二次曲面

Locus of the zeros of a polynomial of degree two

数学において、二次曲面（にじえん）とは、円錐曲線（楕円、放物線、双曲面）の一般化である。三次元空間において、二次曲面には楕円体、放物面、双曲面が含まれる。

より一般的には、高次元空間（次元D + 1 ）に埋め込まれた二次曲面（次元D ）は、 D + 1変数の2次既約多項式の零点集合として定義されます。例えば、円錐曲線（平面曲線）の場合、 D = 1 となります。定義多項式が絶対既約でない場合、零点集合は一般に二次曲面とはみなされませんが、退化二次曲面または既約二次曲面と呼ばれることもあります。

二次曲面はアフィン代数多様体であり、あるいはそれが可約な場合はアフィン代数集合である。二次曲面は射影空間でも定義されることがある。詳しくは後述の「射影二次曲面の正規形」を参照のこと。

処方

座標x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1}において、一般の二次曲面は代数方程式^[1]によって定義される。

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

これはベクトル表記と行列表記で簡潔に書くと次​​のようになります。

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

ここで、x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} )は行ベクトル、x ^Tはxの転置（列ベクトル）、Qは( D + 1) × ( D + 1)行列、Pは( D + 1)次元行ベクトル、Rはスカラー定数です。 Q、P、R の値は、実数または複素数上であるとされることが多いですが、任意の体上で二次関数を定義できます。

ユークリッド平面

ユークリッド平面の次元は2であるため、ユークリッド平面上の二次曲線は次元が1であり、したがって平面曲線です。これらは円錐曲線または円錐曲線と呼ばれます。

 固定焦点Fと準線を持つ円 ( e  = 0)、楕円 ( e  = 0.5)、放物線 ( e  = 1)、双曲線 ( e = 2) 。

ユークリッド空間

3次元ユークリッド空間において、二次曲面は2次元を持ち、二次曲面として知られている。その二次方程式は以下の形をとる。

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

ここで、は実数であり、 A、B、Cのうち少なくとも 1 つはゼロ以外です。 ${\displaystyle A,B,\ldots ,J}$

二次曲面は、その形状によって分類され、名前が付けられます。形状は、アフィン変換における軌道に対応します。つまり、アフィン変換によってある二次曲面が別の二次曲面へ写像される場合、それらは同じクラスに属し、同じ名前と多くの特性を共有します。

主軸定理は、任意の（おそらくは既約な）二次曲面に対して、適切な直交座標変換、あるいはそれと同義のユークリッド変換によって、二次曲面の方程式を、二次曲面の類が直ちにわかる唯一の単純な形に置き換えることができることを示しています。この形は方程式の正規形と呼ばれます。なぜなら、2つの二次曲面が同じ正規形を持つのは、一方の二次曲面をもう一方の二次曲面へ写すユークリッド変換が存在する場合のみだからです。正規形は以下のとおりです。

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

ここで、は 1、-1、または 0 のいずれかですが、 は0 または 1 の値のみを取ります。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$

これら17の正規形^[2]はそれぞれ、アフィン変換による単一の軌道に対応します。 3つのケース、すなわち(虚楕円体)、(虚楕円柱)、 (複素共役平行平面のペア、約分可能な二次曲線 ) には実点がありません。 1つのケース、すなわち虚円錐には、1つの点 ( ) があります。1つが直線 (実際には2つの複素共役交差平面) である場合。 1つが交差平面 (約分可能な二次曲線) である場合。 1つが二重平面である場合。 1つが平行平面 (約分可能な二次曲線) である場合。 ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$

したがって、17個の正規形のうち、真の二次曲面は9個あります。円錐が1個、円筒が3個（退化二次曲面と呼ばれることが多い）、そして非退化二次曲面（楕円体、放物面、双曲面）が5個です。これらについては以下の表で詳しく説明します。残りの8個の二次曲面は、虚数楕円体（実点なし）、虚数円筒（実点なし）、虚数円錐（実点1個）、そして2つの平面に分解できる可約二次曲面です。このような分解二次曲面は、平面が互いに異なるかどうか、平行かどうか、実共役か複素共役かによって、5種類あります。

