四次方程式

Polynomial equation of degree 4

数学において、四次方程式とは、四次関数がゼロとなる方程式のことである。四次方程式の一般的な形は以下の通りである。

4 つの根と 3 つの臨界点を持つ 4 次多項式関数のグラフ。

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

ここで、a  ≠0です。

4 次方程式は、一般に根号で解くことができる最も高次の多項式方程式です。

歴史

ロドヴィコ・フェラーリは1540年に四次数解を発見したとされているが、この解は四次数のすべての代数的解と同様に三次数解を必要とするため、すぐには出版されなかった。^[1]四次数解は三次数解とともに、フェラーリの師であるジェロラモ・カルダーノによって『アルス・マグナ』（1545年）に出版された。

これがそのような解が見つかる最高次の一般多項式であることの証明は、 1824年のアーベル・ルフィニの定理において初めて示され、高次多項式を解こうとする試みはすべて無駄であることが証明された。エヴァリスト・ガロワが1832年の決闘で亡くなる前に残したメモは、後に多項式の根に関する洗練された完全な理論へとつながり、この定理はその一つの成果であった。 ^[2]

特殊なケースの解決策

次の形式で表される4次方程式を考えます。 ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

四次方程式の根を求める一般的な公式は、主項の係数がゼロでない場合、存在します。しかし、この一般的な方法は非常に複雑で、実行時にエラーが発生しやすいため、可能であれば、以下に挙げる特殊なケースのいずれかを適用するのが適切です。

退化したケース

定数項a ₄  = 0のとき、根の1つはx = 0となり、他の根はxで割って得られる3次方程式を解くことで 求められる。

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

明らかな根: 1 と −1 と −け

4次多項式をQ ( x )とします。1の任意のべき乗は1なので、

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

したがって、Q (1) = 0 のときx = 1 はQ ( x )の根である。同様に、 x = −1 のときも根であることが示される。 ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

どちらの場合でも、完全な4次関数はそれぞれ係数( x − 1)または( x + 1)で割ることができ、新しい3次多項式が生成されます。これを解くことで、4次関数の他の根を見つけることができます。

であり、が方程式の根であるとき、完全な四次方程式は次のように因数分解できます。 ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ ${\displaystyle \ x=-k\ }$

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

あるいは、の場合には、 x = 0とx = − kは2つの既知の根になります。Q ( x )をx ( x + k )で割ったものは2次多項式です。 ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$

双二次方程式

3と1が₀に等しい4次方程式は次の形をとる_。

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

となり、これは簡単に解ける2次方程式となる。 とおくと、方程式は次のようになる。 ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

これは単純な二次方程式であり、その解は二次方程式の公式を使って簡単に求められます。

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

これを解くと（つまり、これら2つのZ値を見つけたら）、そこからxを抽出できる。

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

z解のいずれかが負の数または複素数の場合、x解の一部は複素数になります。

準対称方程式

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

手順:

1. x  ²で割ります。
2. 変数変更z = x + m / xを使用します。
3. つまり、z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 mです。

この結果、次のようになります。

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$、

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$、

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+(a_{2}-2ma_{0})=0}$（ z = x + m / xの二次方程式）

多重根

四次方程式に二重根がある場合、多項式の最大公約数とその導関数を求めることで求めることができます。そして、それらを割り算して、結果として得られる二次方程式を解きます。

一般に、多重根を持つ四次方程式は4つの場合しか存在せず、それらは以下の通りである。^[3]

1. 重複度4（M4）：一般の4次方程式が、ある実数に対してと表せる場合。この場合は常に4次方程式に簡約できる。 ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. 重複度3（M3）：一般四次方程式が と表せる場合。ここで 、 と は それぞれ異なる実数である。これは、双四次方程式に帰着できない唯一のケースである。 ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
3. 二重重複度2（DM2）：一般四次方程式が と表せる場合。ここで、 と は それぞれ異なる2つの実数、または2つの非実複素共役数である。この場合も、常に四次方程式に簡約できる。 ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
4. 単一重複度2 (SM2): 一般的な四次方程式が と表せる場合。ここで、  、 、 は3つの異なる実数、またはは実数で、 とは非実複素共役数のペアです。このケースは、双四次方程式に簡約できる場合とできない場合の2つのサブケースに分けられます。 ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

