量子調和振動子

Important, well-understood quantum mechanical model

ニュートンの古典力学の法則（A–B）と量子力学のシュレーディンガー方程式（C–H）に従った調和振動子のいくつかの軌道。A–Bでは、粒子（バネに取り付けられたボールとして表される）が前後に振動します。C–Hには、シュレーディンガー方程式のいくつかの解が示されています。ここで、横軸は位置、縦軸は波動関数の実部（青）または虚部（赤）です。C 、D、E、Fはエネルギー固有状態ですが、GとHはそうではありません。Hはコヒーレント状態、つまり古典軌道を近似する量子状態です。

量子調和振動子は、古典調和振動子の量子力学的類似体である。任意の滑らかなポテンシャルは通常、安定平衡点の近傍における調和ポテンシャルとして近似できるため、量子力学における最も重要なモデル系の一つである。さらに、正確な解析解が知られている数少ない量子力学系の一つでもある。^{[1] [2] [3] [4]}。

1次元調和振動子

ハミルトニアンとエネルギー固有状態

最初の 8 つの境界固有状態 ( n = 0 ～ 7) の波動関数表現。水平軸は位置xを示します。

対応する確率密度。

粒子のハミルトニアンは次のように表される。ここで、mは粒子の質量、kは力の定数、は振動子の角周波数、は位置演算子（座標基底ではxで与えられる）、は運動量演算子（座標基底ではxで与えられる） である。ハミルトニアンの最初の項は粒子の運動エネルギーを表し、2番目の項はフックの法則と同様に粒子の位置エネルギーを表す。^[5] $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$ ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$

時間独立シュレーディンガー方程式（TISE）は、 時間独立エネルギーレベル、つまり固有値を指定する実数（決定する必要がある）を表し、解は そのレベルのエネルギー固有状態を表します。^[6] $${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

次に、この固有値問題を表す微分方程式を、波動関数について、 スペクトル法を用いて座標基底で解く。解の族が存在することがわかる。この基底において、それらはエルミート関数となる。^{[7] [8]} ${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

関数H _nは物理学者のエルミート多項式であり、 $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

対応するエネルギー準位は^[9]である。位置と運動量の期待値と各変数の分散を波動関数から導出することで、エネルギー固有ケットの挙動を理解することができる。問題の対称性により、それらは次のように示される。 $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$ ${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$ ${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}}$

位置と運動量の分散は、エネルギー準位が高くなるほど大きくなることが観測されている。最も低いエネルギー準位の値は不確定性関係により最小値となり、ガウス波動関数に対応する。^[10] ${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$

このエネルギー スペクトルは、次の 4 つの理由で注目に値します。第 1 に、エネルギーは量子化されているため、離散的なエネルギー値 ( ħωの整数倍 + 半倍) のみが可能です。これは、粒子が閉じ込められている場合の量子力学システムの一般的な特徴です。第 2 に、これらの離散的なエネルギー レベルは、原子のボーア モデルや箱の中の粒子とは異なり、等間隔になっています。第 3 に、達成可能な最低エネルギー ( n = 0状態のエネルギー、基底状態と呼ばれる) は、ポテンシャル井戸の最小値ではなく、それよりもħω /2だけ上です。これは、ゼロ点エネルギーと呼ばれます。ゼロ点エネルギーのため、基底状態の振動子の位置と運動量は固定されていません (古典的な振動子の場合のように) が、ハイゼンベルクの不確定性原理に従って、小さな範囲の変動があります。第 4 に、エネルギー レベルは非縮退であるため、すべての固有値は 1 つの解 (状態) のみに関連付けられます。^[11]

基底状態の確率密度は原点に集中しており、これは粒子がほとんどの時間をポテンシャル井戸の底で過ごすことを意味します。これは、エネルギーの低い状態から予想される通りです。エネルギーが増加するにつれて、確率密度は古典的な「転換点」でピークに達します。そこでは、状態のエネルギーがポテンシャルエネルギーと一致します。（高励起状態に関する以下の議論を参照。）これは、粒子が最も遅く移動する転換点付近でより多くの時間を過ごします（したがって、粒子が見つかる可能性が高くなります）。このようにして対応原理が満たされます。さらに、不確実性が最小である特殊な非分散波束はコヒーレント状態と呼ばれ、図に示すように、古典的な物体と非常によく似た振動をします。これらはハミルトニアンの固有状態で はありません。

