積（圏論）

Generalized object in category theory

圏論において、ある圏における2つ（またはそれ以上）のオブジェクトの積は、集合の直積、群または環の直積、位相空間の積といった他の数学分野における構成の本質を捉えるために設計された概念である。本質的に、オブジェクトの族の積は、与えられたオブジェクトのそれぞれに射を許容する「最も一般的な」オブジェクトである。

意味

2つのオブジェクトの積

カテゴリを固定し、をの対象とします。と の積は、 通常、次の普遍特性を満たす一対の射を備えた と表記される対象です。 ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \pi _{1}:X\to X_{1},}$ ${\displaystyle \pi _{2}:X\to X_{2}}$

• すべてのオブジェクトとすべての射のペアに対して、次の図が可換となる一意の射が存在します。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:Y\to X_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}:Y\to X_{2},}$ ${\displaystyle f:Y\to X_{1}\times X_{2}}$

  

  製品の普遍的な特性

積が存在するかどうかは、またはと に依存する場合があります 。存在する場合、 の普遍性により、標準同型 を除いて一意であるため、の積について話すことができます。これは次の意味を持ちます。 が別の積である場合、および となる一意の同型が存在する。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}.}$ ${\displaystyle X',\pi _{1}',\pi _{2}'}$ ${\displaystyle h:X'\to X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}'=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle \pi _{2}'=\pi _{2}\circ h}$

射影 とは、標準射影または射影射と呼ばれます。文字 は射影 の頭韻を踏みます。 と が与えられたとき、唯一の射影はとの射影の積と呼ばれ、、、 と表記されることがあります。 ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle }$ ${\displaystyle f_{1}\times f_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}}$

任意のファミリーの製品

2つのオブジェクトの代わりに、集合でインデックス付けされた任意のオブジェクト群から始めることができる。 ${\displaystyle I.}$

オブジェクトのファミリーが与えられた場合、ファミリーの積は次の普遍的性質を満たす 射を備えたオブジェクトです。 ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i},}$

• あらゆるオブジェクトとあらゆる-添字付き射の族に対して、次の図式がすべての射に対して可換となるような唯一の射が存在する。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I:}$

  

  積の普遍積

積はと表され、射の積は と表される。 ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle .}$

方程式による定義

あるいは、積は方程式で定義することもできます。例えば、2項積の場合は次のようになります。

• の存在は操作の存在によって保証される ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$
• 上の図の可換性は、すべての場合とすべての場合の等式によって保証されます。 ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\},}$ ${\displaystyle \pi _{i}\circ \left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =f_{i}}$
• の一意性は、すべての^[1]に対して次の等式によって保証される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:Y\to X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \left\langle \pi _{1}\circ g,\pi _{2}\circ g\right\rangle =g.}$

限界として

積は極限の特殊なケースである。これは、離散圏（恒等射以外の射を持たないオブジェクトの族）を極限の定義に必要な図式として用いることで理解できる。離散オブジェクトは、成分と射影のインデックスとして機能する。この図式を関手と見なすと、それは離散圏として考えられたインデックス集合からの関手となる。したがって、積の定義は極限の定義と一致し、は錐であり、射影は極限（極限錐）となる。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{f\}_{i}}$

普遍的な財産

極限が普遍構成の特殊なケースであるのと同様に、積 も普遍構成 の特殊なケースです。極限の普遍特性 の定義から始めて、を2つのオブジェクトを持つ離散カテゴリとしてとると、 は単に積カテゴリになります。 対角関数は各オブジェクトに順序付きペアを割り当て、各射にペアを割り当てます。の積は、関数から のオブジェクトへの普遍射によって与えられます。この普遍射は、 のオブジェクトと、射影を含む射から構成されます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle \Delta :\mathbf {C} \to \mathbf {C} \times \mathbf {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f).}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X_{1},X_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,X)\to \left(X_{1},X_{2}\right)}$

例

集合の圏において、積は（圏論的な意味では）直積である。集合族が与えられたとき、その積は標準射影を用いて次のように定義される 。 ${\displaystyle X_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}:=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in X_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}$$ $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},\quad \pi _{j}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in I}\right):=x_{j}.}$$関数族を持つ任意の集合が与えられたとき、 普遍的な矢印は次のように定義される。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle f(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}.}$

その他の例:

