Family of polynomials
数学 において 、 ガウス二項係数 （ ガウス係数 、 ガウス多項式 、または q 二項係数 とも呼ばれる）は、 二項係数 の q 類似体 です。または と表記されるガウス二項係数は 、整数係数を持つ q の多項式であり、 qを 素数べきに設定したときの値は、 q 個の元を持つ有限体 上の n 次元のベクトル空間における k 次元 の部分空間の数、すなわち有限 グラスマン多様 体における点の数です 。 ( n k ) q {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}} [ n k ] q {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}} F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} G r ( k , F q n ) {\displaystyle \mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})}
意味 ガウス二項係数は次のように定義される: [1]
( m r ) q = ( 1 − q m ) ( 1 − q m − 1 ) ⋯ ( 1 − q m − r + 1 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q r ) {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}} ここで 、 m と r は非負の整数です。 r > m の場合、この式は0と評価されます。 r = 0の場合、分子と分母の両方が 空積で あるため、値は1となります 。
この式は一見 有理関数のように見えますが、実際には Z [ q ] で正確に割り算されるため多項式です。
分子と分母のすべての因数は 1 − q で割り切れ、その商は q 数 です。
[ k ] q = ∑ 0 ≤ i < k q i = 1 + q + q 2 + ⋯ + q k − 1 = { 1 − q k 1 − q for q ≠ 1 k for q = 1 , {\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},} これらの因数を割ると、同等の式が得られる。
( m r ) q = [ m ] q [ m − 1 ] q ⋯ [ m − r + 1 ] q [ 1 ] q [ 2 ] q ⋯ [ r ] q ( r ≤ m ) . {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).} q 階乗 の観点からは 、式は次のように表される。 [ n ] q ! = [ 1 ] q [ 2 ] q ⋯ [ n ] q {\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}
( m r ) q = [ m ] q ! [ r ] q ! [ m − r ] q ! ( r ≤ m ) . {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).} q = 1 を 代入すると 、通常の二項係数が得られます 。 ( m r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}} ( m r ) {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}
ガウス二項係数は次のように有限の値を持ちます 。 m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty }
( ∞ r ) q = lim m → ∞ ( m r ) q = 1 ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q r ) = 1 [ r ] q ! ( 1 − q ) r {\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}
例 ( 0 0 ) q = ( 1 0 ) q = 1 {\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1} ( 1 1 ) q = 1 − q 1 − q = 1 {\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1} ( 2 1 ) q = 1 − q 2 1 − q = 1 + q {\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q} ( 3 1 ) q = 1 − q 3 1 − q = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}} ( 3 2 ) q = ( 1 − q 3 ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}} ( 4 2 ) q = ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 3 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = ( 1 + q 2 ) ( 1 + q + q 2 ) = 1 + q + 2 q 2 + q 3 + q 4 {\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}} ( 6 3 ) q = ( 1 − q 6 ) ( 1 − q 5 ) ( 1 − q 4 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q 3 ) = ( 1 + q 2 ) ( 1 + q 3 ) ( 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 1 + q + 2 q 2 + 3 q 3 + 3 q 4 + 3 q 5 + 3 q 6 + 2 q 7 + q 8 + q 9 {\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}
組み合わせ記述
反転 ガウス二項係数の 1 つの組み合わせ記述には、 反転 が含まれます。
通常の二項係数は、 m 要素の集合から選択された r 個の 組み合わせ を数えます 。これらの m要素を長さ m の単語における異なる文字位置とすると 、各 r個の 組み合わせは、2文字のアルファベット（例えば {0,1}）を用いた長さ m の単語に対応します。この場合、 文字1は r 個（選択された組み合わせにおける位置を示す）で、残りの位置を表す文字0は m − r 個です。 ( m r ) {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}
たとえば、 0 と 1 を使用する単語 は です 。 ( 4 2 ) = 6 {\displaystyle {4 \choose 2}=6} 0011 , 0101 , 0110 , 1001 , 1010 , 1100 {\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}
ガウス二項係数を取得するために 、各単語には係数 q d が関連付けられます。ここで、 d は単語の反転の数です。この場合、反転とは、ペアの左側に文字1 が含まれ、右側に文字 0 が含まれる位置のペアです 。 ( m r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