ラダー演算子法

束縛固有状態の確率密度 | ψ _n ( x )| ^{2 。}下は基底状態 ( n = 0 ) で始まり、上に向かってエネルギーが増加する。横軸はx の位置を示し、明るい色は高い確率密度を表す。

ポール・ディラックによって開発された「ラダー演算子」法は、微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出することを可能にする。^{[12]これはより複雑な問題、特に}量子場の理論に一般化できる。このアプローチに従って、演算子とその随伴演算子を定義する。これらの演算子は、古典的には、およびの位相空間における正規化された回転の生成子と全く同じである。つまり、古典的な調和振動子の時間における前方および後方への発展を記述する。^{[説明が必要]} ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$

これらの演算子は、および の次の表現につながります。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}({\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}})~.\end{aligned}}}$$

演算子a はエルミート演算子ではない。なぜなら、それ自身とその随伴演算子a ^†は等しくないからである。エネルギー固有状態| n ⟩にこれらのラダー演算子を作用させると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

上記の関係から、次の特性を持つ 数値演算子Nを定義することもできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}&={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {N}}\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

標準的な交換関係を代入することで、以下の交換子を簡単に得ることができる。 $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}},}$$

ハミルトン演算子は次のように表される。 $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

したがって、 の固有状態は エネルギーの固有状態でもある。これを確認するには、数状態 に適用してみましょう。 ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

数値演算子の特性を利用する： ${\displaystyle {\hat {N}}}$

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

結果は次のようになります:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

したがって、ハミルトニアン演算子 の TISE を解くので、 も対応する固有値を持つその固有状態の 1 つです。 ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

QED。

交換性の性質により $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

同様に、 $${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|n\rangle =(n-1){\hat {a}}|n\rangle .}$$

これは、 が に作用して（乗法定数まで）を生成し、が に作用してを生成することを意味します。このため、は消滅演算子（「下げる演算子」）、生成演算子 （ 「上げる演算子」）と呼ばれます。この2つの演算子を合わせてラダー演算子と呼びます。 ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |n-1\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |n+1\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

任意のエネルギー固有状態に対し、低下演算子aを作用させることで、 ħωだけエネルギーが低い別の固有状態を生成することができます。低下演算子を繰り返し適用することで、 E = −∞までのエネルギー固有状態を生成できるようです。しかし、 $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

数演算子の最小の固有値は0であり、 $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

この場合、その後の低減演算子の適用は、追加のエネルギー固有状態を生成するのではなく、単にゼロを生成する。さらに、上で示したように、 $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

最後に、|0⟩に上昇演算子を作用させ、適切な正規化係数を掛けることで、無限のエネルギー固有状態を生成することができる。 $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

これは前のセクションで示したエネルギースペクトルと一致する。 $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$

任意の固有状態は|0⟩で表される^[13] $${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

証拠

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

分析的な質問

これまでの解析は代数的であり、上昇演算子と下降演算子の間の交換関係のみを用いている。代数的解析が完了したら、解析的な問題に移る。まず、基底状態、すなわち方程式の解を求める。位置表現において、これは1階微分方程式であり、 その解は容易にガウス^[注1]となる。概念的には、この方程式の解が1つしかないことが重要である。例えば、2つの線形独立な基底状態が存在する場合、調和振動子の固有ベクトルの独立した鎖が2つ得られる。基底状態が計算されれば、位置表現における上昇演算子の明示的な形を用いて、励起状態がガウス基底状態のエルミート多項式倍数であることを帰納的に証明できる。また、基底状態の一意性から予想されるように、ラダー法によって構築されたエルミート関数のエネルギー固有状態は、完全な直交関数の集合を形成することも証明できる。^[14] ${\displaystyle a\psi _{0}=0}$ $${\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}=0,}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}.}$$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

エルミート関数が偶数か奇数かを考えると、QHOのすべての状態において平均変位と平均運動量は0であることが示される。^[11]

前のセクションと明示的に関連付けると、位置表現における基底状態|0⟩は によって決定されるため、 、などが成り立ちます。 ${\displaystyle a|0\rangle =0}$ $${\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow }$$ $${\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)=\psi _{0}~,}$$ $${\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger }\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}$$ ${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle }$

