Tsallis統計

コンスタンチノ・ツァリスが考案した数学関数のコレクション

Tsallis統計という用語は、通常、コンスタンチノ・Tsallisによって考案された数学関数とそれに関連する確率分布の集合を指します。この集合を用いることで、Tsallisエントロピー形式の最適化からTsallis分布を導出することが可能です。連続実パラメータqを用いて分布を調整することで、ガウス分布とレヴィ分布の中間的な特性を持つ分布を作成できます。パラメータqは分布の非拡がり度合いを表します。Tsallis統計は、複雑で異常な拡散を特徴付けるのに役立ちます。

Tsallis関数

q変形指数関数と対数関数は、1994年にTsallis統計学で初めて導入されました。[ ^1]しかし、q対数は、 1964年にGeorge BoxとDavid Coxによって提案された、のBox–Cox変換です。 ^[2] ${\displaystyle q=1-\lambda }$

q-指数関数

q指数関数は実パラメータqを用いた指数関数の変形である。^[3]

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}$

Tsallis 統計のq指数は、他の場所で使用されているバージョンとは異なることに注意してください。

q-対数

q対数はq指数の逆数であり、実パラメータqを用いた対数の変形である。^[3]

${\displaystyle \ln _{q}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{if }}x>0{\text{ and }}q=1\\[8pt]{\dfrac {x^{1-q}-1}{1-q}}&{\text{if }}x>0{\text{ and }}q\neq 1\\[8pt]{\text{Undefined }}&{\text{if }}x\leq 0\\[8pt]\end{cases}}}$

逆数

これらの関数は、

逆数

${\displaystyle {\begin{cases}e_{q}(\ln _{q}(x))=x&(x>0)\\\ln _{q}(e_{q}(x))=x&(0<e_{q}(x)<\infty )\\\end{cases}}}$

分析

上記の式の極限は、極限 における指数 関数については 、対数についてはを考慮することで理解できます。 ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}\approx {\rm {e}}^{x}}$ ${\displaystyle N\left(x^{\frac {1}{N}}-1\right)\approx \log(x)}$ ${\displaystyle N={\frac {1}{1-q}}\to \infty }$

参照

• ツァリスエントロピー
• ツァリス分布
• q-ガウス
• q指数分布
• q-ワイブル分布

参考文献

1. Tsallis, Constantino (1994). 「実験から得られる数字とは何か？」Química Nova . 17 : 468.
2. Box, George EP ; Cox, DR (1964). 「変換の分析」. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 ( 2): 211– 252. JSTOR  2984418. MR  0192611.
3. Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). 「非示量的統計力学と整合するq中心極限定理について」(PDF) . Milan J. Math . 76. Birkhauser Verlag: 307– 328. doi :10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725. 2011年7月27日閲覧.

• S. Abe, AK Rajagopal (2003). Letters, Science (2003年4月11日), Vol. 300, issue 5617, 249–251. doi :10.1126/science.300.5617.249d
• 阿部 誠・岡本 雄三編 (2001)非示量的統計力学とその応用Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-41208-3
• G. Kaniadakis、M. Lissia、A. Rapisarda編 (2002)「非示量的熱力学と物理的応用に関する特集号」Physica A 305, 1/2.

外部リンク

• arxiv.orgのTsallis統計

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