擬似関数

Category mapping

数学において、擬似関数 Fは、カテゴリから(小さな) カテゴリのカテゴリCatへのマッピングであり、関数とよく似ていますが、 と は正確な等式として成立せず、一貫性のある同型までしか成立しません。 ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$ ${\displaystyle F(1)=1}$

典型的な例は、各プルバック への割り当てです。これは反変擬似関数です。たとえば、準コヒーレント層 の場合、次の式のみが存在するためです。 ${\displaystyle Ff=f^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (g\circ f)^{*}{\mathcal {F}}\simeq f^{*}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Catは2-カテゴリなので、より一般的には、一貫性のある同型が可逆な 2-射として与えられる2-カテゴリ間の擬似関数を考えることもできます。

グロタンディーク構成は、反変擬関数にファイバー圏を関連付け、逆に、各ファイバー圏は何らかの反変擬関数によって誘導される。このため、反変擬関数は圏値前層であり、しばしば前スタック（スタックから実効降下を除いたもの）とも呼ばれる。

意味

カテゴリCからCatへの擬似関数Fは次のデータから構成される。

• C内の各オブジェクトxのカテゴリ、 ${\displaystyle F(x)}$
• Cの各射fに対する関数、 ${\displaystyle Ff}$
• 恒等写像と合成写像の一貫した同型写像の集合、すなわち可逆な自然変換

  ${\displaystyle F(f\circ g)\simeq Ff\circ Fg}$、

  ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})\simeq \operatorname {id} _{F(x)}}$各オブジェクトxについて

そういう

${\displaystyle F(fgh){\overset {\sim }{\to }}F(fg)Fh{\overset {\sim }{\to }}FfFgFh}$は、 ${\displaystyle F(fgh){\overset {\sim }{\to }}FfF(gh){\overset {\sim }{\to }}FfFgFh}$

${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})\circ Ff{\overset {\sim }{\to }}F(\operatorname {id} _{x}\circ f)=Ff}$は、 ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})\circ Ff\simeq \operatorname {id} _{F(x)}\circ Ff=Ff}$

も同様である。^[1] ${\displaystyle Ff\circ F(\operatorname {id} _{x})}$

上位カテゴリーの解釈

擬似関数の概念は、高次圏理論の言語でより効率的に扱われる。つまり、通常の圏Cが与えられたとき、関数圏は∞圏となる。

${\displaystyle {\textbf {Fct}}(C,{\textbf {Cat}}).}$

各擬関数は上記に属します。これは、∞-カテゴリでは、合成は弱く成立することのみが要求され、その逆も同様です (2-モルフィズムは可逆であるため)。 ${\displaystyle C\to {\textbf {Cat}}}$

参照

• ラックス関数

参考文献

1. Vistoli 2008、定義 3.10。

• C. ソルガー、代数曲線上の主G束のモジュライに関する講義
• Vistoli, Angelo (2008年9月2日). 「グロタンディーク位相、ファイバー圏、降下理論に関するノート」(PDF) .

外部リンク

• http://ncatlab.org/nlab/show/擬似関数

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pseudo-functor&oldid=1319413125"