自然の長さとエネルギーのスケール

量子調和振動子は長さとエネルギーの自然なスケールを持ち、これを用いて問題を単純化することができます。これらは無次元化によって見つけることができます。

その結果、 エネルギーがħωの単位で測定され 、距離が√ ħ /( mω )の単位で測定される場合、ハミルトニアンは に簡略化され、エネルギー固有関数と固有値は、半分だけオフセットされたエルミート関数と整数に簡略化されます。ここで、 H _n ( x )はエルミート多項式です。 $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}$$ $${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$

混乱を避けるため、この記事ではこれらの「自然単位」をほとんど使用しません。しかし、計算を行う際には煩雑さを回避できるため、しばしば役立ちます。

例えば、この振動子の時間依存シュレーディンガー作用素であるH − i∂ _tの基本解（伝播関数）は、単純にメーラー核に帰着する。^{[15] [16]}ここでK ( x , y ;0) = δ ( x − y )である。与えられた初期配置ψ ( x ,0)に対する最も一般的な解は、単純に $${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,}$$ $${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

コヒーレント状態

調和振動子の長さ を単位とした のコヒーレント状態ダイナミクス。確率密度と量子位相 (色) を示しています。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega }}}$ ${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$

調和振動子のコヒーレント状態（グラウバー状態とも呼ばれる）は、最小不確実性σ _x σ _p = ℏ ⁄ 2を持つ特殊な非分散波束であり、その観測量の期待値は古典系のように発展する。これらはハミルトニアンではなく消滅作用素の固有ベクトルであり、結果として直交性を失う過剰完備基底を形成する。^[17]

コヒーレント状態は| n ⟩基底で次のように表され、インデックスが付けられる。 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .}$$

コヒーレント状態はエネルギー固有状態ではないため、その時間発展は波動関数の位相の単純なシフトではありません。しかし、時間発展状態もコヒーレント状態ですが、位相シフトパラメータαが代わりに用いられます。 ${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$ $${\displaystyle |\alpha (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle }$$

とKermack-McCrae恒等式により、最後の形式は基底状態に作用するユニタリ変位演算子と等価である： 。期待値を計算する： ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}|\alpha _{0}|\cos {(\omega t-\phi )}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}|\alpha _{0}|\sin {(\omega t-\phi )}}$

ここで、 は複素αによって寄与される位相です。これらの式は粒子の振動挙動を裏付けています。 ${\displaystyle \phi }$

数値法を使用して計算された不確実性は次のとおりです。

${\displaystyle \sigma _{x}(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(t)={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

これにより、 が得られます。位置-運動量の不確実性が最小となる波動関数はガウス波動関数のみであり、コヒーレント状態の波動関数は位置-運動量の不確実性が最小となるため、量子力学における一般的なガウス波動関数は次の形式になります。期待値を時間の関数として代入すると、必要な時間変動波動関数が得られます。 ${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$

各エネルギー固有状態の確率を計算すると、波動関数のエネルギー分布がわかります。

${\displaystyle P(E_{n})=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$

これはポアソン分布に対応します。

高度に励起された状態

量子調和振動子のn = 30励起状態の波動関数（上）と確率密度（下）。縦の破線は古典的な転換点を示し、点線は古典的な確率密度を表す。

nが大きい場合、固有状態は古典的許容領域、すなわちエネルギーE _nを持つ古典粒子が移動できる領域に局在する。固有状態は、古典的許容領域の両端において古典粒子が方向を変える点、すなわち転換点付近でピークに達する。この現象は、エルミート多項式の漸近解析とWKB 近似によって検証できる。

xにおける振動の周波数は、エネルギーE _n 、位置xの古典粒子の運動量p ( x )に比例します。さらに、振幅の2乗（確率密度を決定する）はp ( x )に 反比例し、古典粒子がx付近に留まる時間の長さを反映します。転換点の小さな近傍におけるシステムの挙動は、単純な古典的説明はありませんが、エアリー関数を使用してモデル化できます。エアリー関数の特性を使用すると、粒子が古典的に許容される領域の外側にある確率を、おおよそ次のように推定できます。 これは、漸近的に、積分によっても与えられます 。 $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

位相空間解

量子力学の位相空間定式化において、量子調和振動子の固有状態は、準確率分布の様々な表現において閉じた形で記述することができる。最も広く用いられているのは、ウィグナー準確率分布である。