上の例では、反転回数が0回の単語が1つ 、反転回数が1回の単語が1つ 、反転回数が2回の単語が2つ 、反転 回数が3回の単語が1つ 、反転回数が4回の単語が1つあります。これは 、最初の位置から 1 が左にシフトした回数でもあります。 0011 {\displaystyle 0011} 0101 {\displaystyle 0101} 0110 {\displaystyle 0110} 1001 {\displaystyle 1001} 1010 {\displaystyle 1010} 1100 {\displaystyle 1100}
これらは の係数に対応します 。 ( 4 2 ) q = 1 + q + 2 q 2 + q 3 + q 4 {\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}
これを別の方法で理解するには、各単語を、高さ r 、幅 m − r の長方形グリッドを横切るパス（左下隅から右上隅まで）に関連付けます。パスは、 0ごとに右に1歩、 1 ごとに上に1 歩進みます 。反転はステップの方向を入れ替えます（右+上は上+右に、逆も同様）。したがって、反転の数はパスの下の面積に等しくなります。
ボールをビンに入れる 区別できないボールを区別できないビンに 投げる方法の数を とします 。 各ビンには最大 個の ボールを入れることができます。ガウス二項係数は を特徴付けるのに使えます 。実際、 B ( n , m , r ) {\displaystyle B(n,m,r)} r {\displaystyle r} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} B ( n , m , r ) {\displaystyle B(n,m,r)}
B ( n , m , r ) = [ q r ] ( n + m m ) q . {\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.} ここで、は 多項式 の係数を表します （以下のアプリケーションセクションも参照）。 [ q r ] P {\displaystyle [q^{r}]P} q r {\displaystyle q^{r}} P {\displaystyle P}
プロパティ
反射 通常の二項係数と同様に、ガウス二項係数は中心対称、つまり鏡映に対して不変です 。 r ↦ m − r {\displaystyle r\mapsto m-r}
( m r ) q = ( m m − r ) q . {\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.} 特に、
( m 0 ) q = ( m m ) q = 1 , {\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,} ( m 1 ) q = ( m m − 1 ) q = 1 − q m 1 − q = 1 + q + ⋯ + q m − 1 m ≥ 1 . {\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}
q = 1 での限界 q = 1 におけるガウス二項係数の評価 は
lim q → 1 ( m r ) q = ( m r ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}} つまり、係数の合計は対応する二項値を与えます。
多項式の次数 の程度は です 。 ( m r ) q {\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}} ( m + 1 2 ) − ( r + 1 2 ) − ( ( m − r ) + 1 2 ) = r ( m − r ) {\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m-r)+1}{2}}=r(m-r)}
q -アイデンティティ
パスカルの等式に類似するもの パスカルの等式 とガウス二項係数との 類似性は次の通りである: [2]
( m r ) q = q r ( m − 1 r ) q + ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}} そして
( m r ) q = ( m − 1 r ) q + q m − r ( m − 1 r − 1 ) q . {\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.} のとき 、これらはどちらも通常の二項式の恒等式を与えます。 のときも、両方の式が成立することがわかります 。 q = 1 {\displaystyle q=1} m → ∞ {\displaystyle m\to \infty }
最初のパスカルの類似物は、初期値を用いて
ガウス二項係数を（ m に関して）再帰的に計算することを可能にする。
( m m ) q = ( m 0 ) q = 1 {\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1} また、ガウス二項係数は実際には多項式（ q ）であることがわかります。
2 番目のパスカル類似体は、置換 と、反射の下でのガウス二項係数の不変性を使用して、最初の類似体から導き出されます 。 r → m − r {\displaystyle r\rightarrow m-r} r → m − r {\displaystyle r\rightarrow m-r}
これらの恒等式は、線型代数の観点から自然な解釈が可能です。 は r 次元部分空間 を数え 、 は 1次元の零空間 への射影であるとします。最初の恒等式は、 を 部分空間 に 取る単射から生じます 。 の場合 、空間は r 次元であり、 グラフ となる 線型関数も把握しておく必要があります 。しかし、 の場合 、空間 は ( r −1) 次元であり、追加情報なしで再構成できます 。2番目の恒等式も同様の解釈が可能で、 を ( m −1) 次元空間 に取り 、これも2つのケースに分かれます。 ( m r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}} V ⊂ F q m {\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}} π : F q m → F q m − 1 {\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}} E 1 {\displaystyle E_{1}} V ⊂ F q m {\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}} V ′ = π ( V ) ⊂ F q m − 1 {\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}} E 1 ⊄ V {\displaystyle E_{1}\not \subset V} V ′ {\displaystyle V'} ϕ : V ′ → E 1 {\displaystyle \phi :V'\to E_{1}} V {\displaystyle V} E 1 ⊂ V {\displaystyle E_{1}\subset V} V ′ {\displaystyle V'} V = π − 1 ( V ′ ) {\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')} V {\displaystyle V} V ′ = V ∩ E n − 1 {\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}} E m − 1 {\displaystyle E_{m-1}}
