射影多様体

楕円曲線は種数 1 の滑らかな射影曲線です。

代数幾何学において、射影多様体とは、射影空間の閉部分多様体である代数多様体である。すなわち、射影多様体とは、その多様体の定義イデアルである素イデアルを生成する、ある有限同次多項式族の零点である。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

射影多様体は、その次元が 1 であれば射影曲線であり、次元が 2 であれば射影面であり、その次元がそれを含む射影空間の次元より 1 小さい場合、射影超面である。この場合、射影多様体は単一の同次多項式の零点の集合である。

Xが同次素イデアルIによって定義される射影多様体である場合、商環

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

はXの同次座標環と呼ばれる。Xの次数や次元といった基本的な不変量は、この次数環のヒルベルト多項式から読み取ることができる。

射影多様体は様々な形で現れる。それらは完備であり、これはおおよそ「欠けている」点がないと表現できる。逆は一般には成り立たないが、チャウの補題はこれら2つの概念の密接な関係を記述している。多様体が射影的であることを示すには、 X上の直線束または因子を調べる必要がある。

射影多様体の顕著な特徴は、層コホモロジーに対する有限性制約である。滑らかな射影多様体に対して、セール双対性はポアンカレ双対性の類似物とみなすことができる。また、これは射影曲線、すなわち次元1 の射影多様体に対するリーマン・ロッホの定理につながる。射影曲線の理論は特に豊富で、曲線の種数による分類などがある。高次元射影多様体の分類プログラムは、自然に射影多様体のモジュライの構成につながる。^{[ 1 ]}ヒルベルト スキームは、所定のヒルベルト多項式での閉じた部分スキームを媒介変数化する。グラスマン多様体が特殊ケースであるヒルベルト スキームは、それ自体が射影スキームでもある。幾何学的不変量理論は別のアプローチを提供する。古典的なアプローチには、タイヒミュラー空間とチャウ多様体がある。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

古典にまで遡る特に豊富な理論は、複素射影多様体、すなわち、Xを定義する多項式が複素係数を持つ場合に適用できます。GAGA原理では、射影複素解析空間 (または多様体) の幾何学は、射影複素多様体の幾何学と同値であるとされています。たとえば、 X上の正則ベクトル束(より一般的には連接解析層)の理論は、代数ベクトル束の理論と一致します。チャウの定理では、射影空間の部分集合が正則関数の族の零点である場合と、それが同次多項式の零点である場合とで同値であるとされています。複素射影多様体に対する解析的手法と代数的手法を組み合わせると、ホッジ理論などの分野につながります。

多様性とスキーム構造

品種構造

k を代数的に閉体とする。射影多様体の定義の基礎は射影空間であり、これは異なるが同値な方法で定義できる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• （つまり、 のすべての1次元ベクトル部分空間）における原点を通るすべての直線の集合として ${\displaystyle k^{n+1}}$ ${\displaystyle k^{n+1}}$
• は、すべての要素がゼロではない組の集合であり、任意の に対する同値関係を法として成り立ちます。このような組の同値類は で表されます。この同値類は射影空間の一般点です。これらの数は、点の同次座標と呼ばれます。 ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$ $${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

射影多様体は、定義により、 の閉部分多様体である。ここで、閉とはザリスキー位相を指す。^{[ 2 ]}一般に、ザリスキー位相の閉部分集合は、同次多項式関数の有限集合の共通零点として定義される。多項式 が与えられたとき、条件 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

は任意の多項式に対しては意味をなさないが、fが同次、すなわちすべての単項式（その和がf）の次数が等しい場合にのみ意味をなす。この場合、

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

は の選択とは無関係です。 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

したがって、射影多様体はの同次素イ​​デアルIから生じ、 ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

さらに、射影多様体Xは代数多様体であり、開アフィン部分多様体によって覆われ、分離公理を満たす。したがって、Xの局所的研究（例えば特異点）はアフィン多様体の研究に帰着する。明示的な構造は以下の通りである。射影空間は標準的な開アフィンチャートによって覆われている。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

