ピタゴラス音律

Method of tuning a musical instrument

702セントでピタゴラス音律を示すシントニック音律連続体。^[1]

ハ長調のピタゴラス（主音）長和音^ⓘを演奏します（平均律の演奏^ⓘと純正律の演奏^ⓘを比較してください）。

平均律（黒）とピタゴラス（緑）の音程の比較。周波数比と音程の値（セント単位）の関係を示しています

ピタゴラス音律は、すべての音程の周波数比が、比率が「純粋」または完全である5度^[2]の列を選択することによって決定される 音楽の調律システムです。これは、振動弦のオクターブ（比率）の次に高い倍音であるため、次に最も協和的な「純粋」音程であり、耳で調律するのが最も簡単であるため選択されます。ノヴァーリスが述べたように、「音楽の比率は、私にとって特に正しい自然比率であるように思われる」^{[3]。あるいは、これは}シントニック音律^[1]の調律として説明でき、生成音は比率3:2（つまり、平均律のない完全5度）で、幅は約702セントです ${\displaystyle 3:2}$ ${\displaystyle 2:1}$

このシステムは古代メソポタミアにまで遡る^[4]（メソポタミアの音楽§音楽理論を参照）。このシステムは古代ギリシャ人、特にピタゴラス（紀元前6世紀）に名付けられ、現代の音楽理論家によって広く誤解されてきた。プトレマイオス、そして後にボエティウスは、テトラコルドをラテン語で「セミトニウム」と「トーヌス」（256:243 × 9:8 × 9:8）と呼ばれる2つの音程に分割することをエラトステネスに帰した。いわゆる「ピタゴラス音律」は16世紀初頭まで音楽家によって用いられていた。「ピタゴラス音律は5度音程の純粋さゆえに理想的に見えるが、他の音程、特に長3度音程はひどく不協和音であると考える者もいる。」^[2]

ピタゴラス音階とは、純正完全五度（3:2）とオクターブ（2:1）のみから構成できる音階です。 ^[5]ギリシャ音楽では、1オクターブにわたる音階に構成されたテトラコルドを調律するために使用されました。 ^[6]拡張ピタゴラス音律と12音ピタゴラス音律を区別することができます。拡張ピタゴラス音律は西洋音楽の記譜法と1対1に対応し、五度の数に制限はありません。しかし、12音ピタゴラス音律では、オクターブあたり12音に制限され、異名同音記譜法に対応するピタゴラス音階に従ってほとんどの音楽を演奏することはできません。代わりに、例えば減六度は「ウルフ五度」になります。

方法

12音ピタゴラス音律は、完全五度音程の連続に基づいており、それぞれが2:1（オクターブ）の次に単純な比率である3:2の比率で調律されています。例えばD（Dベースの調律）から始まり、他の6つの音は3:2の比率を6回上げて生成され、残りの音は同じ比率で下げることで生成されます。

E♭–B♭–F–C–G– D –A–E–B–F#–C#–G#

この11の3:2音程の連続は、広い周波数範囲にわたります（ピアノの鍵盤では77個の鍵盤に相当します）。周波数が2倍異なる音は類似していると認識され、同じ名前（オクターブ等価）が付けられるため、これらの音の周波数を2で割ったり、2の累乗したりするのが一般的です。この調整の目的は、12の音をより狭い周波数範囲、つまり基音のDとその上のD（周波数の2倍の音）の間の音程内に移動することです。この音程は通常、基本オクターブと呼ばれます（ピアノのキーボードでは、1オクターブには12個の鍵盤しかありません）。これは古代にまで遡ります。古代メソポタミアでは、5度を積み重ねるのではなく、上昇する5度と下降する4度を交互に繰り返す調律（上昇する5度に続いて下降するオクターブに相当）に基づいており、その結果、ペンタトニックスケールまたはヘプタトニックスケールの音は1オクターブ以内に収まりました。