非退化実二次曲面
楕円	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
楕円放物面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
双曲放物面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
一枚双曲面       または    双曲双曲面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
二枚双曲面       または    楕円双曲面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}$

退化した実二次曲面
楕円錐       または    円錐二次曲面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
楕円柱	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
双曲円筒	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
放物面円筒	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$

正準方程式の 2 つ以上のパラメータが等しい場合、回転の2 次曲線が得られ、これは軸 (球の場合は無限個の軸) の周りを回転しても不変のままです。

回転の四次曲線
扁平回転楕円    体と長楕円体（楕円体の特殊なケース）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
球（回転楕円体の特殊なケース）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}$
円形放物面（楕円放物面の特殊なケース）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
一枚板回転双曲面（一枚板双曲面の特殊な場合）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
二枚双曲面（二枚双曲面の特殊な場合）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1\,}$
円錐（楕円錐の特殊な場合）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,}$
円筒（楕円円筒の特殊なケース）	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}$

定義と基本的な性質

アフィン二次曲面は、2次多項式の零点の集合です。特に指定がない限り、多項式は実係数を持ち、零点はユークリッド空間内の点であると仮定されます。ただし、係数が任意の体に属し、点がアフィン空間に属する場合でも、ほとんどの性質は成り立ちます。代数幾何学では一般的に、係数が実数である場合 、多項式の係数（一般的には複素数 ）を含む代数的に閉体上の点を考えることが有用な場合がよくあります。

射影完備化によって二次曲面を射影空間に拡張し、無限遠点を加えることで、多くの性質を述べる（そして証明する）ことが容易になる。技術的には、

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

がアフィン二次関数を定義する2次の多項式である場合、その射影完備化はpを次のように同次化することによって定義される。

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

（ pの次数は2なので、これは多項式です）。射影完備化の点とは、射影座標がPの零点となる射影空間の点のことです。

したがって、射影二次関数は、2 次同次多項式の射影空間内の零点の集合です。

上記の均質化のプロセスは、X ₀ = 1を設定することで元に戻すことができます。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

アフィン二次曲面とその射影完備化を区別せず、アフィン方程式または二次曲面の射影方程式について話すことがしばしば有用である。しかし、これは完全な同値ではない。一般に、 は の解ではない の点を含むが、これは射影空間におけるこれらの点はアフィン空間における「無限遠」の点に対応するため、の解ではない。 ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$ ${\displaystyle X_{0}=0}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

方程式

n次元のアフィン空間における二次曲面は、2次多項式の零点の集合である。つまり、座標が次式を満たす点の集合である。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

ここで多項式pは次の形をとる。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

0から までの範囲の行列に対して、とが 成り立ちます。係数体の標数が2でない場合、一般にが成り立ちます。これは と同値です。係数体の標数が2の場合、のとき一般に が成り立ちます。これは が上三角行列であることと同値です。 ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ ${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle j<i}$ ${\displaystyle A}$

この式は、行列方程式のように短縮される。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

と

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

射影完成の方程式はほぼ同じです。

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

と

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

これらの方程式は、次元nの空間における次元n − 1 、次数 2の代数超曲面として二次曲面を定義します。

行列が逆行列である場合、二次関数は非退化であると言われます。 ${\displaystyle A}$

非退化二次関数は、その射影完備化に特異点がないという意味で非特異です(円柱はアフィン空間では非特異ですが、無限遠に特異点を持つ退化二次関数です)。

退化した二次関数の特異点とは、その射影座標が行列Aの零空間に属する点のことである。

二次曲面は、 Aの階数 が 1 (二重超平面の場合) または 2 (2 つの超平面の場合)の場合にのみ、約分可能です。

射影二次関数の正規形

実射影空間では、シルベスターの慣性法則により、特異でない二次形式 P ( X )は、正規形に変換できる。

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

適切な射影変換によって（特異二次曲面の正規形は係数として零点と±1を持つことができる）。三次元空間における二次元曲面（次元D  = 2）の場合、非退化なケースは正確に3つ存在する。

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

最初のケースは空集合です。

2番目のケースでは、選択された無限遠平面が二次曲面を空集合、一点、または非退化円錐で切断するかどうかに応じて、楕円体、楕円放物面、または二枚双曲面が生成されます。これらはすべて正のガウス曲率を持ちます。

