工程能力指数

プロセス能力指数（またはプロセス能力比率）は、プロセス能力、すなわちエンジニアリングプロセスが仕様限界内で出力を生成する能力の統計的尺度です。 ^[1] プロセス能力の概念は、統計的管理状態にあるプロセスに対してのみ意味を持ちます。つまり、位置ずれ、損傷、摩耗した機器など、予期しない偏差を考慮することはできません。プロセス能力指数は、プロセスが仕様限界に対してどの程度の「自然変動」を経験するかを測定し、組織がそれらをどの程度適切に管理しているかを異なるプロセス間で比較することを可能にします。やや直感に反しますが、指数値が高いほどパフォーマンスが優れていることを示し、ゼロは高い偏差を示します。

専門家以外の人向けの例

ある会社が旋盤で公称直径 20 mm の車軸を製造しています。車軸を正確に20 mm にすることは不可能なので、設計者は最大許容偏差（公差または仕様限界と呼ばれる）を指定します。たとえば、車軸は 19.9 ～ 20.2 mm にする必要があるという要件があります。工程能力指数は、製造された車軸がこの要件を満たす可能性を測る尺度です。この指数は、統計的（自然）変動にのみ関係します。これらは、特定の原因なく自然に発生する変動です。対処されていないエラーには、オペレーターのエラーや、間違ったまたは予測できないツール位置をもたらす旋盤のメカニズムの遊びが含まれます。後者の種類のエラーが発生した場合、プロセスは統計的管理状態ではありません。この場合、工程能力指数は無意味です。

導入

プロセスの上限と下限の仕様限界が USL と LSL であり、目標プロセス平均が T であり、プロセスの推定平均がであり、プロセスの推定変動性 (標準偏差で表される) がである場合、一般的に受け入れられているプロセス能力指標には次のものがあります。 ${\hat {\mu }}$ ${\hat {\sigma }}$

索引	説明
${\hat {C}}_{p}={\frac {\text{USL - LSL}}{6{\hat {\sigma }}}}$	工程平均が規格限界内に中心化した場合、工程が生産できる量を推定します。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。
${\hat {C}}_{p,{\text{lower}}}={{\hat {\mu}}-{\text{LSL}} \over 3{\hat {\sigma }}}$	下限値のみで構成される仕様（例えば強度）の工程能力を推定します。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。
${\hat {C}}_{p,{\text{upper}}}={{\text{USL}}-{\hat {\mu }} \over 3{\hat {\sigma }}}$	上限値のみで構成される仕様（例えば濃度）の工程能力を推定します。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。
${\hat {C}}_{pk}=\min {\Bigg [}{{\text{USL}}-{\hat {\mu }} \over 3{\hat {\sigma }}},{{\hat {\mu }}-{\text{LSL}} \over 3{\hat {\sigma }}}{\Bigg ]}$	工程平均が仕様限界内で中心化されない可能性があることを考慮して、工程が生産できる量を推定します。（工程平均が中心化されていない場合、工程能力は過大評価されます。）工程平均が仕様限界外にある場合。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。 ${\hat {C}}_{p}$ ${\hat {C}}_{pk}<0$
${\hat {C}}_{pm}={\frac {{\hat {C}}_{p}}{\sqrt {1+\left({\frac {{\hat {\mu }}-T}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}}}}$	目標値Tを中心とした工程能力を推定します。T は常にゼロより大きい値です。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。タグチ能力指数とも呼ばれます。^[2] ${\hat {C}}_{pm}$ ${\hat {C}}_{pm}$
${\hat {C}}_{pkm}={\frac {{\hat {C}}_{pk}}{\sqrt {1+\left({\frac {{\hat {\mu }}-T}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}}}}$	目標値T付近の工程能力を推定し、中心から外れた工程平均を考慮します。工程出力はほぼ正規分布に従うと仮定します。

${\hat {\sigma }}$ サンプル標準偏差を使用して推定されます。

推奨値

工程能力指数は、値が大きくなるにつれて、より望ましい能力を表すように構築されています。ゼロに近い値またはゼロ未満の値は、工程が目標値から大きく外れている（Tから大きく離れている）か、変動が大きいことを示します。 ${\hat {\mu }}$

最低限の「許容可能な」工程能力目標値を設定することは個人の意見の問題であり、どのようなコンセンサスが存在するかは業界、施設、そして検討対象のプロセスによって異なります。例えば、自動車業界では、自動車業界行動グループが「生産部品承認プロセス」第4版において、品質に重要な工程特性の推奨C _pk最小値に関するガイドラインを定めています。しかし、これらの基準は議論の余地があり、適切に評価されていないという理由だけで、一部の工程の能力が評価されない場合があります。

工程能力は仕様の関数であるため、工程能力指数（PCI）の精度は仕様に左右されます。例えば、部品の機能や重要性を考慮せずにエンジニアリングガイドラインから仕様が導き出された場合は、工程能力に関する議論は無意味であり、部品が仕様から外れた場合の真のリスクに焦点を当てた方が有益です。田口の損失関数は、この概念をよりよく表しています。

少なくとも1人の学術専門家は^[3]次のように推奨している。

状況	両面仕様の推奨最小工程能力	片側仕様の推奨最小工程能力
既存のプロセス	1.33	1.25
新しいプロセス	1.50	1.45
既存プロセスの安全性または重要なパラメータ	1.50	1.45
新しいプロセスの安全性または重要なパラメータ	1.67	1.60
シックスシグマ品質プロセス	2.00	2.00

しかし、プロセスが2.5を超える能力指数を持つ特性を生成する場合、不必要な精度はコストがかかる可能性がある。^[4]

