ピラミッド数

四角錐の数1 + 4 + 9 + 16 = 30 の幾何学的表現。

ピラミッド数とは、多角形の底面と三角形の辺を持つピラミッドの頂点の数である。^{[ 1 ]}この用語は、4つの辺を持つ正方形の底面を持つ正方ピラミッド数を指すことが多いが、任意の数の辺を持つピラミッドを指すこともできる。^{[ 2 ]}底面と底面に平行な層にある頂点の数は、与えられた辺数の多角形数で与えられ、各三角形の辺にある頂点の数は三角数で与えられる。ピラミッド数を高次元に拡張することは可能である。

式

n次のr角錐数 の公式は

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

ここで、r ≥ 3である。^{[ 1 ]} ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

この式は因数分解できます。

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

ここで、T _nはn番目の三角数です。

シーケンス

最初のいくつかの三角錐数（四面体数と同等）は次のとおりです。

1、4、10、20、35、56、84、120、165、220 、 … （OEISのシーケンスA000292 ）​​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの平方ピラミッド数は次のとおりです。

1、5、14、30、55、91、140、204、285、385、506、650、819、...（OEISのシーケンスA000330 ）。​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの五角錐の数は、次のとおりです。

1、6、18、40、75、126、196、288、405、550、726、936、1183、...（OEISのシーケンスA002411 ）。​​​​​​​​​​

最初のいくつかの六角錐の数字は次のとおりです。

1、7、22、50、95、161、252、372、525、715、946、1222、1547、1925 （ OEISのシーケンスA002412 ）。​​​​​​​​​​

最初のいくつかの七角錐数は^{[ 3 ]である。}

1、8、26、60、115、196、308、456、645、880、1166、1508、1911、… （ OEISのシーケンスA002413）​​​​​

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「ピラミッド数」。MathWorld 。
2. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA002414」 .整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
3. Beiler, Albert H. (1966)、「数論における娯楽：数学の女王が楽しませる」、Courier Dover Publications、p. 194、ISBN 9780486210964。

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