四半期期間

楕円関数の理論における特殊関数

数学において、4分の1周期 K ( m ) と i K  ′ ( m ) は、楕円関数の理論に現れる特殊な関数です。

4分の1周期Kとi K  ′は次のように与えられる。

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

そして

${\displaystyle {\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,}$

mが実数（0 < m < 1）のとき、 KとK  ′ はどちらも実数です。慣例により、Kは実数四半期周期、 i K  ′ は虚数四半期周期と呼ばれます。 m、K、K  ′ 、またはK  ′/ Kのいずれか1つが、他の値を一意に決定します。

これらの関数は、ヤコビ楕円関数の理論に登場します。楕円関数とが、周期とを持つ周期関数であるため、これらは1/4 周期と呼ばれます。ただし、関数 も、 よりも小さい周期 (絶対値で) 、つまりで周期的です。 ${\displaystyle \operatorname {sn} u}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4{\rm {i}}K'.}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle 4\mathrm {i} K'}$ ${\displaystyle 2\mathrm {i} K'}$

表記

1/4周期は、 を代入することで、本質的には第一種楕円積分となります。この場合、 の代わりに と書きますが、両者の違いを理解するには、 と のどちらが使用されているかという表記法に依存します。この表記法の違いから、それに伴う用語が生まれました。 ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle K(k)\,}$ ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

• ${\displaystyle m}$パラメータと呼ばれる
• ${\displaystyle m_{1}=1-m}$補完パラメータと呼ばれる
• ${\displaystyle k}$楕円係数と呼ばれる
• ${\displaystyle k'}$は相補楕円係数と呼ばれ、 ${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}$
• ${\displaystyle \alpha }$モジュラー角、ここで ${\displaystyle k=\sin \alpha ,}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$補モジュラー角。注意すべきは

${\displaystyle m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .}$

楕円係数は、4分の1周期で次のように表すことができます。

${\displaystyle k=\operatorname {ns} (K+{\rm {i}}K')}$

そして

${\displaystyle k'=\operatorname {dn} K}$

ここで、および はヤコビ楕円関数です。 ${\displaystyle \operatorname {ns} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$

名前は​ ${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.}$

補名は次のようになる。

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.}$

実数四半期周期は、ノームを含むランベルト級数として表すことができます。

${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.}$

追加の展開と関係については、楕円積分のページを参照してください。

参考文献

• ミルトン・アブラモウィッツとアイリーン・A・ステガン（1964年）『数学関数ハンドブック』ドーバー出版、ニューヨーク。ISBN 0-486-61272-4第16章と第17章を参照してください。

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