• 位相空間のカテゴリにおいて、積とは、その基礎集合が直積であり、かつ積位相を持つ空間のことである。積位相とは、すべての射影が連続となる最も粗い位相である。
• ある環上の加群のカテゴリでは、積は成分ごとに定義された加算と分配乗算を持つ直積です。 ${\displaystyle R,}$
• 群のカテゴリでは、積は、成分ごとに定義された乗算を伴う直積によって与えられる群の直積です。
• グラフのカテゴリでは、積はグラフのテンソル積です。
• 関係の圏では、積は互いに素な和によって与えられます。（集合の圏は関係の圏のサブカテゴリーであることを考えると、これは少し意外に思われるかもしれません。）
• 代数多様体のカテゴリでは、積はセグレ埋め込みによって与えられる。
• 半アーベルモノイドのカテゴリでは、積は履歴モノイドによって与えられます。
• バナッハ空間と短写像のカテゴリでは、積はl∞ノルム^を持つ。^[2]
• 半順序集合は、順序関係を射として用いることで圏として扱うことができます。この場合、積と余積は、最大の下限（meets）と最小の上限（join）に対応します。

議論

積が存在しない例: 体のカテゴリでは、との両方に準同型を持つ体は存在しないので、積は存在しない。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \times F_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F_{p}.}$

別の例:空積(つまり、空集合) は終端オブジェクトと同じであり、無限群のカテゴリなどの一部のカテゴリには終端オブジェクトがありません。任意の無限群に対して無限個の射が存在するため、終端にすることはできません。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G,}$ ${\displaystyle G}$

が集合であって、で添え字付けされた族のすべての積が存在するとき、各積を関数として扱うことができる^[3]。この関数がどのようにオブジェクトを写像するかは明らかである。射の写像は微妙である。なぜなら、上で定義した射の積は当てはまらないからである。まず、双関数である二項積関数 を考える。 に対して射を見つけるべきである。 を選択する。この射に対する演算は射の直積と呼ばれる。^[4]次に、一般の積関数 を考える。族 に対して射を見つけるべきである。を選択する。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{I}\to \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y_{1},f_{2}:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}.}$ ${\displaystyle \left\langle f_{1}\circ \pi _{1},f_{2}\circ \pi _{2}\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\{X\right\}_{i},\left\{Y\right\}_{i},f_{i}:X_{i}\to Y_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ \pi _{i}\right\}_{i}.}$

すべての有限のオブジェクトの集合が積を持つカテゴリは、デカルトカテゴリ^[4]と呼ばれることもあります （ただし、一部の著者はこのフレーズを「すべての有限の限界を持つカテゴリ」の意味で使用しています）。

積は結合的です。がデカルト圏で、積関数が上記のように選択され、の終端オブジェクトを表すと仮定します。すると、自然同型が成り立ちます。 これらの特性は、可換モノイドの特性と形式的には類似しています。有限積を持つデカルト圏は、対称モノイド圏の例です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,}$$ $${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,}$$ $${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X.}$$

分配性

有限積と有限余積を持つ圏の任意の対象に対して、正準射が存在します。ここでプラス記号は余積を表します。これを理解するには、余積の普遍性により、次の図を満たす唯一の矢印が存在することを保証することに注意してください（誘導矢印は破線で示されています）。 ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z}$

積の普遍性は、上図の破線矢印によって誘導される唯一の射を保証する。分配圏とは、この射が実際に同型となるような圏である。したがって、分配圏には、標準同型が存在する。 ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$ $${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).}$$

参照

• 共積 –積の双対
• 対角関数 –積関数の左随伴関数。
• 極限と余極限 – 数学的概念
• イコライザー – 2つ以上の関数が同じ値を持つ引数のセット
• 逆極限 – 圏論における構成
• デカルトの閉圏 – 圏論における圏の種類
• カテゴリー的引き戻し – 同じ余域を持つ2つの射が与えられた場合の可換平方の最も一般的な完備化Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. Lambek J., Scott PJ (1988). 『高階カテゴリー論理入門』 ケンブリッジ大学出版局. p. 304.
2. Qiaochu Yuan (2012年6月23日). 「バナッハ空間（およびローヴェア計量、閉圏）」. Annoying Precision .
3. レーン、S. マック (1988). 『現役数学者のためのカテゴリー』（第1版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. p. 37. ISBN 0-387-90035-7。
4. Michael Barr, Charles Wells (1999). カテゴリー理論 – ESSLLI講義ノート. p. 62. 2011年4月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。

• アダメク、イジー。ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ E. ストレッカー (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6。
• Barr, Michael; Charles Wells (1999). 計算科学のための圏論(PDF) . Les Publications CRM Montreal (出版物 PM023). 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2016年3月21日閲覧。第5章。
• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト 5 (第2版). シュプリンガー. ISBN 0-387-98403-8。
• 定義2.1.1 Borceux, Francis (1994).圏論代数ハンドブック. 数学とその応用百科事典 第1巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 39. ISBN 0-521-44178-1。

外部リンク

• 有限集合のカテゴリにおける積の例を生成するインタラクティブなウェブページ。作者：Jocelyn Paine。
• nラボの製品

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