次のように、減退した4次方程式の3つの非モニック係数が一般の4次方程式の5つの係数で表現できる場合を考えます。 ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$、

次に、多重根を持つ 4 次方程式の各ケースとそれぞれの解を事前に識別するための基準を以下に示します。

• M4. の場合には常に一般の4次方程式がこれに該当するので、この方程式の4つの根は次のように与えられる。 ${\displaystyle p=q=r=0}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$。

• M3. および の場合には、一般的な4次方程式がこれに該当するので、 の場合には、この方程式の4つの根は次のように与えられる。 ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

それ以外の場合: ${\displaystyle q\leq 0}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• DM2. の場合には常に一般四次方程式がこの場合に対応するので、この方程式の4つの根は次のように与えられる。 ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$

${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• 双二次SM2。 のときはいつでも、一般の4次方程式はSM2方程式のこの部分ケースに対応するので、この方程式の4つの根は次のように与えられる。 ${\displaystyle p\neq q=r=0}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$。

• 非双二次SM2。一般の4次方程式は、SM2方程式のこの部分ケースに対応するので、この方程式の4つの根は次の式で与えられる：^[4] ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$、

どこ：

${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$

${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$

${\displaystyle \xi =\pm 1}$。

一般的なケース

四次方程式の公式を、一次方程式の場合の四次方程式の係数を用いて完全に書き表したもの。扱いにくいため、通常は係数から計算された補助変数を用いて表される。

まず最初に、四次曲線を凹四次曲線に変換する必要があります。

凹四次曲線への変換

させて

${\displaystyle \ Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0\ }$

1'

を解くべき一般四次方程式とする。両辺をAで割ると、

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

最初のステップは、Bがまだゼロでない場合、 x ³項を消去することです。これを行うには、変数をxからuに変更します。

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

それから

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

二項式のべき乗を展開すると

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

uの同じべき乗を集めると

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

ここでuの係数の名前を変更します。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

結果として得られる方程式は

${\displaystyle \ u^{4}+au^{2}+bu+c=0\ }$

1

これは、4 次方程式の落ち込みです。

すると、上で説明したように、簡単に解ける特殊な双二次方程式が得られます。ただし、以下に示す一般解は特殊なケースには適用できないことに注意してください。この方程式は双二次方程式として解く必要があります。 ${\displaystyle \ b=0\ }$ ${\displaystyle \ b=0\ .}$

どちらの場合も、 uについて下降四次方程式を解いた後、それらの値を

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

元の 4 次方程式を解くxの値を生成します。

陥没四次方程式を解くときb≠ 0

下降四次方程式に変換した後

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

そして、2次方程式として解かれる特殊なケースであるb = 0を除いて、ここからはb ≠ 0であると仮定します。

左と右の用語を次のように分けます。

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

両辺に項を加えると、両方とも完全な平方数になります。

yを次の3次方程式の解とします。

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

すると（b ≠0なので）

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

それを割ると

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

それから

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

引き算をすると、2つの平方根の和と差の積である2つの平方根の差が得られる。

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

これは、2つの因数それぞれに二次方程式の公式を適用することで解くことができます。したがって、uの可能な値は次のとおりです。

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$または

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

3次方程式の3つの根から別のyを使うと、同じ4つのuの値が単に異なる順序で現れるだけです。3次方程式の解は次のとおりです。

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

3つの可能な立方根のいずれかを使用します。賢明な戦略は、 wの絶対値が可能な限り大きくなるような平方根の符号を選択​​することです。

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

フェラーリの解決策

そうでなければ、ロドヴィコ・フェラーリによって発見された方法を用いて、凹四次方程式を解くことができる。凹四次方程式が得られたら、次のステップは有効な恒等式を加えることである。