それ自体は座標環を持つ アフィンn空間である

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

表記を簡潔にするため、 i = 0とし、上付き文字(0)を省略する。すると、は、によって生成される イデアルによって定義される閉部分多様体である。 ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

Iのすべてのfに対して成り立つ。したがって、X は( n +1) 個の開アフィンチャートによって覆われた代数多様体である。 ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

Xはにおけるアフィン多様体の閉包であることに注意する。逆に、ある閉（アフィン）多様体 から出発して、におけるVの閉包は射影多様体と呼ばれる。 ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$Vの射影完備化。がVを定義する、この閉包の定義イデアルは、によって生成される ^{同次イデアル[ 3 ]}で ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

I内のすべてのfについて。

例えば、Vがアフィン平面上で、例えば次のように与えられるアフィン曲線であるとすると、その射影平面上での射影完備化は次のように与えられる。 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

射影スキーム

様々な応用のためには、射影多様体よりも一般的な代数幾何学的対象、すなわち射影スキームを考慮する必要がある。射影スキームへの第一歩は、射影空間にスキーム構造を与えることである。これは、射影空間を代数多様体として記述した上記の記述を洗練させる方法である。すなわち、射影空間は、アフィンn空間k ⁿの( n + 1)個のコピーの和集合であるスキームである。より一般的には、^{[ 4 ]}環A上の射影空間は、アフィンスキームの和集合である。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

このように変数は予想通り一致する。代数的に閉体kに対するの閉点の集合は、通常の意味での 射影空間である。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

同等だがより簡潔な構成はProj構成によって与えられ、これはアフィンスキームを定義する「Spec」と表記される環のスペクトルの類似物である。 ^{[ 5 ]}例えば、Aが環である場合、

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Rが同次イデアルIによる商である場合、標準射影は閉じた浸漬を誘導する。 ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

射影多様体と比較して、イデアルI が素イデアルであるという条件は削除されました。これにより、より柔軟な概念が生まれました。位相空間は 複数の既約成分を持つ可能性があります。さらに、X上には冪零関数が存在する可能性があります。 ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

の閉部分スキームは飽和しているの同次イデアルIに全単射に対応する。すなわち、^{[ 6 ]}この事実は射影的零点定理の改良版と考えることができる。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

上記の例の座標フリーな類似を与えることができる。つまり、 k上の有限次元ベクトル空間Vが与えられたとき、

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

ここではの対称代数である。^{[ 7 ]}これはVの射影化、すなわちV内の直線を媒介変数化することである。標準的な射影写像 が存在し、これは上記のチャートを用いて定義される。^{[ 8 ]}この構成の重要な用途の一つはこれである（ § 双対性と線型システム を参照）。射影多様体X上の因子D は直線束Lに対応する。そして、 ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

これはDの完全線型システムと呼ばれます。

任意のスキームS上の射影空間は、スキームのファイバー積として定義できる。

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

が 上のセールのねじり層である場合、を への引き戻しと表記する。つまり、標準写像 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

スキームX → Sは、それが閉じた浸漬として因数分解できるとき、 S上に射影的であると呼ばれる。

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

続いてSへの投影が行われます。

S上のスキームX上の直線束（または可逆層）は、浸漬（すなわち、開いた浸漬の後に閉じた浸漬が続く） がある場合、Sに対して非常に豊富であると言われる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

何らかのnに対してが成り立ち、 が に引き戻される。すると、S -スキームXが射影的であるためには、それが真であり、かつSに対してX上に非常に豊富な層が存在する必要がある。実際、X が真であれば、非常に豊富な直線束に対応する浸漬は必然的に閉じている。逆に、Xが射影的であれば、 Xの閉じた浸漬の下での の射影空間への引き戻しは非常に豊富である。「射影的」であるということは「真」であることを意味するという、より深い意味を持つ。これは、消去理論の主定理である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

