q-θ関数

数学において、q-シータ関数（または修正ヤコビ・シータ関数）は、楕円超幾何級数を定義するために使用されるq級数の一種である。 ^[1]^[2]これは次のように与えられる。

\theta (z;q):=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)\left(1-q^{n+1}/z\right)

ここで0 ≤ | q | < 1とする。これは恒等式に従う。

\theta (z;q)=\theta \left({\frac {q}{z}};q\right)=-z\theta \left({\frac {1}{z}};q\right).

次のように表現されることもあります。

\theta (z;q)=(z;q)_{\infty }(q/z;q)_{\infty }

ここで、q-ポッホハンマー記号はです。 $(\cdot \cdot )_{\infty }$

参照

^ ガスパー、ジョージ; ラーマン、ミザン (2004).基本超幾何級数. doi :10.1017/CBO9780511526251. ISBN 9780521833578。
^ Spiridonov, VP (2008). 「楕円型超幾何関数の理論に関するエッセイ」.ロシア数学概論. 63 (3): 405– 472. arXiv : 0805.3135 . Bibcode :2008RuMaS..63..405S. doi :10.1070/RM2008v063n03ABEH004533. S2CID 16996893.

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