3番目のケースでは、無限遠平面が2本の直線で切断するか、非退化円錐で切断するかによって、それぞれ双曲放物面または1枚双曲面が生成されます。これらは、負のガウス曲率を持つ 二重線織面です。

退化した形態

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

無限遠平面が点、直線、二直線、または非退化円錐のいずれで切断するかによって、楕円柱、放物柱、双曲柱、または円錐が生成されます。これらはガウス曲率がゼロの単線織面です。

射影変換では、異なる符号のガウス曲率が混在しないことがわかります。これは一般的な曲面にも当てはまります。^[3]

複素射影空間では、すべての非退化二次関数は互いに区別できなくなります。

有理パラメータ化

二次曲線の非特異点Aが与えられたとき、 Aを通る直線は二次曲線に接するか、または他の1点で二次曲線と交差します（通常、二次曲線に含まれる直線は接線とみなされます。なぜなら、接線超平面に含まれるからです）。これは、 Aを通り二次曲線に接しない直線は、 Aにおける接線超平面に属さない二次曲線の点と1対1に対応することを意味します。二次曲線の点を対応する直線の方向で表すと、以下の形式の媒介変数方程式が得られます。

円錐曲線（二次曲線）の場合、この媒介変数化により、射影円錐曲線と射影直線との間の一対一関係が確立されます。この一対一関係は代数曲線の同型性です。高次元では、この媒介変数化により双有理写像が定義されます。これは、二次曲線の稠密開部分集合と同じ次元の射影空間との間の一対一関係です（考慮される位相は、実二次曲線または複素二次曲線の場合は通常の位相、いずれの場合もザリスキー位相です）。この一対一関係の像に含まれない二次曲線の点は、二次曲線とAにおけるその接超平面の交点です。

アフィンの場合、媒介変数化は、以下の形式の有理媒介変数化である。

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{f_{0}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n,}$

ここで、は二次曲面の点の座標、はパラメータ、は最大 2 次までの多項式です。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}}$

射影的な場合、媒介変数化は次の形をとる。

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

ここで、は二次曲面の点の射影座標、はパラメータ、は2 次同次多項式です。 ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ ${\displaystyle F_{0},\ldots ,F_{n}}$

一つのパラメータ化から別のパラメータ化へは、次のように移ります。 ${\displaystyle x_{i}=X_{i}/X_{0},}$ ${\displaystyle t_{i}=T_{i}/T_{n}\,:}$

${\displaystyle F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})=T_{n}^{2}\,f_{i}\!{\left({\frac {T_{1}}{T_{n}}},\ldots ,{\frac {T_{n-1}}{T_{n}}}\right)}.}$

媒介変数化を計算し、次数が主張通りであることを証明するには、アフィン写像の場合、以下のように進めることができます。射影写像の場合も同様の手順で進めることができます。

q を二次曲面を定義する二次多項式とし、を二次曲面の与えられた点の座標ベクトルとします（つまり、をパラメトライズする二次曲面の点の座標ベクトルとし、をパラメトライズに用いる方向を定義するベクトルとします（最後の座標がゼロである方向はここでは考慮しません。つまり、アフィン二次曲面のいくつかの点はパラメトライズされないということです。それらはパラメータ空間の無限遠点によってパラメトライズされるとよく​​言われます）。二次曲面とを通る方向の線との交点は、 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots a_{n})}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0).}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n-1},1)}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

スカラーのある値に対して、これは の次数 2 の方程式ですが、の値は直線が二次曲線に接するものとなります (この場合、直線が二次曲線に含まれていない場合は次数は 1 で、それ以外の場合は方程式がそれ以外の値になります)。との係数は、それぞれ で高々 1 次と 2 次です。定数係数が であるため、方程式は で割ることで線形になり、その唯一の解は高々 1 次多項式を高々 2 次多項式で割った商です。この解を の式に代入すると、高々 2 次多項式の分数として目的のパラメータ化が得られます。 ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle 0=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} .}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$

例: 円と球

の二次方程式を考えてみましょう

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

これは単位円です。これは単位球です。高次元では、これは単位超球です。 ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=3}$

この点が二次曲面に属する（この点を他の類似点の中から選ぶのは、単に便宜上の問題である）。したがって、前節の式は次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