完全多様体との関係

定義により、多様体はk上真であれば完備多様体である。真性の評価基準は、真多様体には「欠けている」点が存在しないという直感を表す。

完備多様体と射影多様体の間には密接な関係があります。一方では、射影空間、ひいては任意の射影多様体は完備です。逆は一般には成り立ちません。しかしながら、

• 滑らかな曲線 Cが射影的であることと、それが完備であることは同値である。これは、C をk上の関数体k ( C )の離散値環の集合と同一視することによって証明される。この集合は、ザリスキー・リーマン空間と呼ばれる自然なザリスキー位相を持つ。
• チョウの補題は、任意の完全多様体Xに対して、射影多様体Zと双有理射影Z → Xが存在することを述べている。^{[ 9 ]}（さらに、正規化により、この射影多様体は正規であると仮定できる。）

射影多様体のいくつかの性質は、完備性から導かれる。例えば、

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

k上の任意の射影多様体Xに対して成り立つ。^{[ 10 ]}この事実は、リウヴィルの定理（連結コンパクト複素多様体上の任意の正則関数は定数である）の代数的類似である。実際、複素解析幾何学と複素射影多様体上の代数幾何学の類似性は、以下で説明するように、これよりもはるかに広い。

準射影多様体とは、定義により、射影多様体の開部分多様体です。この多様体のクラスには、アフィン多様体が含まれます。アフィン多様体はほとんど完備（あるいは射影的）ではありません。実際、アフィン多様体の射影部分多様体は必ず次元がゼロになります。これは、射影多様体上の 大域的に正則な関数は定数だけであるためです。

例と基本的な不変量

定義により、多項式環の任意の斉次イデアルは射影スキームを与える（多様体を与えるためには素イデアルであることが要求される）。この意味で、射影多様体の例は豊富にある。以下に挙げる様々な射影多様体のクラスは、特に精力的に研究されてきたため注目に値する。複素射影多様体の重要なクラス、すなわち については、以下でさらに議論する。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

二つの射影空間の積は射影的である。実際、明示的な埋め込み（セグレ埋め込みと呼ばれる） が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

結果として、k上の射影多様体の積は再び射影的となる。プルッカー埋め込みはグラスマン多様体を射影多様体として示す。上三角行列の部分群を法とする一般線型群の商のような旗多様体も射影的であり、これは代数群の理論において重要な事実である。^{[ 11 ]} ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

同次座標環とヒルベルト多項式

射影多様体Xを定義する素イデアルPは同次なので、同次座標環

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

は次数付き環であり、その次数付き成分の 直和として表すことができます。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

十分に大きい任意のnに対してとなる多項式Pが存在する。これはXのヒルベルト多項式と呼ばれる。これはXの外在的幾何学を符号化した数値不変量である。Pの次数はXの次元rであり、その主係数r!倍は多様体Xの次数である。Xが滑らかな場合、 Xの算術種数は (−1) ^r ( P (0) − 1)である。 ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

たとえば、 の同次座標環はであり、そのヒルベルト多項式は です。その算術種数は 0 です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

同次座標環Rが整閉領域である場合、射影多様体Xは射影正規であるといわれる。正規性とは異なり、射影正規性はR 、すなわちXの射影空間への埋め込みに依存することに注意されたい。射影多様体の正規化は射影的である。実際、それはXのある同次座標環の整閉包の射影である。

程度

を射影多様体とする。Xの次数をその埋め込みに対して定義する方法は、少なくとも2つある。1つ目は、有限集合の濃度として定義する方法である。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

ここで、dはXの次元であり、H _iは「一般位置」における超平面である。この定義は、次数という直感的な概念に対応する。実際、Xが超曲面である場合、 Xの次数はX を定義する同次多項式の次数である。「一般位置」は、例えば交差理論によって明確にすることができる。交差が真であること、および既約成分の重複度がすべて 1 であることが求められる。