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

式（１）に代入すると、

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}+bu+c=au^{2}+a^{2}.}$

2

その結果、 u ^4項は完全な平方根( u ²  + a) ²に折り畳まれました。2番目の項au ²は消えませんでしたが、その符号が変わり、右側に移動しました。

次のステップは、式( 2 )の左辺の完全平方に変数yを挿入し、右辺のu ²の係数に対応する2yを挿入することです。これらの挿入を実現するために、以下の有効な式を式( 2 )に追加します。

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

これら2つの式を合わせると、

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

これを式（２） に加えると

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle (u^{2}+a+y)^{2}=(a+2y)u^{2}-bu+(y^{2}+2ya+a^{2}-c).}$

3

ここでの目標は、式( 3 )の右辺が完全な平方根となるようにyの値を選ぶことです。これは、二次関数の判別式を0にすることで実現できます。これを説明するために、まず完全な平方根を二次関数に展開します。

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

右辺の二次関数には3つの係数があります。2番目の係数を2乗し、1番目と3番目の係数の積を4倍すると0になることが確認できます。

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

したがって、式（ ３ ）の右辺を完全な平方にするためには、次の式を解かなければならない。

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

二項式と多項式を掛け合わせると、

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

両辺を−4で割り、−b 2 ^/ 4を右に動かすと、

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

両辺を2で割ると、

${\displaystyle y^{3}+{\frac {5}{2}}ay^{2}+\left(2a^{2}-c\right)y+\left({a^{3} \over 2}-{ac \over 2}-{b^{2} \over 8}\right)=0.}$

4

これはyに関する三次方程式です。このような方程式を解くための任意の方法（例えば、簡約三次方程式への変換やカルダノの公式の適用など）を用いてyについて解きます。3つの可能な根のどれでも構いません。

2番目の正方形を折る

yの値がこのように選択されると、式（ 3）の右辺は、

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(これは、両方の平方根に同じ符号が取られている限り、平方根の両方の符号に対して正しいです。± は、このページのさらに下のいくつかの式で別の ± に吸収されるため、冗長です。)

折り畳めるように：

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

注: b ≠ 0の場合、 a + 2 y ≠ 0 となります。b = 0 の場合、これは先ほど解いた双二次方程式になります。

したがって式（３）は

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u-{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

5

式( 5 )には、両辺に1つずつ、折り畳まれた完全平方根が2つあります。この2つの完全平方根は互いに釣り合っています。

2 つの正方形が等しい場合、次に示すように、2 つの正方形の辺も等しくなります。

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)=\pm \left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u-{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right).}$

5フィート

あなたと同様の力を集めると

${\displaystyle u^{2}+\left(\mp _{s}{\sqrt {a+2y}}\right)u+\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)=0.}$

6

注: および の下付き文字sは、これらが従属関係にあることを示すためのものです。 ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \mp _{s}}$

式（6）はuに関する二次方程式である。その解は

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

簡単に言うと

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

これは、下降四次方程式の解であり、したがって、元の四次方程式の解は

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

6フィート

覚えておいてください：2つは式（ 5' ）の同じ場所から来ており、両方とも同じ符号を持つ必要がありますが、の符号は独立しています。 ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \pm _{t}}$

フェラーリ法の要約

4次方程式を仮定すると

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

その解は次の計算によって求められます。

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

もしそうなら ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

それ以外の場合は、

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

（平方根のどちらの符号でも構いません）

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

（複素根は 3 つありますが、どれでもかまいません）

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

2つの± _{s は}同じ符号を持つ必要があり、± _tは独立です。すべての根を求めるには、 (± _s ,± _t ) = (+,+); (+,−); (−,+); (−,−)についてx を計算します。この式は重根を問題なく扱います。

