プルバックバンドル

基底空間の写像によって誘導されるファイバー束

数学において、プルバックバンドルまたは誘導バンドル^{[1] [2] [3]}は、その基底空間の写像によって誘導されるファイバーバンドルです 。ファイバーバンドルと連続写像が与えられた場合、 によるの「プルバック」を上のバンドルとして定義できます。の点上ののファイバーは、上の のファイバーです。したがって、 は適切 な位相を備えたこれらすべてのファイバーの互いに素な和です ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ ${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f(b')}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

形式的定義

を抽象ファイバーを持つファイバーバンドルとし、を連続写像とします。プルバックバンドルを次のように 定義します ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$

${\displaystyle f^{*}E=\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subseteq B'\times E}$

そして、それを部分空間位相と、第１因子への射影によって与えられる射影マップとを備える。すなわち、 ${\displaystyle \pi ':f^{*}E\rightarrow B'}$

${\displaystyle \pi '(b',e)=b'.\,}$

2番目の因子への投影は地図を与える

${\displaystyle h\colon f^{*}E\to E}$

次の図は可換である：

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{\ast }E&{\stackrel {h}{\longrightarrow }}&E\\{\pi }'\downarrow &&\downarrow \pi \\B'&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B\end{array}}}$

が の局所自明化である場合、はの局所自明化であり、ここで ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f^{-1}U,\psi )}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

${\displaystyle \psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,}$

すると、 は上のファイバー束であり、ファイバー を有することが分かる。この束は、 Eのfによる引き戻し、あるいはfによって誘導される束と呼ばれる。したがって、写像はを覆う束射となる。 ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$

プロパティ

の任意のセクションは 、定義するだけで、プルバックセクションと呼ばれるセクションを誘導します ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f^{*}s}$

${\displaystyle f^{*}s(b'):=(b',s(f(b')))}$すべてのために。 ${\displaystyle b'\in B'}$

バンドルが遷移関数（局所自明化の族に関して）を持つ構造群を持つ場合、プルバックバンドルも構造群を持つ。 における遷移関数は次のように与えられる 。 ${\displaystyle E\rightarrow B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t_{ij}}$ ${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

$${\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.}$$

がベクトル束または主束であれば、引き戻しも同様である。主束の場合、 の右作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle E\rightarrow B}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

$${\displaystyle (x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)}$$

すると、写像被覆は同変となり、主バンドルの射影を定義することになります。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$

圏論の用語で言えば、プルバックバンドルの構築は、より一般的な圏論的プルバックの例である。したがって、対応する普遍的性質を満たす。

プルバックバンドルの構成は、滑らかな多様体の圏のような位相空間の圏のサブカテゴリにおいて行うことができる。後者の構成は微分幾何学や位相幾何学において有用である。

束と層

束は、その切断層によって記述することもできます。束の引き戻しは層の逆像に対応し、これは反変関数です。しかし、層は層の直接像と呼ばれる押し出しを持つため、より自然に共変オブジェクトです。束と層、あるいは逆像と直接像の間の緊張と相互作用は、幾何学の多くの分野で有利になる可能性があります。しかし、束の切断層の直接像は、一般に何らかの直接像束の切断層ではありません。そのため、「束の押し出し」の概念はいくつかの文脈（例えば、微分同相写像による押し出し）で定義されていますが、一般には層のカテゴリーで理解する方が適切です。なぜなら、それが作成するオブジェクトは一般に束にはならないからです

参考文献

1. スティーンロッド 1999, p. 47
2. ヒューズモラー 1994, p. 18
3. ローソン＆ミシェルソン 1989、374ページ

出典

• スティーンロッド、ノーマン(1999) [1951].ファイバー束のトポロジー. プリンストン：プリンストン大学出版局. ISBN 9780691005485。
• Husemoller, Dale (1994).ファイバー束. 大学院数学テキスト 第20巻（第3版）. ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94087-8。
• ローソン、H.ブレイン、ミシェルソン、マリー＝ルイーズ(1989).スピン幾何学.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08542-5。

さらに詳しく

• シャープ, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエアランゲン計画の一般化. 大学院数学テキスト. 第166巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94732-9。

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