音符	Dからの音程	式	＝	＝	周波数 比	サイズ （セント）	12-TET-dif （セント）
D	ユニゾン	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	${\displaystyle 3^{0}\times 2^{0}}$	${\displaystyle {\frac {3^{0}}{2^{0}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	0.00	0.00
E ♭	短2度	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}}$	${\displaystyle 3^{-5}\times 2^{8}}$	${\displaystyle {\frac {2^{8}}{3^{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {256}{243}}}$	90.22	−9.78
E	長二度	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 3^{2}\times 2^{-3}}$	${\displaystyle {\frac {3^{2}}{2^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{8}}}$	203.91	3.91
F	短三度	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}}$	${\displaystyle 3^{-3}\times 2^{5}}$	${\displaystyle {\frac {2^{5}}{3^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {32}{27}}}$	294.13	−5.87
F ＃	長三度	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}$	${\displaystyle 3^{4}\times 2^{-6}}$	${\displaystyle {\frac {3^{4}}{2^{6}}}}$	${\displaystyle {\frac {81}{64}}}$	407.82	7.82
G	完全四度	${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times 2}$	${\displaystyle 3^{-1}\times 2^{2}}$	${\displaystyle {\frac {2^{2}}{3^{1}}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$	498.04	−1.96
A ♭	減五度	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}}$	${\displaystyle 3^{-6}\times 2^{10}}$	${\displaystyle {\frac {2^{10}}{3^{6}}}}$	${\displaystyle {\frac {1024}{729}}}$	588.27	−11.73
G ＃	増四度	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}}$	${\displaystyle 3^{6}\times 2^{-9}}$	${\displaystyle {\frac {3^{6}}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\frac {729}{512}}}$	611.73	11.73
A	完全五度	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle 3^{1}\times 2^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {3^{1}}{2^{1}}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	701.96	1.96
B ♭	短六度	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}}$	${\displaystyle 3^{-4}\times 2^{7}}$	${\displaystyle {\frac {2^{7}}{3^{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {128}{81}}}$	792.18	−7.82
B	長六度	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 3^{3}\times 2^{-4}}$	${\displaystyle {\frac {3^{3}}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {27}{16}}}$	905.87	5.87
C	短七度	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}}$	${\displaystyle 3^{-2}\times 2^{4}}$	${\displaystyle {\frac {2^{4}}{3^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {16}{9}}}$	996.09	−3.91
ハ＃	長7度	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}$	${\displaystyle 3^{5}\times 2^{-7}}$	${\displaystyle {\frac {3^{5}}{2^{7}}}}$	${\displaystyle {\frac {243}{128}}}$	1109.78	9.78
D	オクターブ	${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$	${\displaystyle 3^{0}\times 2^{1}}$	${\displaystyle {\frac {2^{1}}{3^{0}}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$	1200.00	0.00

公式では、比率3:2または2:3は上昇または下降する完全五度（つまり、周波数が完全五度だけ増加または減少すること）を表し、2:1または1:2は上昇または下降するオクターブを表します。公式は、第3倍音と第2倍音の累乗で表すこともできます。

この調律から得られるCに基づく長音階は次のとおりです。[ ^7]

音符	C		D		E		F		G		A		B		C
比率	1 ⁄ 1		9 ⁄ 8		81 ⁄ 64		4 ⁄ 3		3 ⁄ 2		27 ⁄ 16		243 ⁄ 128		2 ⁄ 1
ステップ	—	9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		—

平均律では、 A ♭とG #のような異名同音の音符のペアは全く​​同じ音符と考えられていますが、上の表が示すように、ピタゴラス音律ではDに対する比率が異なり、つまり周波数が異なります。この約23.46セント、つまり半音の約4分の1の差は、ピタゴラス・コンマとして知られています

この問題を回避するため、ピタゴラス音律では、上記のように 12 の音符のみを構成し、その間に 11 の五度を置きます。たとえば、 E ♭からG ♯までの 12 の音符のみを使用できます。これは、上で示したように、半音階全体を構成するのに 11 の正確な五度だけが使用されることを意味します。残りの音程 ( G ♯からE ♭までの減六度) は大きく音程がずれたままになり、この 2 つの音符を組み合わせた音楽はこの音律では演奏できません。このような大きく音程がずれた音程は、ウルフ音程と呼ばれます。ピタゴラス音律の場合、ウルフ五度だけを除いて、すべての五度は 701.96 セント幅で、比率は 3:2 とまったく同じです。ウルフ五度は 678.49 セント幅で、ほぼ 4 分の 1 半音低くなっています。