平方根を展開し、定数項を簡約し、割って解くと、 ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

これを最後の座標の式に代入して簡略化すると、媒介変数方程式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

同次化により射影パラメータ化が得られる。

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

簡単な検証により、これは2次曲面上の点と、パラメータの射影空間上の点との間に一対一の関係を誘導することがわかる。一方、およびとなるようなすべての値は、点 ${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$ ${\displaystyle T_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$ ${\displaystyle T_{n}=0}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle A.}$

円錐曲線( )の場合、 となる点は1つだけ存在し、円と射影直線の間には一対一の関係があります。 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle T_{n}=0.}$

となる点は多数存在し、したがって点 には多くのパラメータ値が存在する。一方、 となる二次曲線の他の点（したがって）は、パラメータのいかなる値に対しても得られない。これらの点は、二次曲線とその接平面が で交差する点である。この特定のケースでは、これらの点は非実複素座標を持つが、二次曲線の方程式の符号を1つ変更するだけで、結果として得られるパラメータ化では得られない実点を生成することができる。 ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle T_{n}=0,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}=-1}$ ${\displaystyle A.}$

有理点

二次関数は、その方程式の係数が に属する場合、体上で定義されます。 が有理数体である場合、分母を消去することで係数が整数であると想定できます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

体上で定義された二次曲面の点は、その座標が体上に属する場合、有理数体上であると言われます。実数体上の有理点は、実点と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

上の有理点は、単に有理点と呼ばれる。分母を空にすることで、（ 上で定義された二次曲面上の）有理点の射影座標が整数であると仮定することができ、また、係数の分母を空にすることで、二次曲面の方程式と媒介変数表示に現れる多項式のすべての係数が整数であると一般に仮定することができる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

したがって、射影二次関数の有理点を見つけることは、ディオファントス方程式を解くことと同じになります。

体F上の二次曲面上の有理点Aが与えられた場合、前のセクションで説明したパラメータ化により、パラメータがF内にあるときに有理点が得られ、逆に、点がAの接超平面内にない場合は、二次曲面のすべての有理点はF内のパラメータから得ることができます。

したがって、二次曲面に有理点がある場合、その二次曲面に他の有理点が多数存在し（Fが無限大の場合は無限に存在）、これらの点はそのうちの 1 つが分かればアルゴリズムで生成できます。

上で述べたように、射影二次曲面の場合、媒介変数化は次の形をとる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

ここで、 は整数係数を持つ 2 次同次多項式です。同次性のため、互いに素な集合の整数であるパラメータのみを考慮することができます。が二次関数の方程式である場合、この方程式の解は、その成分が互いに素な集合の整数であれば原始的であると言われています。原始解は、二次関数の有理点と 1 対 1 に対応しています (解のすべての成分の符号が変わるまで)。非原始整数解は、原始解に任意の整数を乗じることで得られるため、特に研究する必要はありません。ただし、互いに素な集合のパラメータは非原始解を生成する可能性があり、関連する原始解に到達するには最大公約数で割る必要がある場合があります。 ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle Q(X_{0},\ldots ,X_{n})=0}$

ピタゴラスの三つ組

これはピタゴラス数列によってよく説明されます。ピタゴラス数列とは、 が互いに素である正の整数の組 です。ピタゴラス数列は、 と の3つの組のいずれかが互いに素である場合に原始数となります。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (b,c)}$ ${\displaystyle (a,c)}$

上記の方法を選択すると、パラメータ化が提供されます ${\displaystyle A=(-1,0,1),}$

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

の二次方程式について（変数とパラメータの名前は、上記のものから、ピタゴラス数列を考えるときに一般的なものに変更されています）。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

mとn が互いに素な整数で、結果として 得られる三つ組はピタゴラス三つ組となる。mとnの一方が偶数でもう一方が奇数の場合、結果として得られる三つ組は原始三つ組となる。そうでない場合、mとn は両方とも奇数であり、2 で割ることで原始三つ組が得られる。 ${\displaystyle m>n>0,}$

