二次関数体

代数的数論において、二次体とは、有理数上の2次代数体です。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

そのような二次体はすべて、が（一意に定義される）平方自由整数で、およびとは異なる場合のものである。 の場合、対応する二次体は実二次体と呼ばれ、 の場合、それが実数体の部分体であるかどうかに応じて、虚二次体または複素二次体と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle d<0}$

二次体は、当初は二元二次形式の理論の一部として深く研究されてきました。未解決の問題がいくつか残されており、特に類数問題は重要です。

整数環

判別式

非零の平方自由整数 に対して、が を法として と合同な場合、二次体 の判別式は となり、そうでない場合は となります。例えば、が の場合、 はガウス有理数体であり、判別式は となります。このような区別の理由は、の整数環が、最初のケースでは によって生成され、 2番目のケースでは によって生成されるためです。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

二次体の判別式の集合は、基本判別式の集合とまったく同じです（は基本判別式ですが、二次体の判別式ではありません）。 ${\displaystyle 1}$

イデアルへの素因数分解

任意の素数は、二次体の整数環にイデアルを生じる。ガロア拡大における素イデアルの分解の一般理論に従えば、これは^{[ 1 ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle p}$不活性である

${\displaystyle (p)}$は最高の理想です。

商環は、を元とする有限体です。 ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$分割

${\displaystyle (p)}$は の 2 つの異なる素イデアルの積です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

商環は積 です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$分岐している

${\displaystyle (p)}$は の素イデアルの平方です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

商環にはゼロでない冪零元が含まれる。

3番目のケースは、判別式 が を割り切る場合、かつその場合に限り発生します。最初のケースと2番目のケースは、それぞれクロネッカー記号 が と に等しい場合に発生します。例えば、がを割り切れない奇数の素数である場合、が を法とする平方数 と合同である場合、かつその場合に限ります。最初の2つのケースは、ある意味では、が素数を通るときに等確率で発生します（チェボタレフの密度定理を参照） 。^{[ 2 ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

二次の相互法則は、二次体における素数の分解挙動が （体の判別式）を法としてのみ決まることを意味します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

クラスグループ

二次体拡大の類群の決定は、類群が有限であることから、ミンコフスキーの境界とクロネッカー記号を用いて行うことができる。^{[ 3 ]}二次体には判別式がある ため、ミンコフスキーの境界は^{[ 4 ]である。} ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ $${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$ $${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

すると、イデアル類群は、ノルムが より小さい素イデアルによって生成されます。これは、のイデアルの分解を見ることで行うことができます。ここで、^{[ 1 ] 72ページこれらの分解は}、デデキント・クンマーの定理を用いて見つけることができます。 ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

円分体の二次部分体

素円分体の二次部分体

二次体の構成の古典的な例は、奇数の素数を持つ原始th 根によって生成された円分体の内部で一意の二次体を取ることです。一意性はガロア理論の結果であり、上のガロア群には指数の一意の部分群があります。ガウス周期で説明したように、二次体の判別式はに対して、 に対してです。これは十分な分岐理論からも予測できます。実際、は円分体で分岐する唯一の素数であるため、 は二次体の判別式を割り切れる唯一の素数です。これにより、それぞれの場合において 「その他の」判別式と が排除されます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle -p}$ ${\displaystyle p=4n+3}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -4p}$ ${\displaystyle 4p}$

その他の円分体

他の円分体をとると、それらは追加の-捩れを持つガロア群を持つため、少なくとも3つの二次体を含む。一般に、体判別式の二次体は、 -乗根を持つ円分体の部分体として得られる。これは、二次体の導体がその判別式の絶対値であるという事実を表しており、これは導体判別式公式の特別な場合である。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

判別式の小さい二次数体の位数

次の表は、二次体の小さな判別式のいくつかの位数を示す。代数体の最大位数はその整数環であり、最大位数の判別式はその体の判別式である。非最大位数の判別式は、対応する最大位数の判別式と、非最大位数の基底を最大位数の基底で表す行列の行列式の2乗との積である。これらの判別式はすべて、代数体判別式§定義の式で定義できる。

実二次整数環の場合、一意な因数分解の失敗を測る理想類数はOEIS A003649に与えられており、虚数環の場合はOEIS A000924に与えられています。

注文	判別式	クラス番号	ユニット	コメント
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$	${\displaystyle -20}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	理想的なクラス、 ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-19}})\right]}$	${\displaystyle -19}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	主イデアル領域、ユークリッドではない
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -16}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	非最大順序
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-15}})\right]}$	${\displaystyle -15}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	理想的なクラス、 ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-15}})\right)}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]}$	${\displaystyle -12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	非最大順序
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-11}})\right]}$	${\displaystyle -11}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	ユークリッド
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	ユークリッド
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-7}})\right]}$	${\displaystyle -7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	クライン整数
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ （順序の循環） ${\displaystyle 4}$	ガウス整数
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-3}})\right]}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})}$ （順序の循環） ${\displaystyle 6}$	アイゼンシュタイン整数
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]}$	${\displaystyle -84}$	${\displaystyle 4}$		クラスグループ非循環: ${\displaystyle (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right]}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm \left({\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right)^{n}}$ （標準） ${\displaystyle (-1)^{n}}$	黄金整数
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ （標準） ${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (2+{\sqrt {3}})^{n}}$ （標準） ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {13}})\right]}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm \left({\tfrac {1}{2}}(3+{\sqrt {13}})\right)^{n}}$ （標準） ${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {17}})\right]}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (4+{\sqrt {17}})^{n}}$ （標準） ${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}}$ （標準） ${\displaystyle (-1)^{n}}$	非最大順序

これらの例のいくつかは、Artin 著「Algebra (第 2 版)」§ 13.8 に記載されています。

参照

• アイゼンシュタイン・クロネッカー数
• 属の特徴
• ヒーグナー数
• インフラストラクチャ（数論）
• 二次整数
• 二次無理数
• シュタルク・ヒーグナー定理
• デデキントゼータ関数
• 二次閉体

注記

1. スティーブンハーゲン. 「ナンバーリング」（PDF） . p. 36.
2. サミュエル 1972、76ページ以降
3. スタイン、ウィリアム. 「代数的数論、計算的アプローチ」(PDF) . pp.  77– 86.
4. コンラッド、キース。「クラスグループ計算」（PDF）。

参考文献

• ビューエル、ダンカン（1989）、バイナリ二次形式：古典理論と現代計算、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97037-1第6章。
• サミュエル、ピエール（1972）、代数的数論（ハードカバー版）、パリ/ボストン：ヘルマン/ホートンミフリン社、ISBN 978-0-901-66506-5
  • サミュエル、ピエール（2008年）、代数的数論（ペーパーバック版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-46666-8
• スチュワート、IN ; トール、DO（1979）、代数的数論、チャップマン＆ホール、ISBN 0-412-13840-9第3.1章

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「二次形式体」。MathWorld 。
• 「二次体」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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