前の節で述べたもう一つの定義は、 Xの次数はXの(dim X )!倍のヒルベルト多項式の主係数であるというものである。幾何学的には、この定義はXの次数がX上のアフィン円錐の頂点の重複度であることを意味する。^{[ 12 ]}

が純粋次元の閉部分スキームで、適切に交差する（一般位置にある）とする。m iを_、交差における既約成分Z _iの重複度（すなわち、交差重複度）とすると、ベズーの定理の一般化は次式となる：^{[ 13 ]} ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

交差多重度m _{i は、}のChow環における交差積のZ _iの係数として定義できます。 ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

特に、Xを含まない超曲面の場合、 ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

ここで、Z _{i は}、重複度（局所環の長さ）m _iを持つ、 XとHのスキーム理論的交差の既約成分です。

複素射影多様体は、コンパクトな複素多様体と見なすことができます。多様体の次数（埋め込みに対する相対的な次数）は、周囲の複素射影空間から継承された計量に関する多様体としての多様体の体積です。複素射影多様体は、ある意味で体積の最小化者として特徴付けることができます。

セクションのリング

Xを射影多様体とし、Lをその上の直線束とする。すると次数環は

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

はLの切断環と呼ばれる。Lが十分である場合、この環のProjはXである。さらに、Xが正規でLが非常に十分である場合、Xの同次座標環の整閉包はLによって決定される。すなわち、Lに引き戻される。^{[ 14 ]} ${\displaystyle R(X,L)}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

応用においては、直線束だけでなく因子（または-因子）を許容すると便利です。Xが正規であると仮定すると、得られる環は一般化切断環と呼ばれます。XがX上の標準因子である場合、一般化切断環は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

はXの標準環と呼ばれる。標準環が有限生成である場合、環の Proj はXの標準モデルと呼ばれる。この標準環またはモデルは、 Xの小平次元を定義するために使用できる。

射影曲線

1次元の射影スキームは射影曲線と呼ばれる。射影曲線の理論の多くは滑らかな射影曲線に関するものである。なぜなら、曲線の特異点は正規化によって解決できるからである。正規化とは、正則関数の環の整閉包を局所的に取ることである。滑らかな射影曲線が同型であることと、その関数体が同型であることは同値である。の有限拡大の研究は、

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

あるいは同値な滑らかな射影曲線は代数的整数論の重要な分野である。^{[ 15 ]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

種数1の滑らかな射影曲線は楕円曲線と呼ばれる。リーマン・ロッホの定理の結果として、そのような曲線は の閉部分多様体として埋め込むことができる。一般に、任意の（滑らかな）射影曲線は に埋め込むことができる（証明については、正割多様体#例 を参照）。逆に、の次数3の滑らかな閉曲線は、種数公式により種数1となり、したがって楕円曲線となる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

種数が2以上の滑らかな完全曲線は、次数2の有限射が存在するとき、超楕円曲線と呼ばれる。^{[ 16 ]} ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

射影超曲面

次元が1であるすべての既約閉部分集合は超曲面、すなわち、ある同次既約多項式の零点集合である。^{[ 17 ]} ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

アーベル多様体

射影多様体Xのもう一つの重要な不変量は、 Xのピカール群、つまりX上の直線束の同型類の集合である。これは に同型であり、したがって（埋め込みとは独立に）本質的概念である。たとえば、 のピカール群は次数写像によってに同型である。 の核は抽象的なアーベル群であるだけでなく、 Xのヤコビ多様体Jac( X )と呼ばれる多様体があり、その点はこの群に等しい。（滑らかな）曲線のヤコビアンは、曲線の研究で重要な役割を果たしている。たとえば、楕円曲線EのヤコビアンはE自身である。種数gの曲線Xの場合、 Jac( X ) は次元gを持つ。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