ソ♯とミ♭の音符を同時に鳴らす必要がある場合、ウルフ5度の位置を変更できます。例えば、Cを基準としたピタゴラス音律では、ニ♭からファ♯までの5度が積み重ねられ、ファ♯ -ニ ♭がウルフ5度になります。しかし、ピタゴラス音律では常に1つのウルフ5度が存在するため、すべてのキーで正確に演奏することはできません。

音程のサイズ

Cを基準としたピタゴラス音律の144の音程。

上記の表は、基音に対する各音符の周波数比のみを示しています。ただし、音程はどの音符からでも開始できるため、音程の種類ごとに12の音程を定義できます。12のユニゾン、12の半音、12の2半音間隔などです

上で説明したように、12の5度音程のうちの1つ（ウルフ5度）は、他の11の5度音程とは大きさが異なります。同様の理由で、ユニゾンとオクターブを除く各音程タイプには2つの異なる大きさがあります。右の表は、それらの周波数比を示しており、ピタゴラスコンマの偏差は色分けされています。^[8]これらの偏差は、音符が2つの異なる半音を決定するために発生します。

• 短2度（m2）は、全音階半音とも呼ばれ、大きさは（例：DとE ♭の間）です。 $${\displaystyle S_{1}={2^{8} \over 3^{5}}={256 \over 243}\approx 90.225{\text{ cents}}}$$
• 増ユニゾン（A1）は、半音階半音とも呼ばれ、大きさは（例：E ♭とEの間）です。 $${\displaystyle S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\approx 113.685{\text{ cents}}}$$

対照的に、平均律の半音階では、すべての半音は

${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ cents}}}$

任意の種類の音程は同じ大きさですが、ユニゾンとオクターブを除いて、正しく調律されているものはありません

定義上、ピタゴラス音律では、11個の完全五度（表のP5 ）の大きさは約701.955セント（700+εセント、 ε は1.955セント）です。12個の五度の平均の大きさは（平均律と同様に）ちょうど700セントに等しくなければならないため、残りの1個の大きさは700 - 11 εセント、つまり約678.495セント（ウルフ五度）になります。表に示されているように、後者の音程は異名同音的には五度に相当しますが、より正確には減六度（d6）と呼ばれます。同様に、

• 9つの短3度（m3）は約294.135セント（300 - 3 ε）、3つの増2度（A2）は約317.595セント（300 + 9 ε）、平均は300セントです。
• 8つの長3度（M3）は約407.820セント（400 + 4 ε）、4つの減4度（d4）は約384.360セント（400 - 8 ε）、平均は400セントです
• 7つの全音階半音（m2）は約90.225セント（100 - 5 ε）、5つの半音階半音（A1）は約113.685セント（100 + 7 ε）で、平均は100セントです。

つまり、ユニゾンとオクターブを除くすべての音程タイプで同様の幅の違いが見られ、それらはすべて ピタゴラス五度と平均五度の差であるεの倍数です

明らかな結果として、増音程または減音程はそれぞれ、異名同音の音程よりも正確に12 ε (≈ 23.460)セント狭く、または広くなります。例えば、d6（またはウルフ5度）は各P5よりも12 εセント狭く、各A2は各m3よりも12 εセント広くなります。この12 εの大きさの音程はピタゴラスコンマと呼ばれ、減2度（≈ -23.460セント）の反対に正確に等しくなります。これは、εがピタゴラスコンマの12分の1としても定義できることを意味します。

ピタゴラス音程

ピタゴラス音程のうち 4 つは、特定の名前が付けられます。次の表では、これらの特定の名前と、他のいくつかの音程で一般的に使用される別名を示します。ピタゴラスのコンマは、その大きさ (524288:531441) がピタゴラスの減二度 (531441:524288) の逆数であるため、減二度とは一致しません。また、全音と三全音はすべての調律システムに一般的に使用されますが、全音と三全音はピタゴラス音程に特有のものです。名前に反して、セミディトーン (3 半音、約 300 セント) を全音 (4 半音、約 400 セント) の半分と見なすことはほとんどできません。接頭辞sesqui-を持つすべての音程は正しく調律されており、表に示すように、その周波数比は超特異数(またはエピモリック比) です。オクターブについても同様です。

