積（数学）

Mathematical form

数学において、積とは乗算の結果、または乗算されるオブジェクト（数値または変数）を識別する式であり、因数と呼ばれます。たとえば、21は3と7（乗算の結果）の積であり、と（2つの因数を掛け合わせる必要があることを示す）の積です。因数の1つが整数の場合、その積は倍数と 呼ばれます ${\displaystyle x\cdot (2+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (2+x)}$

実数または複素数を掛け合わせる順序は積には影響しません。これは乗法の交換法則として知られています。行列や他の様々な結合代数の元を掛け合わせる場合、積は通常、因数の順序によって決まります。例えば、行列の掛け合わせは非可換であり、他の代数における掛け合わせも一般的に非可換です。

数学にはさまざまな種類の積があります。数、多項式、行列を掛け合わせるだけでなく、多くの異なる代数構造上の積を定義することもできます。

2つの数の積

もともと、積は2つ以上の数の掛け合わせの結果であり、現在もそうです。たとえば、15は3と5の積です。算術の基本定理によれば、すべての合成数は素数の積であり、因数の順序を除いて一意です

15世紀末に数学表記法と変数が導入されたことで、指定されていない数（係数とパラメータ）や、求められる数（未知数）の乗算を考えることが一般的になりました。これらの効果的に実行できない乗算は積と呼ばれます。例えば、線形方程式 では、項は係数と未知数の積を表します。 ${\displaystyle ax+b=0,}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x.}$

その後、基本的に19世紀以降、数値を全く含まない新しい二項演算が導入され、積と呼ばれています。例えば、ドット積などです。この記事の大部分は、このような数値以外の積について説明しています。

数列の積

数列の積の積演算子は、ギリシャ文字の大文字π Πで表されます（和の記号として大文字のシグマΣを使用するのと同様に）。 ^[1]例えば、式は⁠ ⁠の別の書き方です。^[2] ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$ ${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

1つの数だけからなる数列の積はその数そのものです。因数を全く含まない数列の積は空積と呼ばれ、1に等しくなります。

可換環

可換環には積の演算があります。

整数の剰余類

環の剰余類は次のように加算できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

および乗算できます。

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

畳み込み

方形波とそれ自身との畳み込みは三角関数を与えます。

実数からそれ自身への2つの関数は、畳み込みと呼ばれる別の方法で乗算できます。

もし

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

ならば、積分は

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

明確に定義され、畳み込みと呼ばれます。

フーリエ変換の下では、畳み込みは点ごとの関数乗算になります。

多項式環

2つの多項式の積は次のように与えられます。

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

と

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

線型代数における積

線型代数には、さまざまな種類の積があります。これらの中には、意味が大きく異なるにもかかわらず、紛らわしいほど似た名前（外積、外積）を持つものもあれば、名前が大きく異なるもの（外積、テンソル積、クロネッカー積）を持つものもあり、本質的に同じ考え方を伝えています。これらの簡単な概要は、以下のセクションで説明します。

スカラー乗算

ベクトル空間の定義により、任意のスカラーと任意のベクトルの積を形成し、写像 を与えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

スカラー積

スカラー積は双線型写像です。

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

すべてのに対して、以下の条件が成り立ちます。 ${\displaystyle v\cdot v>0}$ ${\displaystyle 0\not =v\in V}$

スカラー積から、とすることでノルムを定義できます。 ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

スカラー積によって、2つのベクトル間の角度を定義することもできます。

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

次元ユークリッド空間において、標準的なスカラー積（内積と呼ばれる）は次のように与えられます ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}{\biggr )}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

3次元空間における外積

3次元における2つのベクトルの外積は、2つの因子に垂直なベクトルであり、その長さは2つの因子が張る平行四辺形の面積に等しい。

外積は、正式な^[a] 行列式として表すこともできます。

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

線型写像の合成

線型写像は、基礎体Fを持つ2つのベクトル空間VとWの間の関数fとして定義でき、^{[3]を満たす。}

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

有限次元ベクトル空間のみを考える場合、

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

ここで、 b _Vとb _{W は}VとWの基底を表し、v _{i は}b _V ⁱ上のvの成分を表し、アインシュタインの和定理が適用される。

ここで、有限次元ベクトル空間間の2つの線型写像の合成を考える。線型写像fがVをWに写し、線型写像gがWをUに写すとする。すると、

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

または行列形式では、

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

ここで、 Fのi行j列の要素（ F _ijと表記）はf ^j _iであり、G _ij =g ^j _iである。

3つ以上の線型写像の合成は、同様に行列の乗算の連鎖で表すことができる。

2つの行列の積

実数値要素を持つ2つの行列、xとy （x の列数はy の行数と一致する必要があります）が与えられます。それらの ${\displaystyle A}$積は、 xの対応する行とy ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times r}}$の対応する列の要素のペアごとの積の ${\displaystyle B}$和で与えられるx の行列です。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{r\times t}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C=AB}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times t}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ir}b_{rj}}$