ヤコビ多様体のように完備で群構造を持つ多様体は、ニールス・アーベルにちなんでアーベル多様体と呼ばれます。などのアフィン代数群とは著しく対照的に、このような群は常に可換であるため、この名前が付けられました。さらに、これらの群は十分な直線束を許容するため、射影的です。一方、アーベルスキームは射影的ではない場合があります。アーベル多様体の例としては、楕円曲線、ヤコビ多様体、K3曲面などがあります。 ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

予測

を線型部分空間とする。すなわち、ある線型独立な線型汎関数s _{iに対して、} Eからの射影は（明確に定義された）射影である。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

この地図の幾何学的記述は次の通りである。^{[ 18 ]}

• をEと互いに素であるとみなします。すると、任意の に対して、はEとxを含む最小の線型空間を表します（これをEとxの結合と呼びます）。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$ $${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$ ${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$同次座標はどこにあるか ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• Eと交わらない任意の閉部分スキームに対して、制約は有限射である。^{[ 19 ]} ${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

射影は、射影多様体が埋め込まれている次元を有限射影まで削減するために使用できます。まず、ある射影多様体から始めましょう。X上にない点からの射影がを与える場合、さらにはその像への有限写像です。したがって、この手順を繰り返すと、有限写像が存在することがわかります。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$ ${\displaystyle n>\dim X,}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

この結果は、ノイマンの正規化補題の射影的類似である。（実際、これは正規化補題の幾何学的証明をもたらす。）

同じ手順で、次のようなもう少し正確な結果を示すことができる。完全体上の射影多様体Xが与えられたとき、 Xから超曲面Hへの有限双有理射影が存在する^{[ 20 ]。}特に、Xが正規写像であれば、それはHの正規化である。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

二重性と線形システム

射影的n空間はアフィンn空間の直線を媒介変数化するのに対し、その双対は射影空間上の超平面を以下のように媒介変数化する。体kを固定する。ここで、射影的n空間 とは ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

構造を装備：

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$、上の超平面 ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

ここで、はkの体拡大LのL点であり、 ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

各Lに対して、 のL点の集合と 上の超平面の集合との間の一対一構成となる。このため、双対射影空間は上の超平面のモジュライ空間と呼ばれる。 ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

の直線はペンシルと呼ばれます。これは、 によってパラメータ化された上の超平面の族です。 ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

V がk上の有限次元ベクトル空間であるとき、上と同じ理由から、は 上の超平面全体の成す空間である。重要なケースとして、V が直線束の切断からなる場合が挙げられる。すなわち、X を代数多様体、L をX上の直線束、 L を有限正次元のベクトル部分空間とする。このとき、写像が存在する：^{[ 21 ]} ${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

線形システムVによって決定されます。ここで、Bは基底軌跡と呼ばれ、Vの非零セクションの零約数の交点です(写像の構築については、 線形システムによる写像の「約数#線形システムで決定される写像」を参照)。

連接層のコホモロジー

X を体（あるいはより一般的にはノイザン環A ）上の射影スキームとする。X上の連接層のコホモロジーは、セールの以下の重要な定理を満たす。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$は、任意のpに対する有限次元kベクトル空間です。
2. 整数（に依存します。カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性も参照）が存在し、すべてのp > 0に対して、非常に豊富な線束のべき乗によるねじれとなります。 ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

これらの結果は、同型性を用いた 場合に還元することで証明される。 ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

ここで、右辺は零による拡大によって射影空間上の層として見られる。^{[ 22 ]}結果は任意の整数nに対して直接計算することで得られ、任意の整数nに対しては大きな困難なしにこのケースに帰着する。^{[ 23 ]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

上記1. の系として、f がノイザンスキームからノイザン環への射影射影である場合、高次の直接像は連立している。同じ結果は、チョウの補題を用いて示せるように、真射fについても成り立つ。 ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

ネーター位相空間上の層コホモロジー群H ⁱは、i が空間の次元よりも真に大きい場合、0となる。したがって、のオイラー特性と呼ばれる量は、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

