五次関数

3つの実数零点（根）と4つの臨界点を持つ5次多項式のグラフ

数学において、五次関数とは次のような形の 関数である。

${\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}$

ここで、 a、b、c、d、e、fは体の元であり、通常は有理数、実数、または複素数であり、a は非ゼロです。言い換えれば、五次関数は五次の多項式によって定義されます。

正規五次関数は奇数次であるため、グラフに描くと正規三次関数に似た形になります。ただし、正規三次関数には極大値と極小値がそれぞれ一つずつ追加される場合があります。五次関数の導関数は四次関数です。

g ( x ) = 0とし、 a ≠ 0と仮定すると、次の形の五次方程式が生成されます。

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}$

5次方程式を根号（n乗根）で解くことは、3次方程式と4次方程式が解かれた16世紀から、そのような一般解の不可能性がアーベル・ルフィニの定理によって証明された19世紀前半まで、代数学における主要な問題でした。

五次多項式の根を求める

与えられた多項式の根（ゼロ）を見つけることは、数学における重要な問題です。

線形、二次、三次、四次方程式を根号と係数の基本的な算術演算を用いて解くことは、根が有理数か無理数か、実数か複素数かに関係なく、常に実行できます。必要な解を得るための公式が存在します。しかし、有理数上の一般的な五次方程式の解を表す代数表現（つまり、根号を用いた表現）は存在しません。この主張はアーベル・ルフィニの定理として知られ、1799年に初めて主張され、1824年に完全に証明されました。この結果は、より高次の方程式にも当てはまります。根号を用いて表すことができない五次方程式の例としては、x ⁵ − x + 1 = 0などがあります。

五次方程式の根の数値近似値は、多項式の根を求めるアルゴリズムを用いて計算できます。五次方程式の中には根号を用いて解けるものもありますが、その解は一般に複雑すぎて実用には適していません。

解ける五次方程式

いくつかの五次方程式は根号を用いて解くことができます。これには、 x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ²のような、約分可能な多項式で定義される五次方程式が含まれます。例えば、^{[ 1 ]}は次のように 示されています。

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

根号に解が存在するのは、整数解が存在する場合、またはrが ±15、±22440、±2759640 のいずれかである場合のみであり、その場合多項式は既約です。

既約五次方程式を解くことは、より低次の多項式を解くことに直結するため、この節の残りの部分では既約五次方程式のみを扱い、「五次式」という用語は既約五次式のみを指すものとする。したがって、可解五次式とは、根が根号で表せる既約五次多項式のことである。

解ける五次式、そしてより一般的には高次多項式を特徴付けるために、エヴァリスト・ガロアは群論とガロア理論につながる手法を開発した。アーサー・ケイリーはこれらの手法を応用し、任意の五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。^{[ 2 ]}この基準は以下の通りである。^{[ 3 ]}

方程式

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

チルンハウス変換x = y − ⁠b/5 a⁠は五次項を下げ（つまり四次の項を取り除いて）、次の式を与える。

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

両五次方程式が根号で解けるのは、それらが有理係数の低次の方程式に因数分解できるか、または多項式P ² − 1024 z Δ（これはケーリーのレゾルベントはzに有理根を持ち、ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}$

ケーリーの結果は、五次方程式が解けるかどうかを検証することを可能にする。もし解けるなら、その根を求めるのはより難しい問題であり、五次方程式の係数とケーリーの導関数の有理根を含む根号を用いて根を表す必要がある。

1888年、ジョージ・パクストン・ヤングは明示的な公式を与えることなく、解ける五次方程式を解く方法を説明した。^{[ 4 ]} 2004年にはダニエル・ラザードが3ページにわたる公式を書き上げた。^{[ 5 ]}

ブリング・ジェラード形式の五つ組

x ⁵ + ax + b = 0の形式の可解5次方程式のパラメトリック表現はいくつかあり、Bring–Jerrard形式と呼ばれます。

19世紀後半、ジョン・スチュアート・グラシャン、ジョージ・パクストン・ヤング、カール・ルンゲは、次のようなパラメータ化を与えた。ブリング・ジェラード形式の有理係数を持つ既約五次方程式が解けるのは、 a = 0であるか、