プロセスフォールアウトの測定との関係

_{C pk}などのプロセス能力指標からプロセスフォールアウトの指標へのマッピングは簡単です。プロセスフォールアウトは、プロセスが生成する欠陥数を定量化し、DPMOまたはPPMで測定されます。プロセス歩留まりは、プロセスフォールアウトの補数であり、プロセス出力がほぼ正規分布に従う場合、確率密度関数の下の面積にほぼ等しくなります。 $\Phi (\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{-t^{2}/2}\,dt$

短期的（「短期シグマ」）には、関係は次のようになります。

C _p	シグマレベル（σ）	下の領域確率密度関数 $\Phi (\sigma )$	プロセス収率	プロセスのフォールアウト（DPMO/PPMの観点から）
0.33	1	0.6826894921	68.27%	317311
0.67	2	0.9544997361	95.45%	45500
1.00	3	0.9973002039	99.73%	2700
1.33	4	0.9999366575	99.99%	63
1.67	5	0.9999994267	99.9999%	1
2.00	6	0.9999999980	99.9999998%	0.002

長期的には、プロセスは大きくシフトしたり、ドリフトしたりする可能性があります（ほとんどの管理図は、プロセス出力の1.5σ以上の変化にのみ反応します）。もしプロセスにおいて目標値から1.5σのシフト（シックスシグマ参照）があった場合、以下の関係式が成立します。^[5]

C _p	調整済みシグマレベル（σ）	下の領域確率密度関数 $\Phi (\sigma )$	プロセス収率	プロセスのフォールアウト（DPMO/PPMの観点から）
0.33	1	0.3085375387	30.85%	691462
0.67	2	0.6914624613	69.15%	308538
1.00	3	0.9331927987	93.32%	66807
1.33	4	0.9937903347	99.38%	6209
1.67	5	0.9997673709	99.9767%	232.6
2.00	6	0.9999966023	99.99966%	3.40

プロセスは長期的に大きくシフトまたはドリフトする可能性があるため、各プロセスには固有のシグマシフト値があり、統計的制御が必要となるため、プロセス能力指標はあまり適用できません。

例

目標値が100.00 μm 、規格上限値が106.00 μm、規格下限値が94.00 μmである品質特性を考えてみましょう。しばらく工程を注意深く監視した結果、工程が適切に管理され、予測通りの出力が得られている（下のランチャートに示されているように）と判断された場合、その平均値と標準偏差を有意に推定することができます。

とがそれぞれ98.94μmと1.03μmと推定されると、 ${\hat {\mu }}$ ${\hat {\sigma }}$

索引
${\hat {C}}_{p}={\frac {\text{USL - LSL}}{6{\hat {\sigma }}}}={\frac {106.00-94.00}{6\times 1.03}}=1.94$
${\hat {C}}_{pk}=\min {\Bigg [}{{\text{USL}}-{\hat {\mu }} \over 3{\hat {\sigma }}},{{\hat {\mu }}-{\text{LSL}} \over 3{\hat {\sigma }}}{\Bigg ]}=\min {\Bigg [}{106.00-98.94 \over 3\times 1.03},{98.94-94 \over 3\times 1.03}{\Bigg ]}=1.60$
${\hat {C}}_{pm}={\frac {{\hat {C}}_{p}}{\sqrt {1+\left({\frac {{\hat {\mu }}-T}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}}}}={\frac {1.94}{\sqrt {1+\left({\frac {98.94-100.00}{1.03}}\right)^{2}}}}=1.35$
${\hat {C}}_{pkm}={\frac {{\hat {C}}_{pk}}{\sqrt {1+\left({\frac {{\hat {\mu }}-T}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}}}}={\frac {1.60}{\sqrt {1+\left({\frac {98.94-100.00}{1.03}}\right)^{2}}}}=1.11$

プロセスが中心から外れて（ターゲットより約 1σ 下）実行されているという事実は、 C _p、 C _pk、 C _pm、および C _pkmの値が著しく異なることに反映されています。

参照

参考文献

^ 「プロセス能力とは何か？」www.itl.nist.gov .米国国立標準技術研究所. 2008年6月22日閲覧。
^ ボイルズ、ラッセル (1991). 「田口能力指数」. Journal of Quality Technology . 第23巻第1号.ミルウォーキー、ウィスコンシン州：アメリカ品質管理協会. pp. 17– 26. ISSN 0022-4065. OCLC 1800135.
^ モンゴメリー、ダグラス（2004年）『統計的品質管理入門』ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、p.776、ISBN 978-0-471-65631-9. OCLC 56729567. 2008年6月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Booker, JM; Raines, M.; Swift, KG (2001). 『高性能で信頼性の高い製品の設計』オックスフォード：バターワース・ハイネマン. ISBN 978-0-7506-5076-2. OCLC 47030836。
^ “Sigma Conversion Calculator | BMGI.org”. bmgi.org . 2016年3月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年3月17日閲覧。

[1] 「プロセス能力とは何か？」www.itl.nist.gov .米国国立標準技術研究所. 2008年6月22日閲覧。

[2] ボイルズ、ラッセル (1991). 「田口能力指数」. Journal of Quality Technology . 第23巻第1号.ミルウォーキー、ウィスコンシン州：アメリカ品質管理協会. pp. 17– 26. ISSN 0022-4065. OCLC 1800135.

[3] モンゴメリー、ダグラス（2004年）『統計的品質管理入門』ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、p.776、ISBN 978-0-471-65631-9. OCLC 56729567. 2008年6月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[4] Booker, JM; Raines, M.; Swift, KG (2001). 『高性能で信頼性の高い製品の設計』オックスフォード：バターワース・ハイネマン. ISBN 978-0-7506-5076-2. OCLC 47030836。

[5] “Sigma Conversion Calculator | BMGI.org”. bmgi.org . 2016年3月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年3月17日閲覧。