擬似スペクトル

数学において、作用素の擬スペクトルとは、その作用素のスペクトルと「ほぼ」固有値となる数を含む集合である。擬スペクトルの知識は、非正規作用素とその固有関数を理解する上で特に有用である。

行列Aのε擬スペクトルは、 Aにε近似する行列のすべての固有値から構成される：^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$

行列の固有値を計算する数値アルゴリズムは、丸めやその他の誤差のため、近似値しか得られません。これらの誤差は行列Eで記述できます。

より一般的には、バナッハ空間 と作用素に対して、 （典型的には と表記される）の擬スペクトルを次のように定義することができる。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$

${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.}$

ここで、 ifは逆関数ではないという規則を用いる。^[2] ${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

注記

1. ホグベン、レスリー(2013). 線形代数ハンドブック 第2版. CRC Press. p. 23-1. ISBN 9781466507296. 2017年9月8日閲覧。
2. ベッチャー、アルブレヒト;シルバーマン、ベルント (1999)。大規模な切り詰められたテプリッツ行列の紹介。スプリンガーニューヨーク。 p. 70.土井：10.1007/978-1-4612-1426-7_3。ISBN 978-1-4612-1426-7。

参考文献

• ロイド・N・トレフェテン、マーク・エンブリー著「スペクトルと擬スペクトル：非正規行列と演算子の挙動」、プリンストン大学出版、ISBN 978-0691119465（2005年）。

外部リンク

• EmbreeとTrefethenによるPseudospectra Gateway

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