類似物の証明 両方の類似は、まず の定義から次のことが わかることに注意することで証明できます。 ( m r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
( m r ) q = 1 − q m 1 − q m − r ( m − 1 r ) q {\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}} 1
( m r ) q = 1 − q m 1 − q r ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}} 2
1 − q r 1 − q m − r ( m − 1 r ) q = ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}} 3
として
1 − q m 1 − q m − r = 1 − q r + q r − q m 1 − q m − r = q r + 1 − q r 1 − q m − r {\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}} 式（ １ ）は次のようになる。
( m r ) q = q r ( m − 1 r ) q + 1 − q r 1 − q m − r ( m − 1 r ) q {\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}} 式（ ３ ）を代入すると最初の類似式が得られる。
同様のプロセスで、
1 − q m 1 − q r = q m − r + 1 − q m − r 1 − q r {\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}} 代わりに、2 番目のアナログを提供します。
q -二項定理 q 二項係数の 二項定理と同様の定理 があり 、コーシーの二項定理として知られています。
∏ k = 0 n − 1 ( 1 + q k t ) = ∑ k = 0 n q k ( k − 1 ) / 2 ( n k ) q t k . {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.} 通常の二項定理と同様に、この式には数多くの一般化と拡張がある。その一つは、負のべき乗に対するニュートンの一般化された二項定理に対応するもので、
∏ k = 0 n − 1 1 1 − q k t = ∑ k = 0 ∞ ( n + k − 1 k ) q t k . {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.} 極限では 、これらの式は n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }
∏ k = 0 ∞ ( 1 + q k t ) = ∑ k = 0 ∞ q k ( k − 1 ) / 2 t k [ k ] q ! ( 1 − q ) k {\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}} そして
∏ k = 0 ∞ 1 1 − q k t = ∑ k = 0 ∞ t k [ k ] q ! ( 1 − q ) k {\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}} 。 設定により 、それぞれ異なる部分と任意の部分の生成関数が与えられます。（ 「基本超幾何級数」 も参照。） t = q {\displaystyle t=q}
中央 q -二項式恒等式 通常の二項係数では次のようになります。
∑ k = 0 n ( n k ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}} q 二項係数の場合 、類似は次のようになります。
∑ k = 0 n q k 2 ( n k ) q 2 = ( 2 n n ) q {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}
アプリケーション
ガウス和 ガウスはもともと、ガウスの二項係数を二次ガウス和 の符号を決定する際に使用しました 。 [3]
対称多項式と分割 ガウス二項 係数は 対称 多項式 の数え上げや 分割 理論で用いられる 。
( n + m m ) q {\displaystyle {n+m \choose m}_{q}} rを m 個以下の部分に分割し、それぞれの部分が n 以下となる 分割数です。同様に、 rを n 個 以下の部分に分割し、それぞれの部分が m 以下となる 分割数でもあります 。
有限体上の部分空間を数える ガウス二項係数は、有限体上に定義された射影空間 の列挙理論においても重要な役割を果たします 。特に、 q 個の元を持つ 任意の有限体 F q に対して、ガウス二項係数は
( n k ) q {\displaystyle {n \choose k}_{q}} F q 上の n 次元 ベクトル空間 （ グラスマン多様体）の k 次元ベクトル部分空間 の数を数える。これを q の多項式として展開すると 、グラスマン多様体のよく知られたシューベルト細胞への分解が得られる。例えば、ガウス二項係数
( n 1 ) q = 1 + q + q 2 + ⋯ + q n − 1 {\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}} は ( F q ) n における1次元部分空間の数（つまり、対応する 射影空間 における点の数 ）である。さらに、 q が1（または −1）のとき、ガウス二項係数は対応する複素グラスマン多様体の オイラー特性 を与える（または実数グラスマン多様体のオイラー特性を与える）。
F q n のk 次元アフィン部分空間 の数 は
q n − k ( n k ) q {\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}} 。 これにより、アイデンティティの別の解釈が可能になります
( m r ) q = ( m − 1 r ) q + q m − r ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}} ( m − 1)次元射影空間の( r − 1)次元部分空間を 超平面 を固定して 数え 、その超平面に含まれる部分空間を数え、次に超平面に含まれない部分空間を数えることとして定義される。これらの部分空間は、 この固定された超平面を無限遠の超平面として扱うことで得られる空間の
( r − 1)次元アフィン部分空間と全単射に対応している。
循環ふるい分け現象 ガウス二項係数は巡回ふるい分け現象において重要な役割を果たす。C を n 位の 巡回群 とし、生成元は c とする 。X を n 元集合 {1, 2, ..., n } の k 元部分 集合の集合とする 。群 C は、 巡回置換 (1, 2, ..., n )に c を代入することによって X に 与えられる 標準作用を持つ。X 上の c d の 不動点の数 は