まとめると、偶数を含む原始ピタゴラス数列は次のように得られる。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

mとnは互いに素な整数で、そのうち1つは偶数であり（これはユークリッドの公式である）。奇数を含む原始ピタゴラス数列は次のように得られる 。 ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

mとnは互いに素な奇整数であり、 ${\displaystyle m>n>0.}$

aとbの交換によりピタゴラス数列が別のピタゴラス数列に変換されるため、aとbの順序までのすべての基本ピタゴラス数列を生成するには、 2 つのケースのうちの 1 つだけで十分です。

体上の射影二次曲面

実射影空間における射影二次関数の定義（上記参照）は、体上のn次元射影空間における射影二次関数を定義することによって形式的に適応できる。座標を扱う手間を省くため、射影二次関数は通常、ベクトル空間上の二次形式から定義される。^[4]

二次形式

を体とし、上のベクトル空間とする。からへの写像で、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

(Q1) 任意の および に対して。 ${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2)は 双線形形式である。 ${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$

は二次形式と呼ばれます。双一次形式は対称です。 ${\displaystyle f}$

の場合、双線型形式は であり、すなわちとは一意に決定されます。の場合（つまり）は、双線型形式は の性質を持ち、すなわち はシンプレクティックです。 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$ ${\displaystyle f}$

と（はの基数）は、よく知られた形をとる。 ${\displaystyle V=K^{n}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$そして

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$。

例えば：

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

n体上の次元射影空間

を体とする。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle V_{n+1}}$体上の(n + 1 )次元ベクトル空間 ${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$によって生成される ${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$1次元部分空間、

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$点の集合、

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$線の集合。

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$は上のn次元射影空間です。 ${\displaystyle K}$

の次元部分空間に含まれる点の集合は、の 次元部分空間である。2次元部分空間は平面である。 ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

次元部分空間の場合、その空間は超平面と呼ばれます。 ${\displaystyle \;n>3\;}$ ${\displaystyle (n-1)}$

射影二次関数

ベクトル空間上の二次形式は、関連する射影空間における二次曲面を、 となる点の集合として定義する。つまり、 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

の例： ${\displaystyle P_{2}(K)}$
(E1):から円錐曲線 が得られる。(E2):から、方程式 とをそれぞれ満たす直線のペアが得られる。これらは点で交差する。 ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{2}=0}$ ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

以下の考察では、 であると仮定します。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

極地

ポイントセット ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

は の極空間( に関して)と呼ばれます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$

すべて について であれば、 が得られます。 ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

少なくとも1つの に対して、方程式は超平面を定義する非自明な線形方程式である。したがって、 ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$は超平面または のいずれかです。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

直線との交差

任意の直線と実二次曲線との交差については、次のようなケースが考えられます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

a)外線と呼ばれる ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$ ${\displaystyle g}$

b)は二次曲線上の直線と呼ばれる ${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$ ${\displaystyle g}$

c)接線と呼ばれる ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$ ${\displaystyle g}$

d)は割線と呼ばれます。 ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$ ${\displaystyle g}$

証明:を点 で交わる直線とし、を上の 2 番目の点とします。より次が得られます。I ) の場合、方程式が成り立ち、任意の に対してとなります。したがって、任意の に対してか、任意の に対して となり、b) および b') が証明されます。II ) の場合 、次が得られます。この方程式 には 1 つの解 が存在します。したがって、となり、c) が証明されます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$ ${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

さらに、証明は次のことを示しています。

点を通る直線が接線となるのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

f-ラジカル、q-ラジカル

古典的な場合、またはは密接に関連しているため、根号は1つしか存在しません。二次関数の場合、は（上記参照）によって決定されないため、2つの根号を扱う必要があります。 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f}$

a)は射影部分空間です。は二次曲面のf根基と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

b)はの特異根号または-根号と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

c) 1 つが持つ場合。 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

二次曲面が非退化であるとは、次の場合を指します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

の例 ${\displaystyle P_{2}(K)}$（上記参照）:
(E1): （円錐曲線）の場合、双線形形式は です 。 の場合、極空間は決して になりません。したがって です。の場合、双線形形式はおよびに簡約されます。したがってこの場合、f -根号はすべての接線の共通点、いわゆる結び目です。と のどちらの場合も、二次曲線（円錐曲線）はではありません。(E2):（直線のペア）の場合、双線形形式は で、交点が です。この例では、二次曲線はです。 ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