半音の数	一般的な名称				具体的な名称
	質と数		その他の命名規則		ピタゴラス音律 （音高比による名称）	5限界調律	1/4コンマ・ミーントーン
	完全	短縮
0	増七度[a]	A7	上行コンマ		ピタゴラス音律 (531441:524288)		ディエシス(128:125)
0	ディミニッシュセカンド	d2	下行コンマ		(524288:531441)
1	短2度	m2	半音、 半音、 半音階	全音階半音、 短半音	リンマ(λείμμα) (256:243)
1	増ユニゾン	A1		半音階半音、 長半音	アポトメ（αποτομή）（2187:2048）
2	長二度	M2	全音、全音、全音		エポグドーン（επόγδοον）、セスキオクタヴム（9:8）
3	短三度	m3			半二度音程（32:27）	セスキ五度音程（6:5）
4	長三度	M3			二度音程（δίτονον）（81:64）	セスキクァルトゥム(5:4)
5	完全四度	P4	ディアテッサロン (διατεσσάρων)		エピトリテ (επίτριτος)、セスキテルティウム(4:3)
6	減五度	d5
6	増四度	A4			トライトーン (τρίτονον) (729:512)
7	完全五度	P5	ディアペンテ (διαπέντε)		ヘミオリオン (ημιόλιον)、セスキアルテルム(3:2)
12	（完全）オクターブ	P8	ディアパゾン (διαπασών)		デュプレックス (2:1)

歴史と用法

このシステムは古代メソポタミアに遡り^[4]、上昇する五度と下降する四度を交互に繰り返すものであった。メソポタミアの音楽 § 音楽理論を参照。古代ギリシャ音楽において、このシステムは主にピタゴラス（紀元前500年頃の人物）に帰属すると考えられていた。古代ギリシャ人は、全音階、ピタゴラス音律、旋法など、多くの音楽理論をメソポタミアから借用した。中国のシーエルラ音階はピタゴラス音階と同じ音程を用いており、紀元前600年から240年の間に発明された。^{[2] [9]}

12音ピタゴラス音律ではウルフ音程が存在するため、この調律はかつては広く使われていたと考えられていますが、今日ではほとんど使用されていません。転調があまり頻繁に行われない音楽や、和声的に冒険的な要素があまりない音楽では、ウルフ音程が問題になることはほとんどありません。なぜなら、そのような曲ではすべての可能な5度が演奏されるわけではないからです。拡張ピタゴラス音律ではウルフ音程はなく、すべての完全5度は正確に3:2です。

12音ピタゴラス音律の5度のほとんどは3:2という単純な比率であるため、非常に「滑らか」で調和的に聞こえます。対照的に、3度は、そのほとんどが81:64（長3度）と32:27（短3度）という比較的複雑な比率であるため、楽器によっては滑らかさが損なわれます。^[10]

1510年頃以降、3度が協和音として扱われるようになり、ミーントーン音律、特に3度を比較的単純な5:4の比率に調律するクォーターコンマミーントーンが、鍵盤楽器の調律法として最も人気のあるものになりました。同時に、シントニック・ダイアトニック純正律は、最初にラモスによって、次にザルリーノによって歌手の通常の調律として提唱されました。

しかし、ミーントーンには独自の和声上の課題がありました。そのウルフ音程はピタゴラス音律よりもさらに劣っていることが判明しました（ピタゴラス音律の12のオクターブに対して、19のキーが必要になることが多かったほどです）。その結果、ミーントーンはすべての音楽に適しているわけではありませんでした。18世紀頃から、楽器の調を変えたいという要望が高まり、ウルフ音程を避けたいという要望が高まるにつれて、ウェル音律、そして最終的には平均律が広く使用さ れるようになりました

ピタゴラス音律は、現代クラシック音楽の一部において、歌手やヴァイオリンなどの固定調律のない楽器から今でも聞くことができます。演奏者が音階に基づいた無伴奏のパッセージを演奏する場合、音階が最も調和して聞こえるため、ピタゴラス音律を使用する傾向があり、その後、他のパッセージでは他の音律（和音またはアルペジオの場合は純正律、ピアノまたはオーケストラの伴奏の場合は平均律）に戻ります。このような変更は明示的に記譜されることはなく、聴衆にはほとんど気づかれず、単に「調和して」いるように聞こえます。

