準連続関数

数学において、準連続関数の概念は連続関数の概念に似ていますが、より弱い概念です。すべての連続関数は準連続ですが、その逆は一般には成り立ちません。

意味

を位相空間とする。実数値関数が点において準連続であるとは、任意のと の任意の開近傍に対して、空でない開集合が存在し、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G\subset U}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G}$

上記の定義では、 である必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle x\in G}$

プロパティ

• が連続であれば、は準連続である ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$
• が連続で、が準連続である場合、は準連続です。 ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f+g}$

例

と のときはいつでも、で定義される関数を考えてみましょう。明らかに f は x=0 を除くすべての点で連続であり、したがって（最大で） x=0 を除くすべての点で準連続です。x=0 において、x の任意の開近傍 U を取ります。すると、となる開集合が存在します。明らかにこのことから が得られ 、したがって f は準連続です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle G\subset U}$ ${\displaystyle y<0\;\forall y\in G}$ ${\displaystyle |f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G}$

対照的に、 が有理数でが無理数のときはによって定義される関数は 、 でない開集合には となるものが含まれるため、どこでも準連続ではありません。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle |g(y_{1})-g(y_{2})|=1}$

参照

• 派閥機能

参考文献

• ヤン・ボルシク (2007–2008). 「連続点、準連続、クリキッシュネス、そして上位準連続と下位準連続」. Real Analysis Exchange . 33 (2): 339– 350.
• T. Neubrunn (1988). 「準連続性」. Real Analysis Exchange . 14 (2): 259– 308. doi :10.2307/44151947. JSTOR  44151947.

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