推進効率

Measure of efficiency in aerospace engineering

航空宇宙工学において、航空機、ロケット、宇宙船の設計に関わる総合推進システム効率とは、機体の 燃料に含まれるエネルギーが機体の運動エネルギーに変換され、加速したり、空気抵抗や重力による損失を補ったりする効率のことです。数学的には、これは[ ^1]で表されます。ここで、はサイクル効率、は推進効率です。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =\eta _{\mathrm {c} }\eta _{\mathrm {p} }}$ ${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }}$

サイクル効率は、燃料の熱エネルギーのうちエンジン内で機械エネルギーに変換される割合として表され、推進効率は、実際に航空機の推進に利用される機械エネルギーの割合として表されます。推進効率は常に1未満です。これは、運動量保存則により、排気ガスにも運動エネルギーの一部が含まれる必要があり、推進機構（プロペラ、ジェット排気、ダクテッドファンなど）が完全な効率を持つことは決してないためです。推進効率は、排気ガスの排出速度と対気速度に大きく依存します。

サイクル効率

ほとんどの航空宇宙機は、何らかの熱機関、通常は内燃機関によって推進されます。熱機関の効率は、与えられた量の熱エネルギーに対してどれだけの有用な仕事が出力されるかを表します。

熱力学の法則から：

${\displaystyle dW\ =\ dQ_{\mathrm {c} }\ -\ (-dQ_{\mathrm {h} })}$

どこ

${\displaystyle dW=-PdV}$エンジンから取り出される仕事です。（仕事はエンジンによって行われるため、負の値になります。）

${\displaystyle dQ_{\mathrm {h} }=T_{\mathrm {h} }dS_{\mathrm {h} }}$高温システム（熱源）から得られる熱エネルギーです。（熱源から熱が抽出されるため、負の値となり、正の値となります。） ${\displaystyle (-dQ_{\mathrm {h} })}$

${\displaystyle dQ_{\mathrm {c} }=T_{\mathrm {c} }dS_{\mathrm {c} }}$低温システム（ヒートシンク）に供給される熱エネルギーです。（ヒートシンクに熱が追加されるため、正の値となります。）

言い換えれば、熱機関は熱源から熱を吸収し、その一部を有用な仕事に変換し、残りをより低温のヒートシンクに送ります。エンジンにおいて、効率は消費エネルギーに対する有用な仕事の比として定義されます。

${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }={\frac {-dW}{-dQ_{\mathrm {h} }}}={\frac {-dQ_{\mathrm {h} }-dQ_{\mathrm {c} }}{-dQ_{\mathrm {h} }}}=1-{\frac {dQ_{\mathrm {c} }}{-dQ_{\mathrm {h} }}}}$

熱機関の理論上の最大効率であるカルノー効率は、動作温度のみに依存します。数学的には、可逆過程において、低温の熱源は高温の熱源が失うエントロピーと同じ量のエントロピー（すなわち）を得るため、エントロピーは変化しないからです。したがって、 ${\displaystyle dS_{\mathrm {c} }=-dS_{\mathrm {h} }}$

${\displaystyle \eta _{\text{cmax}}=1-{\frac {T_{\mathrm {c} }dS_{\mathrm {c} }}{-T_{\mathrm {h} }dS_{\mathrm {h} }}}=1-{\frac {T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {h} }}}}$

ここで、は高温源と低温シンクの絶対温度であり、通常はケルビン単位で測定されます。は正で、 は負であることに注意してください。可逆的な仕事抽出プロセスでは、エントロピーは全体として増加するのではなく、高温（高エントロピー）系から低温（低エントロピー）系へと移動します。これにより、熱源のエントロピーは減少し、ヒートシンクのエントロピーは増加します。 ${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle dS_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle dS_{\mathrm {h} }}$

推進効率

推進効率は、推進力（すなわち、推進機の推力×速度）と流体に与えられた仕事の比として定義されます。一般的に、推進力は以下のように計算されます。

${\displaystyle P_{\mathrm {prop} }=T\times v_{\infty }}$

ここで、 は推力、 は飛行速度を表します。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v_{\infty }}$