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

ここで、μとνは有理数です。

1994年にブレア・スピアマンとケネス・S・ウィリアムズは代替案を提示した。

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

1885年と1994年のパラメータ化の関係は、次の式を定義することでわかる。

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

ここで、平方根 ${\displaystyle a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}}$の負の場合を使用すると、変数をスケーリングした後、最初のパラメーター化が得られ、正の場合を使用すると、2番目のパラメーター化が得られます。

スピアマン・ウィリアムズパラメータ化における置換により、a = 0 という特殊なケースを除外せずに済み、次の ${\displaystyle c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},}$結果が得られます。 ${\displaystyle e={\tfrac {1}{\ell }}}$

aとbが有理数であるとき、方程式x ⁵ + ax + b = 0は、その左辺が5以下の有理数係数の多項式の積であるか、または2つの有理数ℓとmが存在 し、

${\displaystyle a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.}$

解ける五次方程式の根

多項式方程式は、そのガロア群が可解群である場合に、根号によって解ける。既約五次方程式の場合、ガロア群は五元集合のすべての順列の対称群S ₅の部分群であり、それが巡回順列(1 2 3 4 5)と(1 2 4 3)によって生成される、位数20の群F ₅の部分群である場合に限り、解ける。

五次方程式が解ける場合、解の1つは、5乗根と最大2つの平方根を含む代数式（通常は入れ子式）で表すことができます。他の解は、5乗根を変形するか、5乗根のすべての出現に原始5乗根の同じべき乗を乗じることによって得られます。例えば、

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

実際、4つの原始5乗根はすべて平方根の符号を適切に変更することで得られる。つまり、

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

ここで、 は 4 つの異なる原始 5 乗根を生成します。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

したがって、解ける五次方程式のすべての根を表すには、4つの異なる平方根が必要になる可能性がある。最初の根が最大で2つの平方根を含む場合でも、根号を用いた解の表現は通常非常に複雑になる。しかし、平方根が必要ない場合は、最初の解の形はかなり単純になることがある。例えば、方程式x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0の場合、唯一の実数解は次のようになる。

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

より複雑な（ただし、ここで記述できるほど小さい）解の例としては、x ⁵ − 5 x + 12 = 0の唯一の実根があります。a = √ 2 φ ⁻¹、b = √ 2 φ、c = ⁴ √ 5とします。ただし、φ = ⁠1 + √5/2⁠は黄金比である。すると、唯一の実数解x = −1.84208...は次のように与えられる。

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

ここで、y _iは4次方程式の4つの根である。

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

より一般的には、素数次pで有理数係数の方程式P ( x ) = 0 が根号で解ける場合、同じく有理数係数の次数p − 1の補助方程式Q ( y ) = 0を定義でき、 Pの各根はQの根のp乗根の和になります。これらのp乗根はジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって導入され、それらのpによる積は一般にラグランジュの分解子と呼ばれます。 Qとその根の計算を使用してP ( x ) = 0を解くことができます。ただし、これらのp乗根は個別に計算できない場合があります (そうするとpではなくp ^{p −1 個の根が返されます)。したがって、正しい解を得るには、これらすべての}p乗根をそのうちの 1 つで表す必要があります。ガロア理論によれば、結果として得られる式が大きすぎて使えない場合でも、これは常に理論的に可能です。

Qの根のいくつかは有理数（このセクションの最初の例のように）であったり、ゼロであったりする可能性がある。これらの場合、根の公式は、解けるド・モアブルの五次方程式のように、はるかに単純になる。

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

ここで、補助方程式は2つの零根を持ち、それらを因数分解すると二次方程式になる。

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

ド・モアブルの五次方程式の5つの根は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

ここで、y _iは補助二次方程式の任意の根であり、ωは1の4つの原始5乗根のいずれかです。これは容易に一般化でき、必ずしも素数である必要はなく、解けるセプティック根やその他の奇数次根を構築できます。

他の解ける五次方程式

前のセクションでパラメータ化された Bring–Jerrard 形式の解ける五次方程式は無限に存在します。

変数のスケーリングまで、形状 の解ける五次方程式は正確に5つ存在し、それらは^{[ 6 ]}（ここでsはスケーリング係数）である。 ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