エネルギー固有状態| n⟩に対するウィグナー準確率分布は、上述の自然単位では^[18]で表され、 ここでLn_はラゲール多項式である。この例は、エルミート多項式とラゲール多項式がウィグナー写像を介してどのように結びついているかを示している。 $${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(2(x^{2}+p^{2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$

一方、調和振動子の固有状態のHusimi Q関数はさらに単純な形をとる。上述の自然単位で作業する場合、次の式が得られる 。この主張は、 Segal–Bargmann変換を用いて検証することができる。具体的には、Segal–Bargmann表現における累乗演算子は単に を乗じたもので、基底状態は定数関数1であるため、この表現における正規化された調和振動子の状態は単に となる。この時点で、Segal–Bargmann変換を用いたHusimi Q関数の式を利用できる。 $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$ ${\displaystyle z=x+ip}$ ${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$

2次元調和振動子

2次元直交座標系調和振動子と円筒座標系における2次元等方性調和振動子については、ミュラー・キルステンの著書^[19]で詳しく扱われている。

北次元等方性調和振動子

1次元の調和振動子はN次元（ N = 1, 2, 3, ... ）に容易に一般化できる。1次元では、粒子の位置は単一の座標xで指定されていた。N次元では、これはN個の位置座標に置き換えられ、 x ₁ , ..., x _Nと表記される。各位置座標に対応するのは運動量であり、これをp ₁ , ..., p _Nと表記する。これらの演算子間の標準的な交換関係は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}$$

このシステムのハミルトニアンは $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}$$

このハミルトニアンの形から明らかなように、N次元調和振動子は、同じ質量とバネ定数を持つN個の独立した1次元調和振動子と全く相似です。この場合、 x ₁ , ..., x _NはN個の粒子それぞれの位置を表します。これはr ²ポテンシャルの便利な性質であり、これにより位置エネルギーをそれぞれ1つの座標に依存する項に分離することができます。

この観察により、解は単純になります。特定の量子数集合に対して、N次元振動子のエネルギー固有関数は、1次元固有関数を用いて次のように表されます。 ${\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }$$

ラダー演算子法では、N組のラダー演算子を定義する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}$$

1次元の場合と同様の手順で、a _i演算子とa ^† _i演算子はそれぞれエネルギーをℏωだけ低下または上昇させることを示すことができます。ハミルトニアンは、 このハミルトニアンは動的対称群U ( N ) （ N次元のユニタリー群）の下で不変であり、次のように定義されます。ここで、はU ( N )の定義行列表現の要素です。 $${\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),}$$ ${\displaystyle U_{ji}}$

システムのエネルギーレベルは $${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}$$ $${\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}$$

1次元の場合と同様に、エネルギーは量子化されます。基底状態のエネルギーは、N個の独立した1次元振動子との類推から予想されるように、1次元の基底エネルギーのN倍になります。さらにもう一つ違いがあります。1次元の場合、各エネルギー準位は固有の量子状態に対応します。N次元では、基底状態を除いて、エネルギー準位は縮退しており、つまり、同じエネルギーを持つ複数の状態が存在することになります。

退化は比較的簡単に計算できます。例として、 3 次元の場合を考えます。n = n ₁ + n ₂ + n ₃と定義します。同じnを持つすべての状態は同じエネルギーを持ちます。特定のnに対して、特定のn ₁を選択します。すると、n ₂ + n ₃ = n − n ₁となります。可能なペアは{ n ₂、n ₃ } のn − n ₁ + 1通りあります。 n _{2 は}0からn − n ₁までの値を取ることができ、各n _{2に対して}n ₃の値は固定されています。したがって、退化の次数は次のとおりです。一般的なNおよびnの式[ g _nは、ユニタリ群U ( N )の対称既約n乗表現の次元]:上記の特殊なケースN = 3 は、この一般的な方程式から直接導かれます。しかし、これは区別可能な粒子、すなわちマクスウェル・ボルツマン統計（量子統計ではない）またはN次元（次元が区別可能であるため）における1粒子の場合にのみ当てはまる。1次元調和トラップ内のNボソンの場合、縮退は整数nをN以下の整数で分割する方法の数に比例する。縮退の大漸近的挙動はエネルギーとは実質的に独立であることが示されており、これは古典的な場合とは異なり発散する^[20]。この縮退は $${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ $${\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}={\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}},\;\;\;n=n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n).}$$