フェラーリは、こうした迷路のような解法の一つを最初に発見した人物である^[要出典]。彼が解いた方程式は

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

これはすでに抑圧された形になっています。この方程式には2つの解があり、上記の公式を使って見つけることができます。

実係数の特殊な場合におけるフェラーリの解

4次方程式の係数が実数であれば、入れ子になった3次方程式( 5 )も実係数を持ち、したがって少なくとも1つの実根を持つ。

さらに三次関数

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

ここでPとQは（ 5 ）で与えられ、次のような性質を持つ。

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$そして

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$ここでaとbは( 1 )で与えられる。

これは、( 5 ) の実根が より大きいことを意味し、したがって ( 4 ) の実根が より大きいことを意味します。 ${\displaystyle a \over 3}$ ${\displaystyle -a \over 2}$

この根を使うと（6 ）の項は常に実数となり、2つの二次方程式（6）が実係数を持つことが保証される。^[5] ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

困難な方法で代替解決策を得る

上記の公式では、4つの解に対して4つの符号パターンすべてを試したわけではなく、得られた解が複素数であるため、1つの解しか得られない可能性があります。また、実数解のみを求めている場合もあります。x ₁を複素数解とします。元の係数A、B、C、D、Eがすべて実数である場合（実数解のみを求める場合はそうあるべきです）、x ₁の複素共役である別の複素数解x _{2が存在します。他の2つの根を}x ₃とx ₄とすると、4次方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

しかし、この4次方程式は2つの2次方程式の積に等しい。

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0}$

9

そして

${\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.}$

10

以来

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

させて

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

となるので、式（９）は

${\displaystyle x^{2}+ax+b=0.}$

11

また、（未知の）変数wとvがあるとすると、式（10）は

${\displaystyle x^{2}+wx+v=0.}$

12

式（１１）と式（１２）を掛け合わせると

${\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.}$

13

式（１３）を元の４次方程式と比較すると、

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

そして

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

したがって

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

式（１２ ）をxについて解くと、

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

これら 2 つのソリューションのうちの 1 つが、望ましい実際のソリューションになるはずです。

代替方法

溶解性立方体

解決三次方程式は、解決三次方程式を用いて、2つの二次方程式の根を求めることで、単調減数四次方程式の根を求める方法を示しています。特に簡単なのは第三定義です。この三次方程式はデカルトの解決三次方程式として知られています^{[6] [7]} 。四次方程式の4つの根を2組の根に分割する方法は3つあり、さらにそれぞれについて二次方程式を順序付ける方法も2つあります（）。最初の2つの係数方程式を加算および減算してqとsを得ます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+c\,x^{2}+d\,x+e&=(x^{2}+p\,x+q)\,(x^{2}-p\,x+s)\\&=x^{4}+(s+q-p^{2})\,x^{2}+p\,(s-q)\,x+q\,s\quad \Rightarrow \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle p^{2}+c=s+q\quad \quad {\frac {d}{p}}=s-q\quad \quad e=q\,s\quad \Rightarrow }$$ $${\displaystyle (p^{2}+c)^{2}-\left({\frac {d}{p}}\right)^{2}=4\,e}$$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \pm p}$

メビウス変換法

適切に選択されたメビウス変換は、4次方程式を新しい変数の2乗を含む2次方程式に変換することができます。これは既知の方法です。^[8]

このようなメビウス変換を求めるには3次方程式を解く必要があるため、問題は単純化されます。例えば、最高係数が1で、かつ もも0でない、下降した4次方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

$${\displaystyle x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

メビウス変換を実行します。

$${\displaystyle x={\frac {A+By}{1+y}}}$$

得られた四次方程式の1次と3次の係数を0とする。代数計算の後、三次方程式から得られることがわかる 。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A+B}$

$${\displaystyle a_{1}(A+B)^{3}+(4a_{0}-2a_{1}a_{2}-{a_{2}}^{2})(A+B)^{2}-2a_{1}a_{2}(A+B)-{a_{1}}^{2}=0}$$

そして、既知であるとすると、二次方程式から得られる。 ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle 2(A+B)A^{2}-2(A+B)^{2}A-a_{2}(A+B)-a_{1}=0}$$得られた 2 次方程式を解くと、の 2 つの値が得られ、 の各平方根には2 つの値があり、予想どおり合計 4 つの解が得られます。 ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$

