Q-analog of hypergeometric series
数学 において 、 基本超幾何級数 、または q 超幾何級数は、 一般化超幾何級数の q 類似 の一般化 であり、 楕円超幾何級数 によってさらに一般化されます 。級数 x n は 、連続する項の比 x n +1 / x n がn の 有理関数 である場合、超幾何級数と呼ばれます。連続する項の比が q n の有理関数である場合 、級数は基本超幾何級数と呼ばれます。数 q は基数と呼ばれます。
基本超幾何級数は、 エドゥアルト・ハイネ （1846）によって初めて考案されました。これは 、 を底とする極限において 超幾何級数となります 。 2 ϕ 1 ( q α , q β ; q γ ; q , x ) {\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)} F ( α , β ; γ ; x ) {\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)} q = 1 {\displaystyle q=1}
意味 基本超幾何級数には、片側基本超幾何級数 φと、より一般的な 両側基本超幾何級数 ψ の2つの形式がある。 片側基本超幾何級数は 次のように定義される
。
j ϕ k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) 1 + k − j z n {\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}} どこ
( a 1 , a 2 , … , a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a m ; q ) n {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}} そして
( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})} はq シフト階乗 である 。最も重要な特別なケースは j = k + 1のときであり、このとき
k + 1 ϕ k [ a 1 a 2 … a k a k + 1 b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a k + 1 ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n z n . {\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.} この級数は、 a 1 ... a k + 1 = b 1 ... b k q のとき 平衡し ているといいます。 また、 a 1 q = a 2 b 1 = ... = a k + 1 b k のとき均衡し ているといいます。 さらに a 2 = − a 3 = qa 1 1/2のとき 非常に均衡しているといい ます。片側基本超幾何級数は、超幾何級数のq類似体です。
lim q → 1 j ϕ k [ q a 1 q a 2 … q a j q b 1 q b 2 … q b k ; q , ( q − 1 ) 1 + k − j z ] = j F k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; z ] {\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]} が成り立つ（Koekoek & Swarttouw (1996)）。 双対的超幾何級数 に対応する 双対 的基本超幾何級数は 次のように定義される。
j ψ k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) k − j z n . {\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.} 最も重要な特別なケースは、 j = kの ときであり、
k ψ k [ a 1 a 2 … a k b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a k ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n z n . {\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.} 片側級数は、少なくとも a変数のいずれも q のべき乗ではないときに、 b変数の 1 つを q に 設定することによって、両側級数の特殊なケースとして取得できます。その場合、 n < 0の項はすべて 消えます。
シンプルシリーズ いくつかの簡単な級数表現には以下が含まれる。
z 1 − q 2 ϕ 1 [ q q q 2 ; q , z ] = z 1 − q + z 2 1 − q 2 + z 3 1 − q 3 + … {\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots } そして
z 1 − q 1 / 2 2 ϕ 1 [ q q 1 / 2 q 3 / 2 ; q , z ] = z 1 − q 1 / 2 + z 2 1 − q 3 / 2 + z 3 1 − q 5 / 2 + … {\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots } そして
2 ϕ 1 [ q − 1 − q ; q , z ] = 1 + 2 z 1 + q + 2 z 2 1 + q 2 + 2 z 3 1 + q 3 + … . {\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}
その q -二項定理 q二項定理（1811年に ハインリヒ・アウグスト・ローテ によって初めて発表された ） [ 1] [2] は、
1 ϕ 0 ( a ; q , z ) = ( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∏ n = 0 ∞ 1 − a q n z 1 − q n z {\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}} これは、次の恒等式を繰り返し適用することによって得られる。
1 ϕ 0 ( a ; q , z ) = 1 − a z 1 − z 1 ϕ 0 ( a ; q , q z ) . {\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).} a = 0 の特殊なケースは、 q 指数 と密接に関連しています。
コーシーの二項定理 コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。 [3]
∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) ( | q | < 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}
ラマヌジャンのアイデンティティ シュリニヴァーサ・ラマヌジャン は
1 ψ 1 [ a b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( b / a , q , q / a z , a z ; q ) ∞ ( b , b / a z , q / a , z ; q ) ∞ {\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}} | q | < 1かつ| b / a | < | z | < 1のとき有効である。同様の恒等式はベイリーによって与えられている。このような恒等式は ヤコビの三重積 定理の一般化と理解でき 、q級数を用いて次のように表される。 6 ψ 6 {\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}
∑ n = − ∞ ∞ q n ( n + 1 ) / 2 z n = ( q ; q ) ∞ ( − 1 / z ; q ) ∞ ( − z q ; q ) ∞ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.} グウィネス・クーガンと ケン・オノは 関連する 形式的冪級数を与えている [4]
A ( z ; q ) = d e f 1 1 + z ∑ n = 0 ∞ ( z ; q ) n ( − z q ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n q n 2 . {\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}