これは、 N個の量子を およびの状態 ket に配置するという制約により生じます。これらの制約は、整数分割の場合と同じ制約です。 ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$

例: 3次元等方性調和振動子

シュレーディンガーの3次元球面調和関数軌道解を2次元密度プロットで表示します。プロットを生成するために使用したMathematicaのソースコードは上部にあります。

球対称な三次元調和振動子内の粒子に対するシュレーディンガー方程式は、変数分離によって明示的に解くことができます。この手順は水素様原子問題で行われた変数分離と類似していますが、球対称ポテンシャルが異なります。ここで、μは粒子の質量です。以下では磁気量子数としてmを使用するため、質量は 本稿の前半で 示したmではなくμで表します。 $${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$

この方程式の解は次の通りである：^[21]ここで $${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$正規化定数です。 ${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

一般化ラゲール多項式です。多項式の次数k は非負の整数です。

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$は球面調和関数である。
• ħは換算プランク定数である。 ${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

エネルギーの固有値はエネルギーは通常単一の量子数で記述される $${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

kは非負の整数なので、任意の偶数nに対してℓ = 0, 2, ..., n − 2, nが成り立ち、任意の奇数nに対してℓ = 1, 3, ..., n − 2, n が成り立ちます。磁気量子数mは− ℓ ≤ m ≤ ℓ を満たす整数なので、任意のnとℓに対して、 2 ℓ  + 1 個の異なる量子状態があり、これらはmでラベル付けされます。したがって、レベルnでの退化は、nが偶数か奇数 かに応じて、合計が 0 または 1 から始まるところです 。この結果は上記の次元の公式に従っており、関連する退化群SU(3) [ ^22]の対称表現の次元に相当します。 $${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$

アプリケーション

調和振動子格子：フォノン

調和振動子の表記法は、多数の粒子からなる一次元格子に拡張できます。N個の同一原子からなる一次元量子力学的調和振動鎖を考えてみましょう。これは格子の最も単純な量子力学的モデルであり、ここからフォノンがどのように発生するかを見ていきます。このモデルのために展開する形式論は、二次元および三次元にも容易に一般化できます。

前節と同様に、質量の位置を 平衡位置から測った x ₁ , x ₂ , ...で表す（つまり、粒子iが平衡位置にある場合、 x _i = 0）。2次元以上の場合、x _iはベクトル量である。この系のハミルトニアンは

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$ここで、 mは各原子の（均一と仮定した）質量であり、 x _iと p _iはi番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近傍原子（nn）について計算されます。しかし、より便利なフーリエ空間で作業するため、ハミルトニアンは粒子座標ではなく波動ベクトルの通常モードを用いて書き直すのが慣例です。

3つの振動双極子の重ね合わせ - 異なるn、l、mに対する共通波動関数の時間伝播を示す

そこで、 xの離散フーリエ変換として定義されるN個の「正規座標」Q _kと、pのフーリエ変換として定義されるN個の「共役運動量」 Πを導入する。 $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$ $${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

k _nという値はフォノンの波数、つまり 2 πを波長 で割った値になります。原子の数は有限であるため、k n は量子化された値を取ります。

これにより、実空間でも波数ベクトル空間でも所望の交換関係が維持される。

3つの異なる原子の共通波動関数の時間伝播の別の図は、分布挙動に対する角運動量の影響を強調している。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

一般的な結果から、基本的な三角法を用いて、位置エネルギー項が次の式 で表されることが簡単に示される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}$$ $${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

ハミルトニアンは波動ベクトル空間では次のように書ける。 $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

位置変数間の結合は変換されて除去されていることに注意してください。Q と Π がエルミートである場合(実際はそうではありません)、変換されたハミルトニアンはN 個の非結合調和振動子を記述します。

量子化の形は境界条件の選択に依存する。簡単のため、周期境界条件を課し、( N +1)番目の原子を最初の原子と等価と定義する。物理的には、これは鎖の末端を結合することに相当する。結果として得られる量子化は

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

nの上限は最小波長から来ており、これは上で説明したように格子間隔a の2 倍です。

モードω _kの調和振動子の固有値またはエネルギーレベルは $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

ゼロ点エネルギーを無視すると、準位は均等に配置され、 $${\displaystyle 0,\ \hbar \omega ,\ 2\hbar \omega ,\ 3\hbar \omega ,\ \cdots }$$