先に示した3次方程式はと同じです。ここで、b _iはyの4次多項式の係数です。これは、この方程式がどのようにして得られたかを示しています。 ${\displaystyle {\textbf {A}}+{\textbf {B}}}$ ${\displaystyle P^{2}-Q(A+B)^{2}=0}$ $${\displaystyle P\equiv {\frac {b_{1}-b_{3}}{2(A-B)}}=2\,A\,B\,(A+B)+a_{2}(A+B)+a_{1}}$$ $${\displaystyle Q\equiv {\frac {B\,b_{1}-A\,b_{3}}{A-B}}=4A^{2}B^{2}-a_{1}(A+B)-4a_{0}=0}$$

ガロア理論と因数分解

4元対称群 S 4_は、クラインの4元群を正規部分群として持つ。これは、離散フーリエ変換や根のアダマール行列変換として様々に記述できるレゾルベントを用いることを示唆している。0から3までのiに対してr _{i を}根と 仮定する。

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

変換は反転なので、全く同じように4つの s _iを用いて根を表すことができます。 s ₀ = − b /2 という値は分かっているので、実際に必要なのは s ₁、 s ₂、 s ₃の値だけです。これらは多項式を展開することで見つけることができます。

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

これを単純化してb = 0と仮定すると 、次の式に等しい。

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

この多項式は6次ですが、z ²では3次であるため、対応する方程式は解けます。試行錯誤によって、どの3つの根が正しいかを判断し、4次方程式の解を求めることができます。

因数分解に同じ解決多項式の根を使うことで試行回数の要件をなくすことができます。wが(3)の任意の根であり、

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

それから

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

したがって、w を解き、次に二次方程式の公式を使用して 2 つの因数の根を解くことで、4 次方程式を解くことができます。

近似法

上記の方法は、原理的には厳密な根探索法です。デュラン・ケルナー法のように、根に向かって反復収束する逐次近似法を用いることも可能です。

参照

• 線形方程式
• 二次方程式
• 三次方程式
• 五次方程式
• 多項式
• ニュートン法
• 主方程式形式
• 溶解性立方体

参考文献

• フェラーリの功績
• PlanetMathでは 4 つの単一方程式として 4 次式が表示されます。

注記

1. 「ロドヴィコ・フェラーリ」.
2. スチュワート、イアン『ガロア理論、第3版』（チャップマン＆ホール/CRC数学、2004年）
3. チャベス＝ピシャルド、マウリシオ;マルティネス・クルーズ、ミゲル・A.トレホ＝マルティネス、アルフレド。マルティネス＝カルバハル、ダニエル。ターニャ、アレナス-レゼンディズ（2022年7月）。 「実数係数と複数の根を含む一般 2 次方程式の完全なレビュー」。数学。10 (14): 2377.土井: 10.3390/math10142377。ISSN  2227-7390。
4. Chávez-Pichardo, Mauricio; Martínez-Cruz, Miguel A.; Trejo-Martínez, Alfredo; Vega-Cruz, Ana Beatriz; Arenas-Resendiz, Tanya (2023年3月). 「実係数を持つすべての3次および4次代数方程式の解析解の実用性について」.数学. 11 (6): 1447. doi : 10.3390/math11061447 . ISSN  2227-7390.
5. Carstensen、Jens、Komplekse tal、初版、(Systime 1981)、ISBN 87-87454-71-8（デンマーク語）
6. キシャン、ハリー (2013). 『方程式の理論』 ニューデリー: アトランティック出版社 & ディストリビューターズ (P) LTD. p. 252. ISBN 978-8126924998。
7. ハーツホーン、ロビン (2000). 『幾何学：ユークリッドとその先』数学学部テキスト. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. p. 273. ISBN 978-1-4419-3145-0。
8. Kulkarni, RG (2016年秋). 「Tailored Quartic Roots」.

外部リンク

• 四次方程式を解く計算機

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