は明確に定義された整数である（Xが射影的である場合）。すると、有理数上のある多項式Pに対して、が成り立つことが示される。 ^{[ 24 ]}この手順を構造層に適用すると、 Xのヒルベルト多項式が得られる。特に、Xが既約で次元rを持つ場合、 Xの算術種数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

これは明らかに本質的であり、つまり埋め込みとは独立しています。

d次超曲面の数論的種数はである。特に、におけるd次滑らかな曲線の数論的種数は である。これは種数公式である。 ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

滑らかな射影多様体

X を滑らかな射影多様体とし、そのすべての既約成分がn次元であるとする。この場合、最高次ケーラー微分（すなわち代数的n形式）の層として定義される標準層ω _Xは直線束である。

セール双対性

セール双対性は、 X上の任意の局所自由層に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

ここで、上付き文字のプライムは の双対空間を表し、は の双対層です。射影的だが必ずしも滑らかではないスキームへの一般化は、ヴェルディエ双対性として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

リーマン・ロッホの定理

（滑らかな射影）曲線Xに対して、H ²およびそれより高次の次元は次元上の理由により消滅し、構造層の大域切断の空間は1次元となる。したがって、Xの数論的種数は の次元である。定義により、Xの幾何的種数はH ⁰ ( X , ω _X )の次元である。したがって、セール双対性は数論的種数と幾何的種数が一致することを意味する。これらを単にXの種数と呼ぶ。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

セール双対性はリーマン・ロッホ定理の証明においても重要な要素である。Xは滑らかであるため、群の同型性が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

主因子を法とする（ヴェイユ）因子群から直線束の同型類群へ。ω _Xに対応する因子は標準因子と呼ばれ、Kと表記される。l ( D ) を の次元とする。するとリーマン・ロッホの定理は次のように述べる：gがXの種数ならば、 ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

X上の任意の因子Dに対して。セール双対性により、これは次と同じである。

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

これは簡単に証明できる。^{[ 25 ]}リーマン・ロッホの定理を高次元に一般化したものには、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理と、広範囲に及ぶグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理がある。

ヒルベルトスキーム

ヒルベルトスキームは、射影スキームXのすべての閉部分多様体をパラメータ化し、 Hの点（関数的な意味で）がXの閉部分スキームに対応するという意味で、ヒルベルトスキームはモジュライ空間、すなわち点が他の幾何学的オブジェクトをパラメータ化する幾何学的オブジェクトの一例である。より正確には、ヒルベルトスキームは、ヒルベルト多項式が所定の多項式Pに等しい閉部分多様体をパラメータ化する。 ^{[ 26 ]}グロタンディークの深い定理として、 k上のスキーム^{[ 27 ]} が存在し、任意のkスキームTに対して、一対一の関係が存在することが知られている ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

恒等写像に対応するの閉じた部分体系は普遍族と呼ばれる。 ${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

に対して、ヒルベルトスキームは、X 上のr平面のグラスマン多様体と呼ばれ、X が射影スキームの場合には、X上のr平面のファノスキームと呼ばれる。^{[ 28 ]} ${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

複素射影多様体

この節では、すべての代数多様体は複素代数多様体である。複素射影多様体理論の重要な特徴は、代数的手法と解析的手法の組み合わせである。これらの理論間の遷移は、次のリンクによって提供される。任意の複素多項式は正則関数でもあるため、任意の複素多様体Xは複素解析空間を生成し、 と表記される。さらに、Xの幾何学的性質は の幾何学的性質に反映される。例えば、 が複素多様体であるための必要十分条件は、 Xが滑らかであることである。 がコンパクトであるための必要十分条件は、Xが上で適切であることである。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素ケーラー多様体との関係

複素射影空間はケーラー多様体である。これは、任意の射影代数多様体Xに対して、コンパクトケーラー多様体であることを意味する。逆は一般には成り立たないが、小平埋め込み定理はケーラー多様体が射影的であるための条件を与える。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