推力は吸気および排気の質量流量（および）と速度（および）から計算できます。 ${\displaystyle {\dot {m}}_{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle {\dot {m}}_{\mathrm {exh} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {exh} }}$

${\displaystyle T={\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle P_{\mathrm {prop} }=\left({\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }\right)v_{\infty }}$

一方、エンジンが流れに対して行う仕事は、時間当たりの運動エネルギーの変化です。これは、動力を生成するために使用されたエンジンの効率や、空気を加速するために使用されたプロペラ、ファン、その他の機構の効率を考慮に入れていません。これは、単に流れに対して何らかの方法で行われた仕事を指し、放出された運動エネルギー流束と流入する運動エネルギー流束の差として表すことができます。

${\displaystyle P_{\mathrm {eng} }={\frac {1}{2}}{\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }^{2}-{\frac {1}{2}}{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }^{2}}$

${\displaystyle P_{\mathrm {eng} }={\frac {1}{2}}\left({\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }^{2}-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }^{2}\right)}$

したがって、推進効率は次のように計算できます。

${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }={\frac {P_{\mathrm {prop} }}{P_{\mathrm {eng} }}}=2v_{\infty }{\frac {{\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }}{{\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }^{2}-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }^{2}}}}$

使用される推進力の種類に応じて、この式は様々な方法で簡略化することができ、異なるエンジンタイプの特性を示すことができます。しかし、この一般方程式から既に、質量流量が大きく速度が小さい場合よりも、質量流量が大きく速度が大きい場合の方が推進効率が向上することがわかります。これは、分母の2乗項が非2乗項よりも速く増加するためです。

推進効率によってモデル化された損失は、いかなる航空推進モードにおいても、機体とは反対方向に移動するジェットが残るという事実によって説明される。このジェットにおける運動エネルギー流束は、の場合である。 ${\displaystyle P_{\mathrm {jet} }=1/2\left({\dot {m}}_{\mathrm {exh} }v_{\mathrm {exh} }^{2}-{\dot {m}}_{\mathrm {in} }v_{\mathrm {in} }^{2}\right)=P_{\mathrm {eng} }-P_{\mathrm {prop} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {in} }=v_{\infty }}$

ジェットエンジン

空気吸入式ジェットエンジンの排気速度/飛行機速度比（c/v）に対するエネルギー効率（η）の依存性

空気吸入式エンジンの推進効率の式は以下に示す通りである。^{[2] [3]}を一般式に代入し、と仮定することで、この式を導くことができる。これにより質量流量が打ち消され、以下の式が得られる。 ${\displaystyle v_{\mathrm {in} }=v_{\infty }=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {m}}_{\mathrm {exh} }={\dot {m}}_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }={\frac {2}{1+{\frac {v_{9}}{v_{0}}}}}}$

ここで、は排気排出速度^[4]であり、は入口での空気速度と飛行速度の両方である。 ${\displaystyle v_{9}}$ ${\displaystyle v_{0}}$

純粋なジェットエンジン、特にアフターバーナー付きエンジンの場合、排気ガスには噴射された燃料の質量も含まれるため、吸気と排気の質量流量が等しいと仮定しないことで、若干の精度向上を図ることができます。ターボファンエンジンの場合、エンジンがコンプレッサーから機体に「ブリードエア」を供給するため、排気の質量流量は吸気の質量流量よりもわずかに小さくなる可能性があります。ほとんどの場合、これは計算される推進効率に大きな影響を及ぼさないため、考慮されません。

推力の式から排気速度を計算することで（ と仮定したまま）、比推力（ ）の関数として推進効率を得ることもできます。 ${\displaystyle {\dot {m}}_{\mathrm {exh} }={\dot {m}}_{\mathrm {in} }={\dot {m}}}$ ${\displaystyle T/{\dot {m}}}$

${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }={\frac {v_{0}}{v_{0}+{\frac {1}{2}}{\frac {T}{\dot {m}}}}}}$