行列積としての線形関数の合成

線形関数の合成と2つの行列の積の間には関係があります。これを確認するには、r = dim(U)、s = dim(V)、t = dim(W) をベクトル空間 U、V、W の （有限）次元とします。をUの基底、 をVの基底、 をWの基底とします。この基底を用いて、をf:U→Vを表す行列、を g:V→Wを表す行列とします。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$ ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ ${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

はを表す行列です ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

言い換えれば、行列積は線形関数の合成を座標で記述したものです。

ベクトル空間のテンソル積

2つの有限次元ベクトル空間VとWが与えられたとき、それらのテンソル積は、次を満たす(2,0)-テンソルとして定義できます。

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

ここで、V ^*とW ^*は、 VとWの双対空間を表します。^[4]

無限次元ベクトル空間の場合、次も成り立ちます

• ヒルベルト空間のテンソル積
• 位相テンソル積

テンソル積、外積、クロネッカー積はすべて、同じ一般的な考え方を伝えます。これらの違いは、クロネッカー積は、事前に固定された基底に対する行列のテンソル積にすぎないのに対し、テンソル積は通常、その固有の定義で与えられていることです。外積は、単にクロネッカー積であり、ベクトル（行列ではなく）に限定されています。

テンソル積を持つすべてのオブジェクトのクラス

一般に、線型代数のテンソル積のように振る舞うように組み合わせることができる2つの数学的対象がある場合、これはモノイド圏の内積として最も一般的に理解できます。つまり、モノイド圏はテンソル積の意味を正確に捉えており、テンソル積がそのように振る舞う理由の概念を正確に捉えています。より正確には、モノイド圏とは、テンソル積を持つすべてのもの（特定の型）のクラスです。

線型代数におけるその他の積

線型代数におけるその他の種類の積には以下が含まれます。

• アダマール積
• クロネッカー積
• テンソルの積
  • ウェッジ積または外積
  • 内積
  • 外積
  • テンソル積

直積

集合論において、直積は複数の集合から集合（または積集合）を返す数学的演算です。つまり、集合AとBについて、直積A × Bはすべての順序付きペア（a, b）の集合です。ここで、a∈A、 b∈Bです。 [ ^5]

直積を持つすべてのもの（特定の型）のクラスは、直積圏と呼ばれます。これらの多くは直積閉圏です。集合はそのようなオブジェクトの例です。

空積

数とほとんどの代数構造の空積は1（乗算の単位元）の値を持ち、空和は0（加算の単位元）の値を持ちます。しかし、空積の概念はより一般的であり、論理学、集合論、コンピュータプログラミング、圏論では特別な扱いが必要です。

他の代数構造上の

他の種類の代数構造上の積には、以下が含まれます。

• 集合の直積
• 群の直積、および半直積、編み積、花輪積
• 群の自由積
• 環の積
• イデアルの積
• 位相空間の積[ ^1]
• 確率変数のウィック積
• 代数的位相幾何学におけるキャップ積、カップ積、マッセイ積、斜積
• ホモトピーにおけるスマッシュ積とウェッジ和（ウェッジ積と呼ばれることもある）

上記の積のいくつかは、モノイド圏における内積の一般的な概念の例です。残りは圏論における積の一般的な概念によって記述できます。

圏論における積

これまでの例はすべて、積の一般的な概念の特殊なケースまたは例です。積の概念の一般的な扱いについては、積（圏論）を参照してください。これは、ある種の2つのオブジェクトを組み合わせて、異なる種類のオブジェクトを作成する方法を説明しています。しかし、圏論には以下のものもあります。

• ファイバー積またはプルバック
• 積圏は、圏の積である圏です。
• モデル理論における超積。
• モノイド圏の内積は、テンソル積の本質を捉えています。

その他の積

• 関数の積積分（数列の積の連続的な等価物として、または通常の積分／標準積分／加法積分の乗法版として。積積分は「連続積」または「乗法」とも呼ばれます。）
• 複素乗法、楕円曲線の理論。

参照

• アーベル圏のドリーニュテンソル積 - ベルギーの数学者Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 不定積
• 無限積
• 反復二項演算 - 数列への演算の繰り返し適用
• 乗算 - 算術演算

注釈

1. ここで「形式的」とは、この表記法が行列式の形式を持っているが、定義に厳密に従っていないことを意味します。これは、外積の展開を覚えるためのニーモニックです。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com . 2020年8月16日閲覧。
2. "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu . 2020年8月16日閲覧。
3. Clarke, Francis (2013).関数解析、変分法、最適制御。ドルドレヒト：シュプリンガー。9  ～ 10ページ。ISBN   978-1447148203。
4. Boothby, William M. (1986).微分可能多様体とリーマン幾何学入門（第2版）. オーランド：アカデミック・プレス. p. 200. ISBN  。
5. Moschovakis, Yiannis (2006).集合論に関するノート（第2版）。ニューヨーク：シュプリンガー。13ページ。ISBN   0387316094。

参考文献

• ヤルコウ、ハンス (1981).局所凸空間. シュトゥットガルト: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC  8210342.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Product_(mathematics)&oldid=1298461238"