パクストン・ヤング（1888）は、解ける五次方程式の例をいくつか挙げている。

${\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}}$
${\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$根： ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}$
${\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}$
${\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}$
${\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}$

解ける5次方程式の無限列を構成することができ、その根は1のn乗根の和であり、n = 10 k + 1は素数である。

${\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1}$		ルーツ： ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5}$		根： ${\displaystyle \sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9}$		根： ${\displaystyle \sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$	根： ${\displaystyle \sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1}$		根： ${\displaystyle \sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}}$

解ける5次方程式には2つのパラメータ化された族がある。近藤・ブルマー5次方程式、

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

パラメータに応じて家族 ${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

どこ

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

不可逆的な原因

三次方程式と同様に、5つの実根を持ち、その根号における解がすべて複素数の根を含むような、解ける五次方程式が存在する。これは五次方程式の既約性（casus irreducilis）であり、Dummit ^{[ 7 ] : p.17} で議論されている。実際、既約五次方程式のすべての根が実数である場合、いかなる根も純粋に実根号で表すことはできない（これは2のべき乗ではないすべての多項式次数にも当てはまる）。

過激派を超えて

1835年頃、ジェラードは、実数aに対してt ⁵ + t − a = 0の唯一の実根である超根号（ブリング根号とも呼ばれる）を使用して、5次方程式を解くことができることを実証しました。1858年、シャルル・エルミートは、ブリング根号がヤコビのシータ関数とそれに関連する楕円モジュラー関数によって特徴付けられることを示しました。これは、三角関数を使用して3次方程式を解くという、より一般的なアプローチに似ています。ほぼ同じ頃、レオポルド・クロネッカーは、群論を使用して、フランチェスコ・ブリオスキと同様に、エルミートの結果を導くより簡単な方法を開発しました。その後、フェリックス・クラインは、イコサヘドロン、ガロア理論、エルミートの解法に見られる楕円モジュラー関数の対称性を関連付け、それらがそもそもなぜ現れるのかを説明する手法を考案し、一般化された超幾何関数の観点から独自の解法を展開した。^{[ 8 ]}同様の現象は7次（セプティック方程式）と11次でも発生し、クラインによって研究され「イコサヘドロン対称性 § 関連幾何学」で議論されている。

Bringのルートを使って解く

四次方程式を解くことによって計算されるチルンハウス変換は、次の形式の一般五次方程式を簡約する。

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

Bring–Jerrard正規形x ⁵ − x + t = 0に等しい。

この方程式の根は根号で表すことができません。しかし、1858年にシャルル・エルミートは楕円関数を用いてこの方程式の最初の解を発表しました。^{[ 9 ]} ほぼ同時期に、フランチェスコ・ブリオスキ^{[ 10 ]} とレオポルド・クロネッカー^{[ 11 ]}も 同値な解を得ました。

これらの解決策と関連する解決策の詳細については、 「Bring radical」を参照してください。

天体力学への応用

両方の物体の質量が無視できない天文軌道の ラグランジュ点の位置を解くには、五次方程式を解く必要があります。

より正確には、 L ₂とL ₁の位置は次の方程式の解です。ここで、2 つの質量が第 3 の質量 (たとえば、L ₂のGaiaやジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡、 L ₁のSOHOなどの衛星にかかる太陽と地球) にかかる重力は、太陽の周りを地球と同期して周回するために必要な衛星の求心力となります。

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

± 記号はそれぞれL ₂とL ₁に対応します。Gは重力定数、ωは角速度、r は衛星から地球までの距離、R は太陽から地球までの距離（つまり、地球の軌道の長半径）、 m、M _E、M _Sはそれぞれ衛星、地球、太陽の質量です。

ケプラーの第三法則を用いてすべての項を並べ替えると五次方程式が得られる。 ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

と：

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}}$

これらの2つの五次方程式を解くと、L ₂ではr = 1.501 × 10 ⁹ m、L ₁ではr = 1.491 × 10 ⁹ mとなります。太陽・地球間のラグランジアン点L ₂とL ₁は、通常、地球から150万kmの距離と与えられます。