対称性

二次曲面はむしろ同質なオブジェクトです。

任意の点に対して、中心と を伴う反向中心共線関係が存在します。 ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

証明:極空間は超平面であるため。 ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$

線形マッピング

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}$

は、軸と中心を不変とする反向中心共線 を誘導します。の場合、写像は任意の に対してとを伴うよく知られた形状を生成します。 ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

述べる：

a) 外線、接線、または割線は、それぞれ外線、接線、および割線上の反転によってマッピングされます。 ${\displaystyle \sigma _{P}}$

b)は によって点ごとに固定されます。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$

q-部分空間と二次曲面の指数

の部分空間が -部分空間と呼ばれるのは、 ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

たとえば、球面上の点や双曲面上の線などです(下記参照)。

任意の２つの最大 部分空間は同じ次元を持つ。^[5] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$

を の最大 -部分空間の次元とすると、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

この整数は のインデックスと呼ばれます。 ${\displaystyle \;i:=m+1\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

定理: ^[6]

非退化二次関数の指数については次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$。

を の非退化二次関数とし、その指数とする。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K),n\geq 2}$ ${\displaystyle i}$

二次曲面の場合は球面（または楕円円錐の場合は）と呼ばれます。 ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle n=2}$

二次曲面の場合は双曲面（一枚）と呼ばれます。 ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

例:

a)形式の2 次曲線は指数 1 で非退化です。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{2}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

b )多項式がΓ ...​​​​ ​ ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

c)二次形式では双曲面が生成されます。 ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

二次曲面の一般化：二次集合

真歪体（分割環）上の空間に二次曲面の定義を形式的に拡張することは合理的ではない。なぜなら、二次曲面の2点以上を含む割線が得られるため、通常の二次曲面とは全く異なるからである。^{[7] [8] [9]}その理由は以下の通りである。

分割環 が可換である場合、かつその場合のみ、任意の方程式は最大で 2 つの解を持ちます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

二次曲面には、二次集合という一般化がある。^[10]二次集合は、二次曲面と同じ幾何学的性質を持つ射影空間の点の集合である。つまり、すべての直線は、最大で2点で二次集合と交わるか、集合に含まれる。

参照

• クラインの二次関数
• 軸の回転
• 超二次関数
• 軸の移動

参考文献

1. ミネソタ大学幾何学センター所蔵のCRC標準数学表と公式第30版（CRC Press）より抜粋
2. Stewart VenitとWayne Bishop、「Elementary Linear Algebra（第4版）」、International Thompson Publishing、1996年。
3. S. Lazebnik と J. Ponce、「滑らかな表面の局所射影形状とその輪郭」(PDF)。、命題1
4. Beutelspacher/Rosenbaum p.158
5. Beutelpacher/Rosenbaum、p.139
6. F. ブエケンハウト: Ensembles Quadratiques des Espace Projective、数学。タイチュル。 110 (1969)、p. 306-318。
7. R. Artzy : The Conic in Moufang Planes ${\displaystyle y=x^{2}}$、Aequat.Mathem. 6 (1971)、p. 31-35
8. E. ベルツ: Desarguesschen Ebenen のケーゲルシュニット、数学。ツァイチュル。 78 (1962)、p. 55-8
9. 外部リンク E. ハートマン:平面円幾何学、p. 123
10. Beutelspacher/Rosenbaum: p. 135

参考文献

• M. オーディン:幾何学、シュプリンガー、ベルリン、2002、ISBN 978-3-540-43498-6、200ページ。
• M. Berger:数学の問題集、ISSN 0941-3502、Springer New York、pp 79–84。
• A. Beutelspacher、U. Rosenbaum:射影幾何学、Vieweg + Teubner、ブラウンシュヴァイク ua 1992、ISBN 3-528-07241-5、159ページ。
• P.デンボウスキー：有限幾何学、シュプリンガー、1968年、ISBN 978-3-540-61786-0、43ページ。
• Iskovskikh, VA (2001) [1994]、「Quadric」、数学百科事典、EMS Press
• ワイスタイン、エリック・W.「Quadric」。MathWorld。

外部リンク

• すべての二次曲面のインタラクティブな Java 3D モデル
• 講義ノート「平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門」p. 117

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