( n k ) q {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}} ここで 、 q は原始 n 乗根の d 乗とされます 。
量子群 量子群 への応用でよく使われる慣例においては 、少し異なる定義が用いられる。そこでの量子二項係数は
q k 2 − n k ( n k ) q 2 {\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}} 。 このバージョンの量子二項係数は、 およびの交換に関して対称です 。 q {\displaystyle q} q − 1 {\displaystyle q^{-1}}
参照
参考文献 ^ ムキン、ユージン、第3章 ^ ムキン、ユージン、第3章 ^ ガウス、カール・フリードリヒ (1808)。 Summatio quarumdam serierum singularium (ラテン語)。ゲッティンゲン: ディーテリッヒ。 エクストン、H.（1983）、 q-超幾何関数とその応用 、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、1983年、 ISBN 0853124914 、 ISBN 0470274530 、 ISBN 978-0470274538 ユージン・ムキン「対称多項式と分割」 (PDF) 。2016年3月4日時点のオリジナル (PDF) からのアーカイブ。 (日付なし、2004 年以前)。 ラトナダ・コルハトカー、「グラスマン多様体のゼータ関数」（2004年1月26日） Weisstein, Eric W. 「q-二項係数」 。MathWorld 。 グールド、ヘンリー (1969). 「ブラケット関数とフォンテーヌ＝ウォード一般化二項係数、ならびにフィボノミアル係数への応用」. フィボナッチ・クォータリー . 7 : 23–40 . doi :10.1080/00150517.1969.12431177. MR 0242691. Alexanderson, GL (1974). 「ガウス二項係数のフィボナッチ類似体」. Fibonacci Quarterly . 12 (2): 129– 132. doi :10.1080/00150517.1974.12430746. MR 0354537. アンドリュース, ジョージ・E. (1974). 「基本的な超幾何関数の応用」. SIAM Rev. 16 ( 4): 441– 484. doi :10.1137/1016081. JSTOR 2028690. MR 0352557. Borwein, Peter B. (1988). 「q-基本関数のパデ近似」. Construct. approx . 4 (1): 391– 402. doi :10.1007/BF02075469. MR 0956175. S2CID 124884851. コンヴァリナ, ジョン (1998). 「一般化二項係数と部分集合-部分空間問題」. 応用数学. 21 ( 2): 228– 240. doi : 10.1006/aama.1998.0598 . MR 1634713. ディ・ブッキアーニコ、A. (1999)。 「組合せ論、計算機代数、ウィルコクソン・マン・ホイットニーテスト」。 J.Stat.プランン。情報 。 79 ( 2 ) : 349–364。CiteSeerX 10.1.1.11.7713 。 土居 ：10.1016/S0378-3758(98)00261-4。 コンヴァリナ, ジョン (2000). 「二項係数、スターリング数、およびガウス係数の統一的解釈」 アメリカ数学月刊誌 107 ( 10): 901–910 . doi :10.2307/2695583. JSTOR 2695583. MR 1806919. Kupershmidt, Boris A. (2000). 「q-ニュートン二項式：オイラーからガウスへ」. J. Nonlinear Math. Phys . 7 (2): 244– 262. arXiv : math/0004187 . Bibcode :2000JNMP....7..244K. doi :10.2991/jnmp.2000.7.2.11. MR 1763640. S2CID 125273424. コーン、ヘンリー (2004). 「F1上の射影幾何学とガウス二項係数」. アメリカ数学月刊誌 . 111 (6): 487– 495. doi :10.2307/4145067. JSTOR 4145067. MR 2076581. Kim, T. (2007). 「オイラーの公式と三角関数のq拡張」. Russ. J. Math. Phys . 14 (3): –275–278. Bibcode :2007RJMP...14..275K. doi :10.1134/S1061920807030041. MR 2341775. S2CID 122865930. Kim, T. (2008). 「ガウス二項係数に関連するq-ベルヌーイ数と多項式」. Russ. J. Math. Phys . 15 (1): 51– 57. Bibcode :2008RJMP...15...51K. doi :10.1134/S1061920808010068. MR 2390694. S2CID 122966597. Corcino, Roberto B. (2008). 「p,q二項係数について」. Integers . 8 : #A29. MR 2425627. ハマヤキャン、ゲヴォルグ。 「メビウス関数に関する再帰式」 (PDF) 。 （2009年）。 
![{\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d655ed82c2d89a0d675546ead03ce167b7a22e5)
![{\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378145e6451decab96b0a94b58f475baa87e92a9)
![{\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7195538d2b0d91b39b3c2504733378537f18ae59)
![{\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[mr]_{q}!}}\quad (r\leq m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d62ff76453b3996fdf7fd4c274ee4046867c96)
![{\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8b2545d894d99961d385c593c59c1635abd0db)
![{\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a72f1bbf2225684e609b26e7cd6cc005658210c)
![{\displaystyle [q^{r}]P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c29d54203991bab438e130ce0683feffd704270)
![{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994e7a8dd56b63ff627a65a3352baa089c6d5121)
![{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4213bd51c4b2e14d9d3aa2ee69e8c7fa27ab892)