小さい方の物体の質量 ( M _E ) が大きい方の物体の質量 ( M _S ) よりもはるかに小さい場合、五次方程式は大幅に簡略化され、 L ₁と L _{2は次のように}ヒル球の半径とほぼ同じになります。

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}$

これにより、太陽地球系の L ₁および L ₂にある衛星のr = 1.5 × 10 ⁹ mも得られます。

参照

• 六次方程式
• 浄化機能
• 方程式理論
• 主方程式形式

注記

1. Elia, M.; Filipponi, P. (1998). 「Bring–Jerrard形式の方程式、黄金比、そして平方フィボナッチ数列」(PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282– 286.
2. A. Cayley, 「第五次方程式理論における新たな補助方程式について」, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
3. Cayleyの結果のこの定式化はLazard (2004)の論文から抜粋したものです。
4. ジョージ・パクストン・ヤング、「共線係数を持つ可解五次方程式」、アメリカ数学誌10 :99–130 (1888)、 JSTOR  2369502
5. ラザード（2004年、207ページ）
6. エルキーズ、ノアム. 「興味深いガロア群を持つ三項式ax ⁿ + bx + c 」ハーバード大学.
7. David S. Dummit可解五次方程式の解決Archived 2012-03-07 at the Wayback Machine
8. ( Klein 1888 ); 現代的な解説は ( Tóth 2002、第1.6節、追加トピック: Kleinのイコサヘドロン理論、 p. 66 )
9. チャールズ・エルミート (1858)。 「最高の解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 508–515 .
10. ブリオスキ、フランチェスコ (1858)。 「Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado」。アッティ・デッリ。 R. Istituto Lombardo di Scienze、Lettere ed Arti。私：275～ 282。
11. クロネッカー、レオポルド (1858)。 「M. Hermite への手紙の宛先を決定するための解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 1150 – 1152。

参考文献

• Charles Hermite、「Sur la résolution de l'équation du cinquème degré」、āuvres de Charles Hermite、2 :5–21、Gauthier-Villars、1908 年。
• クライン、フェリックス（1888年）『二十面体と五次方程式の解法に関する講義』モリス、ジョージ・ギャビン訳。Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Leopold Kronecker、「Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、46 :1:1150–1152 1858。
• Blair SpearmanとKenneth S. Williams、「解ける5次方程式x ⁵ + ax + bの特徴付け」 、American Mathematical Monthly、101 :986–992(1994)。
• イアン・スチュワート『ガロア理論第2版』チャップマン・アンド・ホール、1989年。ISBN 0-412-34550-1一般五次方程式の不解性の証明を含むガロア理論全般について論じます。
• ヨルグ・ベワースドルフ『ガロア理論入門：歴史的視点』アメリカ数学会、2006年。ISBN 0-8218-3817-2第8章（Wayback Machineにある5次方程式の解（2010年3月31日アーカイブ））では、解ける5次方程式x ⁵ + cx + dの解について説明します。
• Victor S. Adamchik と David J. Jeffrey、「Tschirnhaus、Bring、Jerrard の多項式変換」、ACM SIGSAM Bulletin、第 37 巻、第 3 号、2003 年 9 月、90 ～ 94 ページ。
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus、「与えられた方程式からすべての中間項を削除する方法」、ACM SIGSAM Bulletin、Vol. 37、No. 1、2003 年 3 月、1 ～ 3 ページ。
• ラザード、ダニエル (2004)。 「根号で五次関数を解く」。オラフ・アルンフィン・ラウダルで;ラグニ・ピエネ（編）。ニールス・ヘンリック・アベルの遺産。ベルリン。207 ～ 225ページ 。ISBN 3-540-43826-2. 2005年1月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• トート、ガボール（2002）、有限メビウス群、球面の極小浸漬、モジュライ

外部リンク

• Mathworld - 五次方程式- 五次方程式を解く方法の詳細。
• 解ける五次方程式の解決Archived 2012-03-07 at the Wayback Machine – David S. Dummit による、解ける五次方程式を解く方法。
• 与えられた方程式からすべての中間項を削除する方法- Tschirnhaus の 1683 年の論文の最近の英語翻訳。
• ブルース・バートレット：五次曲線、二十面体、楕円曲線、AMS Notices（2024年4月）

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