ディスコグラフィー

• ブラゴッドは、ピタゴラス音律を用いて、クルスと6弦の竪琴を用いて中世ウェールズ音楽を歴史的に正確な演奏で披露するデュオです
• ゴシック・ヴォイセズ―獅子心王のための音楽（ハイペリオン、CDA66336、1989年）、クリストファー・ペイジ（リーチ＝ウィルキンソン）指揮
• ジョン・シュナイダーとカル・アーツ・パーカッション・アンサンブルによる演奏、ジョン・ベルガモ指揮によるルー・ハリソン―ギター＆パーカッション（エトセター・レコード、KTC1071、1990年）：ギターとパーカッションのための組曲第1番、および「パレスチナの歌」による平音と変奏曲

参照

• 平均律、ピタゴラス音律に近いもの
• 異名同音階
• 中全音程一覧
• 音程一覧
• 音程一覧
• 標準音律
• シー・エール・リー
• 音楽的音律
• ティマイオス（対話篇）プラトンがピタゴラス音律について論じている
• 全音階

音符

1. 上昇ピタゴラス・コンマは、ユニゾンから1オクターブ（ディアパゾン）下げたピタゴラス増七度です。下降ピタゴラス・コンマにも適用されますが、最初のものとは反対方向に適用されます。

参考文献

引用

1. Milne, Andrew; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年12月). "Invariant Fingerings Across a Tuning Continuum". Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID  27906745
2. ブルース・ベンワード、マリリン・ナディーン・セイカー (2003). 『音楽：理論と実践』第7版、全2巻 (ボストン：マグロウヒル). 第1巻: 56ページ. ISBN  978-0-07-294262-0
3. ケネス・シルヴァン・ガスリー、デイヴィッド・R・フィデラー (1987).『ピタゴラスの資料集と図書館：ピタゴラスとピタゴラス哲学に関連する古代文献のアンソロジー』、24ページ。Red Wheel/Weiser。ISBN   9780933999510。
4. Dumbrill 1998、18ページ。
5. Sethares, William A. (2005).『調律、音色、スペクトル、スケール』、163ページ。ISBN   1-85233-797-4。
6. フレイザー、ピーター・A. (2001年4月). 「音楽調律システムの発展」(PDF) . オリジナル(PDF)から2006年5月6日にアーカイブ。2014年2月2日閲覧。
7. 日本アジア協会 (1879).日本アジア協会紀要、第7巻、82ページ。日本アジア協会
8. ウルフ音程は、ここでは3、4、5、7、8、または9半音（すなわち、長3度または短6度、完全4度または5度、およびそれらの異名同音）で構成される音程であり、その大きさが対応する正確な調律音程から1シントニック・コンマ（約21.5セント）以上ずれている音程として操作的に定義されます。1、2、6、10、または11半音（例えば、長2度または短7度、全音、およびそれらの異名同音）で構成される音程は、正確に調律されていても不協和音とみなされるため、正確な調律から1シントニック・コンマ以上ずれていてもウルフ音程としてマークされません
9. ニーダム、ジョセフ（1962/2004）『中国の科学と文明 第4巻：物理学と物理技術』170～171ページ。ISBN   978-0-521-05802-5。
10. しかし、3/2 ⁸は「ほぼ正確な長3度」と説明されています。Sethares (2005)、60ページ。

出典

• ダンブリル、リチャード・J.（1998）。『古代近東の考古音楽学』。Tadema Press、ロンドン。2022年9月21日にオリジナルからアーカイブ。 2022年9月18日閲覧。本書のタイトルは第2版です。初版は『古代近東の音楽学と器官学』でした{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• ダニエル・リーチ＝ウィルキンソン(1997)、「良いもの、悪いもの、そして退屈なもの」『中世とルネサンス音楽のコンパニオン』. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-816540-4。

外部リンク

• 「全音階のピタゴラス音律」、音声サンプル付き。
• 「ピタゴラス音律と中世のポリフォニー」、マーゴ・シュルター著。
• スプレッドシートでピタゴラス音律を作成する方法、音声サンプル付きのビデオ。

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