したがって、調和振動子格子を次のエネルギー準位に押し上げるには、正確な量のエネルギー ħωを供給しなければならない。電磁場が量子化される光子の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。

すべての量子系は波動性と粒子性を示す。フォノンの粒子性は、第二量子化法と演算子法を用いることで最もよく理解される。^[23]

連続極限では、a → 0、N → ∞となり、Naは固定されます。標準座標Q _kはスカラー場の分離運動量モードに退化し、位置インデックスi（変位力学変数ではない）はスカラー場のパラメータx引数となります。 ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$

分子振動

• 二原子分子の振動は、量子調和振動子の二体バージョンの一例である。この場合、角周波数は次式で与えられる。ここで、は換算質量、およびは2つの原子の質量である。^[24] $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$ ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$
• 上で説明したように、フォノンをモデル化します。
• 均一な磁場内の質量を持つ電荷は、1 次元の量子調和振動子、つまりランダウ量子化の例です。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$
• 調和振動子モデルは二原子分子の核間ポテンシャルを近似しており、低い振動状態はモデルに非常に似ており、高い振動状態は非調和性のために逸脱している。^[11]

フックの法則

• フックの原子は、量子調和振動子を使用したヘリウム原子の単純なモデルです。
• フックの法則は、質量がバネ上を移動するモデルであり、質量に作用する力はその変位に比例する。^[11]
• この仮定から、バネ上の質量の一般解を導くことができる。^[11]
• 質量の変位は A と -A で最大値と最小値に達します。ここで A は振幅と呼ばれます。
• このシステムは、総エネルギーが変化せず、運動エネルギーと位置エネルギーの間で継続的に再分配される保存システムであると考えられています。

逆調和振動子

逆調和振動子についてはG. Bartonによって詳細に研究されている。^[25]またHJW Müller-Kirsten ^[26]およびC. Yuce、A. Killen、A. Coruh ^{[27]も参照。}

ディラック振動子

ディラック方程式の導出に類似したエネルギーからの調和振動子の考察（いわば方程式の「平方根」からの考察）は、ロレラ・M・ジョーンズによって研究されてきた。^[28] ${\displaystyle E={\mathbf {p}}^{2}/2m+m\omega ^{2}q^{2}/2}$ ${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }+m^{2}=0}$

参照

• 量子振り子
• 量子機械 – 量子力学的マクロオブジェクト
• 調和トラップ内のガス – 量子力学モデル
• 生成消滅演算子 – 量子力学で有用な演算子
• コヒーレント状態 – 量子調和振動子の特定の量子状態
• モースポテンシャル – 二原子分子のポテンシャルエネルギーのモデル
• ベルトランの定理 – 物理学の定理
• メーラー核 – 複素数値関数
• 分子振動 – 分子の原子の周期的な運動

注記

1. 正規化定数は であり、正規化条件 を満たします。 ${\displaystyle C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1}/{4}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1}$

参考文献

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2. リボフ 2002.
3. Rashid, Muneer A. (2006). 「ハミルトニアンに線形時間依存項を追加した時間依存線形調和振動子の遷移振幅」(PDF) . MA Rashid –先端数学・物理学センター.国立物理学センター. オリジナル( PDF - Microsoft PowerPoint )から2016年3月3日にアーカイブ。 2010年10月19日閲覧。
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14. ホール、ブライアン・C.（2013）、数学者のための量子理論、数学大学院テキスト、第267巻、シュプリンガー、定理11.4、Bibcode：2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158
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参考文献

• グリフィス、デイヴィッド・J. (2004). 『量子力学入門（第2版）』 プレンティス・ホール出版. ISBN 978-0-13-805326-0。
• リボフ、リチャード・L. (2002). 『量子力学入門』アディソン・ウェズレー. ISBN 978-0-8053-8714-8。
• ミュラー＝キルステン、ハラルド・JW（2012年）『量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分』（第2版）ワールド・サイエンティフィック社ISBN 978-0-9810-4397-5。
• ツヴィーバッハ、バートン(2022)。量子力学をマスターする: 基礎、理論、および応用。 MITプレス。ISBN 978-0-262-04613-8。

外部リンク

• 量子調和発振器
• ラダー演算子を選択した理由
• 量子調和振動子のライブ3D強度プロット 2011年7月12日アーカイブWayback Machine
• 駆動・減衰量子調和振動子（「電気回路における量子光学」講義ノート）

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