この帰結として、特に空気吸入式エンジンにおいては、推力が同じであっても、少量の空気を大きく加速するよりも、大量の空気を少量加速する方がエネルギー効率が高いということになります。これが、亜音速においてターボファンエンジンが単純なジェットエンジンよりも効率が良い理由です。

ロケットエンジンとジェットエンジンの推進効率（）の機体速度/排気速度比（v_0/v_9）への依存性 ${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }}$

ロケットエンジン

ロケットエンジンの効率は、燃焼温度と圧力が高く、長い収束拡散ノズルが使用されるため、通常は高くなります。高度によって気圧の変化により若干変化しますが、最大70%に達することもあります。残りの大部分は排気中に熱として失われます。 ${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }}$

ロケットエンジンの推進効率（ ）は、空気吸入式ジェットエンジンとは若干異なります。これは、吸入空気の不足により方程式の形が変化するためです。これにより、ロケットは排気速度を超えることも可能になります。 ${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }={\frac {2{\frac {v_{0}}{v_{9}}}}{1+({\frac {v_{0}}{v_{9}}})^{2}}}}$^[5]

ジェットエンジンと同様に、排気速度と機体速度を一致させることで理論上は最適な効率が得られます。しかし実際には、比推力が非常に低くなり、指数関数的に大きな推進剤質量が必要となるため、損失が大幅に増加します。ダクトエンジンとは異なり、ロケットは2つの速度が等しい場合でも推力を発揮します。

1903年、コンスタンチン・ツィオルコフスキーはロケットの平均的な推進効率について論じ、これを「排気ガスではなく、爆発物の総仕事量のうちロケットに伝達される割合」として利用率（utilizatsiya）と呼んだ。^[6]

プロペラエンジン

さまざまなガスタービンエンジン構成の推進効率の比較

推進力としてプロペラを使用するレシプロエンジンやターボプロップエンジンの場合、出力は通常推力ではなく動力で表されるため、計算は多少異なります。単位時間あたりに付加される熱量Qは、以下の式で表すことができます。

${\displaystyle 550P_{\mathrm {e} }={\frac {\eta _{\mathrm {c} }HhJ}{3600}},}$

ここで、H = 燃料の発熱量（BTU/lb）、h = 燃料消費率（lb/hr）、J = 熱の機械的当量（778.24 ft.lb/BTU）、エンジン出力（馬力）を 550 倍してフィートポンド/秒に変換したものです。ガソリンの特定の燃料消費量はC _p  =  h / P _e 、H = 20 052 BTU/lbであるため、式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle P_{\mathrm {e} }}$

${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }(\%age)={\frac {12.69}{C_{\mathrm {p} }}}.}$

パーセンテージで表されます。

典型的なプロペラ効率が 86% (特定のプロペラ設計に最適な対気速度と空気密度の条件の場合^{[引用が必要]} ) であると仮定すると、最大総合推進効率は次のように推定されます。 ${\displaystyle \eta _{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle \eta ={\frac {10.91}{C_{p}}}.}$

参照

• 車両メトリクス – さまざまな車両の相対的な能力を示すメトリクス
• 燃料消費率（推力）  – 推力出力に対するエンジン設計の燃料効率Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

• ロフティン、LK Jr.「性能の探求：現代航空機の進化。NASA SP-468」 。 2006年4月22日閲覧。
• ロフティン、LK Jr.「性能の探求：現代航空機の進化。NASA SP-468付録E」 。 2006年4月22日閲覧。

注記

1. ch10-3
2. K.ホーニッケ、R.リンドナー、P.アンダース、M.クラール、H.ハドリッヒ、K.ローリヒト。 Beschreibung der Konstruktion der Triebwerksanlagen。インターフルグ、ベルリン、1968
3. Spittle, Peter. 「ガスタービン技術」p507、Rolls-Royce plc、2003年。2012年7月21日閲覧。
4. ジェットエンジンの位置の番号付け方式では、ステーション9は通常、排気口である。
5. George P. Sutton & Oscar Biblarz、ロケット推進要素、pg 37-38 (第 7 版)
6. 「ジェットドライブによる宇宙空間の研究」、Nauchnoe Obozrenie、1903年5月。

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