低次元では、次の結果が得られます。

• （リーマン）コンパクト・リーマン面（すなわち、次元1のコンパクト複素多様体）は射影多様体である。トレリの定理により、そのヤコビアンによって一意に決定される。
• （Chow-Kodaira） 2つの代数的に独立な有理型関数を持つ2次元のコンパクト複素多様体は射影多様体である。^{[ 29 ]}

GAGAとChowの定理

チャウの定理は、解析幾何学から代数幾何学へと逆方向に進むための印象的な方法を提供する。これは、複素射影空間のあらゆる解析的部分多様体は代数的であることを述べている。この定理は、ある成長条件を満たす正則関数は必然的に代数的である、と解釈できる。「射影的」であることは、この成長条件を与える。この定理から、次のことが導かれる。

• 複素射影空間上の有理型関数は有理関数である。
• 代数多様体間の代数写像が解析同型ならば、それは（代数的）同型である。（この部分は複素解析学における基本的な事実である。）特に、チャウの定理は、射影多様体間の正則写像が代数的であることを示唆している。（そのような写像のグラフを考えてみよう。）
• 射影多様体上のすべての正則ベクトル束は、唯一の代数ベクトル束によって誘導される。 ^{[ 30 ]}
• 射影多様体上のすべての正則直線束は因子の直線束である。^{[ 31 ]}

チャウの定理は、セールのGAGA原理によって示されます。その主要定理は次のとおりです。

X を上の射影スキームとする。すると、 X上の連接層を対応する複素解析空間X ^an上の連接層に関連付ける関数は、カテゴリの同値となる。さらに、自然写像は ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

はすべてのiとX上のすべての連接層に対して同型である。^{[ 32 ]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

複素トーラスと複素アーベル多様体

上のアーベル多様体Aに付随する複素多様体は、コンパクト複素リー群である。これらは、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

は複素トーラスとも呼ばれます。ここで、gはトーラスの次元であり、Lは格子（周期格子とも呼ばれます）です。

すでに述べた均一化定理によれば、次元1の任意のトーラスは次元1のアーベル多様体、すなわち楕円曲線から生じる。実際、Lに付随するワイエルシュトラスの楕円関数は ある微分方程式を満たし、結果として閉じた浸漬を定義する。^{[ 33 ]} ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

p進類似物であるp 進均一化定理があります。

高次元の場合、複素アーベル多様体と複素トーラスの概念は異なります。アーベル多様体からは、偏複素トーラスのみが生まれます。

小平の消滅

基本的な小平消失定理は、特性0の体上の 滑らかな射影多様体X上の十分な直線束に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

が成り立つ。^[ 34 ^{]この定理の最初の証明はケーラー幾何学の解析的}手法を用いたが、後に純粋に代数的な証明が見出された。小平の消失は一般に、正特性の滑らかな射影多様体では成り立たない。小平の定理は様々な消失定理の一つであり、高次層コホモロジーが消失するための基準を与える。層のオイラー特性（上記参照）は個々のコホモロジー群よりも扱いやすいことが多いため、これは射影多様体の幾何学について重要な結果をもたらすことが多い。^{[ 35 ]} ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

