビット スコアのプロットはほぼ線形になります。非対称性、重い裾、二峰性など、正規分布からの特定の偏差は、線形性からの特定の偏差の検出に基づいて診断できます。Q-Q プロットは任意の分布族 (正規分布に限らない) との比較に使用できますが、正規 Q-Q プロットは、正規性の仮定が分析の出発点となることが多いため、比較的標準的な探索的データ分析手順です。

計算

正規分布のCDFとその逆関数は閉形式では利用できず、計算には数値計算手順を慎重に用いる必要がある。しかし、これらの関数は統計・確率モデリングソフトウェアやスプレッドシートで広く利用可能である。逆誤差関数の数値実装が利用可能な計算環境では、プロビット関数は次のように得られる。

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}$

例えばMATLABでは、「erfinv」関数が利用可能です。Mathematica言語では「InverseErf」が実装されています。他の環境では、以下のRコードに示すように、プロビット関数が直接実装されています。

> qnorm ( 0.025 ) [1] -1.959964 > pnorm ( -1.96 ) [1] 0.02499790

逆誤差関数の計算方法の詳細は[1]を参照のこと。Wichuraはプロビット関数を小数点16桁まで高速に計算するアルゴリズムを提供しており、これはRで正規分布の乱数を生成するために使用されている。^[6]

プロビット関数の常微分方程式

もう一つの計算方法は、スタインブレッチャーとショーの方法に従って、プロビットの非線形常微分方程式（ODE）を形成することに基づく。^[7]プロビット関数を と略記すると、ODEは次のようになる。 ${\displaystyle w(p)}$

${\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}}$

ここで、 wの確率密度関数です。 ${\displaystyle f(w)}$

ガウス分布の場合:

${\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\sqrt {2\pi }}\ e^{\frac {w^{2}}{2}}}$

もう一度区別します:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$

中心（初期）条件

${\displaystyle w\left(1/2\right)=0,}$

${\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.}$

この方程式は、古典的なべき級数法を含むいくつかの方法で解くことができます。これにより、逆誤差関数の級数に対するスタインブレッチャーのアプローチに基づいて、任意の高精度の解を得ることができます。べき級数解は次のように与えられます。

${\displaystyle w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{(2k+1)}}$

ここで係数は非線形回帰を満たす ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k+1}={\frac {\pi }{4}}\sum _{j=0}^{k}{\frac {d_{j}d_{k-j}}{(j+1)(2j+1)}}}$

とします。この形式では、比率は となります。 ${\displaystyle d_{0}=1}$ ${\displaystyle d_{k+1}/d_{k}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

ロジット

ロジット関数とスケール プロビット (つまり、正規分布の逆CDF )を比較します。とを比較すると、原点での傾きが同じになります。 ${\displaystyle \operatorname {logit} (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(x)/{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}}$

プロビット関数（およびプロビットモデル）と密接に関連しているのがロジット関数とロジットモデルである。ロジット関数の逆関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\log \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

プロビットモデルと同様に、このような量は一連の予測変数と線形関係にあると仮定することができ、その結果としてロジットモデルが生まれます。ロジットモデルは、特にロジスティック回帰モデルの基礎となり、カテゴリカルな応答データに対する回帰分析の最も一般的な形式となっています。現在の統計実務では、プロビット回帰モデルとロジット回帰モデルは、一般化線形モデルの一部として扱われることが多いです。

参照

• 検出誤差トレードオフグラフ（DETグラフ、ROCの代替）
• ロジスティック回帰（別名ロジットモデル）
• ロジット
• プロビットモデル
• 多項プロビット
• Q–Qプロット
• 連続関数
• 単調関数
• 分位関数
• シグモイド関数
• チェスター・ブリスによって開発されたランキット分析
• リディットスコアリング

参考文献

1. Bliss, CI (1934). 「プロビット法」. Science . 79 (2037): 38– 39. Bibcode :1934Sci....79...38B. doi :10.1126/science.79.2037.38. JSTOR  1659792. PMID  17813446.
2. ブリス1934年、39ページ。
3. Finney, DJ (1947).プロビット分析（第1版）. ケンブリッジ大学出版局. ケンブリッジ大学出版局.
4. Finney, DJ (1971). プロビット分析（第3版）. ケンブリッジ大学出版局, ケンブリッジ, イギリス. ISBN 0-521-08041-X. OCLC  174198382.
5. Collett, D. (1991).バイナリデータのモデリング. Chapman and Hall / CRC.
6. Wichura, MJ (1988). 「アルゴリズムAS241：正規分布のパーセントポイント」（PDF） .応用統計学. 37 (3). Blackwell Publishing: 477– 484. doi :10.2307/2347330. JSTOR  2347330.
7. Steinbrecher, G.; Shaw, WT (2008). 「Quantile mechanics」（PDF） . European Journal of Applied Mathematics . 19 (2): 87– 112. doi :10.1017/S0956792508007341. S2CID  6899308.

外部リンク

• リンク関数はどれですか？ ロジット、プロビット、クロッグログ？ 2023年4月12日

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