ワトソンの輪郭積分 超幾何級数の バーンズ積分 の類似として、 ワトソンは 次を示した
。
2 ϕ 1 ( a , b ; c ; q , z ) = − 1 2 π i ( a , b ; q ) ∞ ( q , c ; q ) ∞ ∫ − i ∞ i ∞ ( q q s , c q s ; q ) ∞ ( a q s , b q s ; q ) ∞ π ( − z ) s sin π s d s {\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds} ここで、 の極は 等高線の左側にあり、残りの極は右側にあります。 r +1 φ r についても同様の等高線積分が成り立ちます。この等高線積分は、 z における基本超幾何関数の 解析接続 を与えます 。 ( a q s , b q s ; q ) ∞ {\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}
マトリックスバージョン 基本的な超幾何行列関数は次のように定義できます。
2 ϕ 1 ( A , B ; C ; q , z ) := ∑ n = 0 ∞ ( A ; q ) n ( B ; q ) n ( C ; q ) n ( q ; q ) n z n , ( A ; q ) 0 := 1 , ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − A q k ) . {\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).} 比 検定 により、この行列関数は絶対収束することが示される。 [5]
参照
注記 ^ Bressoud, DM (1981)、「 q 級数の終結に関するいくつかの恒等式」、 ケンブリッジ哲学協会数学紀要 、 89 (2): 211– 223、 Bibcode :1981MPCPS..89..211B、 doi :10.1017/S0305004100058114、 MR 0600238 。 ^ Benaoum, HB (1998)、「ニュートンの二項式の h アナログ」、 Journal of Physics A: Mathematical and General 、 31 (46): L751 – L754 、 arXiv : math-ph/9812011 、 Bibcode :1998JPhA...31L.751B、 doi :10.1088/0305-4470/31/46/001、 S2CID 119697596 。 ^ Wolfram Mathworld: コーシーの二項定理 ^ クーガン、グウィネス・H.; オノ、ケン (2003)、「q級数恒等式とハーウィッツゼータ関数の算術」、 アメリカ数学会紀要 、 131 (3): 719– 724、 doi : 10.1090/S0002-9939-02-06649-2 ^ Ahmed Salem (2014) 基本的なガウス超幾何行列関数とその行列q差方程式、線形および多重線形代数、62:3、347-361、DOI: 10.1080/03081087.2013.777437
参考文献 Andrews, GE (2010)、「q-超幾何関数と関連関数」、 Olver, Frank WJ 、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 WN Bailey, 一般化超幾何級数 、(1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics、No.32、Cambridge University Press、Cambridge。 ウィリアム・YC・チェンとエイミー・フー、「 双対基本超幾何級数の半有限形式」 （2004年） エクストン 、H.（1983）、 q-超幾何関数とその応用 、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、 ISBN 0853124914 、 ISBN 0470274530 、 ISBN 978-0470274538 シルヴィ・コルティール とジェレミー・ラブジョイ「 フロベニウス分割とラマヌジャンの 1 ψ 1 {\displaystyle \,_{1}\psi _{1}} 和の組合せ論」 Fine, Nathan J. (1988)、「Basic hypergeometric series and applications」、Mathematical Surveys and Monographs、第27巻、プロビデンス、ロードアイランド州： アメリカ数学会 、 ISBN 978-0-8218-1524-3 、 MR 0956465 ガスパー、ジョージ; ラーマン、ミザン (2004)、 「基本的な超幾何級数」 、数学とその応用百科事典、第96巻（第2版）、 ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 978-0-521-83357-8 、 MR 2128719 ハイネ、エドゥアルド (1846)、「Über die Reihe 1 + ( q α − 1 ) ( q β − 1 ) ( q − 1 ) ( q γ − 1 ) x + ( q α − 1 ) ( q α + 1 − 1 ) ( q β − 1 ) ( q β + 1 − 1 ) ( q − 1 ) ( q 2 − 1 ) ( q γ − 1 ) ( q γ + 1 − 1 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots } "、 数学に関するジャーナル 、 32 : 210～ 212 Victor Kac 、Pokman Cheung、『量子計算』 、Universitext、Springer-Verlag、2002年 。ISBN 0-387-95341-8 Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). 直交多項式のAskeyスキームとそのq類似体（報告書）. デルフト工科大学. no. 98-17. セクション0.2 Andrews, GE, Askey, R., Roy, R. (1999). 特殊関数, 数学とその応用百科事典, 第71巻, Cambridge University Press . Eduard Heine 、 Theorie der Kugelfunctionen 、(1878) 1、97–125 ページ。 エドゥアルド・ハイネ、 クーゲル機能を備えたハンドブーフ。 Theorie und Anwendung (1898) シュプリンガー、ベルリン。
外部リンク 
![{\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+kj}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d2ef79218e289c26f62120cb6dcfcc6636248)
![{\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad1d2c40066f9722474a75221d2130171a98655)
![{\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159201006a53d31858f77e27dc79f35869dd8740)
![{\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{kj}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501e00fbffa51da9bab6469656fbf853df7d794c)
![{\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22c851d35068e0fdf285feb4ba9a3d68f066fd)
![{\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade77e25842ebcf32016af8a9b42c32aeaf9fefb)
![{\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015a6d86d3f197d4b4bd71f2d416b4af29b20b24)
![{\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2d19a913425e0c8f743c86adc581dc53295c7b)
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