関連する概念

• 多重射影多様体
• 重み付き射影多様体、重み付き射影空間の閉部分多様体^{[ 36 ]}

参照

• 射影空間の代数幾何学
• 適切な同値関係
• ヒルベルトスキーム
• レフシェッツ超平面定理
• 最小モデルプログラム

注記

1. Kollár & Moduli、Ch I.
2. Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space , Springer
3. この同次イデアルはIの同次化と呼ばれることもあります。
4. マムフォード 1999、82ページ
5. ハーツホーン 1977、セクション II.5
6. マムフォード 1999、111ページ
7. この定義はEisenbud & Harris 2000、III.2.3とは異なりますが、Wikipediaの他の部分とは一致しています。
8. Hartshorne 1977、第2章、定理7.1の証明を参照
9. グロタンディーク & デュドネ 1961、 5.6
10. ハーツホーン 1977、第2章 演習4.5
11. ハンフリーズ、ジェームズ（1981）、線形代数群、シュプリンガー、定理21.3
12. Hartshorne 1977、第5章、演習3.4.(e)。
13. Fulton 1998、命題8.4。
14. Hartshorne 1977、第2章、演習5.14。(a)
15. ローゼン、マイケル (2002)、関数体における数論、シュプリンガー
16. Hartshorne 1977、第4章、演習1.7。
17. Hartshorne 1977、第 1 章、演習 2.8。これは、 の同次座標環が一意の因数分解領域であり、UFD では高さ 1 のすべての素イデアルが主イデアルであるためです。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
18. Shafarevich 1994 , Ch. I. § 4.4. 例1.
19. Mumford & Oda 2015、第II章、§7.命題6。
20. Hartshorne 1977、第1章、演習4.9。
21. フルトン 1998、§4.4。
22. これは難しくありません:( Hartshorne 1977、Ch III. Lemma 2.10)のフラスク分解とその射影空間全体への零拡張を考えます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
23. Hartshorne 1977、第3章 定理5.2
24. ハーツホーン 1977、第3章 演習5.2
25. Hartshorne 1977、第IV章 定理1.3
26. コラール 1996、第1章1.4
27. 構築を機能させるには、非多様性を考慮する必要があります。
28. アイゼンバッド & ハリス 2000、VI 2.2
29. Hartshorne 1977、付録B. 定理3.4。
30. グリフィス＆アダムス 2015、IV. 1. 10. 系H
31. グリフィス＆アダムス 2015、IV. 1. 10. 系I
32. Hartshorne 1977、付録B. 定理2.1
33. マムフォード 1970、36ページ
34. Hartshorne 1977、第3章、注釈7.15。
35. エノー、エレーヌ; Viehweg、Eckart (1992)、消失定理に関する講義、Birkhäuser
36. ドルガチェフ、イゴール（1982）、「重み付き射影多様体」、群作用とベクトル場（バンクーバー、BC、1981年）、数学講義ノート、第956巻、ベルリン：シュプリンガー、pp.  34– 71、CiteSeerX 10.1.1.169.5185、doi：10.1007/BFb0101508、ISBN  978-3-540-11946-3、MR  0704986

参考文献

• アイゼンバッド、デイヴィッド；ハリス、ジョー（2000）「スキームの幾何学」
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• グリフィス、フィリップ・A.；アダムス、ジョン・フランク（2015年3月8日）『代数幾何学と解析幾何学の話題』（MN-13）、第13巻：フィリップ・グリフィス講義ノート。プリンストン大学出版局。ISBN 978-1-4008-6926-8。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ハイブレヒト、ダニエル(2005)。複雑な幾何学: 入門。スプリンガー。ISBN 978-3-540-21290-4。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。「幾何学的計算の要素: II. 射影クラスの世界的要素の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• Kollár、János、曲面係数に関する本
• Kollár、János (1996)、代数多様体に関する有理曲線
• マンフォード、デイヴィッド（1970）『アーベル多様体』
• マンフォード、デイヴィッド（1995）『代数幾何学I：複素射影多様体』
• マンフォード、デイヴィッド（1999年）『多様体とスキームのレッドブック：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義（1974年）を含む』数学講義ノート、第1358巻（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/b62130、ISBN 978-3540632931
• マンフォード, デイビッド;小田 忠雄(2015).代数幾何学 II .
• イゴール・シャファレヴィッチ(1995). 『基礎代数幾何学 I：射影空間における多様体』（第2版）. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8。
• R. ヴァキル『代数幾何学の基礎』

外部リンク

• チャールズ・シーゲルによるヒルベルト図式- ブログ記事
• 射影多様体 第1章

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